2021-2022学年重庆市开州区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年重庆市开州区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代

号为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案

所对应的方框涂黑.

1.下列方程中是一元二次方程的是()

22

A.5x+l=0B.A-1=0C.—+x=lD./+x=1

x

2.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能

与原图形完全重合的是()

3.抛物线y=-改+3向右平移3个单位后，再向上平移2个单位后解析式是()

A.y=-(2x+3)2+5B.尸-2(x+3)2+5

C.y=-2(%-3)2+5D.y=-2x2-3x+5

4.平面直角坐标系中点尸(7,-9)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-9,7)B.(-7,9)C.(7,9)D.(-1,-9)

5.如图，PA,P8是。。的切线，A、B为切点，连接08、AB,若/ABO=25°,贝！1NAPB

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

7.下列命题中，假命题是()

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

C.若AB=8C,则点8是线段AC的中点

D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心

8.若一元二次方程以2+2大-+1=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是（

A.a<\B.aWlC.oWl且D.a<\且

9.

10.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且

往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间r（单位：/?）

的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（)

4

D.—h

3

11.且关于无的分式方程

ax3x+2

3有非负整数解，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

x-22-x

A.-14B.-5C.-9D.-6

12.如图，已知抛物线加+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（-2,0）

和点8,与y轴的正半轴交于点C,且。8=2OC,则下列结论：①生旦VO；®4ac+2b

C

=-1；③。=-1；④当％>1时，在X轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两

4

点N（点M在点N左边），使得AN,8M.其中正确的有（)

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡

中对应的横线上.

13.将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起.若小陈从中随机抽取一本，

则抽中文学类的概率为.

14.已知a是方程2/-x-3=0的一个解，则6a2-3〃的值为.

15.如图，的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点，连接OP,若OP=4,ZAPO

=30°,则弦48的长为.

16.如图，从--块直径为6面?的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积

17.如图，在正方形ABCD中，AB=9,M是AO边上的一点，AM：MD=1：2.将△BMA

沿8W对折至连接ON,则ON的长是.

3/

D

18.2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现

后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营

公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研

后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别

加价20%,30%,45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型

产品的销量占总销量的目，且市三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A

型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%,销量提高了20%；B型、C型产

品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%,30%,50%

出售，则第二个月的总利润率为.

三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演

算过程收或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对

应的位置上.

19.解方程与化简：

（1）解方程：x2-10x=-9；

a2-1

（2）化简：（1-W-）+一?—―•

a+aa+2a+l

20.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一

个引理.如图，已知第，C是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过

程.

（I）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作线段AC的垂直平分线。E,交俞于点。，交AC于点E,连接AD,CD；

②以点。为圆心，D4长为半径作弧，交益于点F（F,A两点不重合），连接。凡BD,

BF.

（2）猜想线段BC,8尸的数量关系，并证明.

21.2021年8月，国务院教育督导委员会办公室印发《关于组织责任督学进行“五项管理”

督导的通知》（简称通知），要求各省（区、市）教育督导部门，组织当地中小学校责

任督学开展''五项管理”督导工作.为贯彻《通知》精神，开州区某学校团委组织了“手

机管理”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的

统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，。表示“优

秀奖”）.

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

（1）获奖总人数为人，"?=;

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参

加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

22.阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J.他/er,1550-1617年）是对数的创始人.他

发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Ev/er,1707-1783年）

才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若炉=N">0且aWl）,那么

x叫做以。为底N的对数，记作x=k>g“M比如指数式24=16可以转化为对数式4=咋216,

对数式2=log39可以转化为指数式32=9.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log.,（M-N）=log“M+log“N（a>0,

M>0,N>0）,理由如下：

设\og,aM—m,log“N=〃，则M—a"',N—a",

：,M-N=a"-a"=an>+",由对数的定义得用+"=log“(M・N).

又m+n—]ogaM+]ogaN,

.♦.log”(M*N)=log"M+log“N.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：0log264=,②Iog327=,@log71=；

(2)求证：log«—=log„M-log„A^(«>0,M>0,N>0)；

N

(3)拓展运用：ilMIog464+logs7-logs35.

23.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出

函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.请结合已有的学习经验，画

Ox

(2)观察函数—的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当-2Wx<2时，函数图象关于直线)，=x对称；

②x=2时;函数有最小值，最小值为-2；

③-1VX<1时，函数)，的值随x的增大而减小，其中正确的是.(请写出所有

正确命题的番号)

(3)结合图象，请直接写出不等式一衿>x的解集

24.“思路创新，黄土成金”，在“精准扶贫、精准脱贫”总体安排下，我区某镇开创性引

进新品种经济作物一翠冠桃，并打造了集桃花观赏、爱心认购、入园采摘于一体的“大

宝寨”翠冠桃基地.去年、今年翠冠桃产量连续喜获丰收，该基地翠冠桃销售采用入园

采摘和园外销售两种模式.

（1）去年该基地翠冠桃产量为60吨，全部售出，其中入园采摘销售量不超过园外销售

量的3倍，求该基地入园采摘销售量至多多少吨？

（2）该种植基地去年翠冠桃入园采摘销售均价为8元/千克，园外销售均价为5元/千克，

入园采摘销售量正好为（1）中的最大值，今年由于加大宣传、新苗挂果等原因入园采摘

销售均价在去年的基础上上涨"％,园外销售均价也上涨看。％,入园采摘量在去年的基

础上增加了15吨，园外销售量在去年的基础上上升了仔4%,今年销售完毕后，基地决

定从销售总额中投入114004元引进晚熟青脆李，打造“桃李满园，果香留仙”特色品牌

基地，这样投资后的剩余总销售额正好与去年销售总额持平，求。的值（其中“<50）.

25.如图，抛物线y=ox2+bx+c（“W0）与x轴交于A、B两点，点A在点8的左边，与y

轴交于点C,点A的坐标为（-2,0）,AO：CO：BO=1：2：3.

（1）如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图1,点£>在直线BC上方的抛物线上运动（不含端点8、C）,连接。C、DB,

当四边形ABAC面积最大时，求出面积最大值和点。的坐标；

（3）如图2,将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后

的抛物线交于点E,连接BE.点M为原抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，以B、

E、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标.

四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画

出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26.如图，在RtZVIBC中，AB=AC,NBAC=90°,点E是C4延长线上一点，连接BE,

点。是AB边，上一动点，且AE=4D,过点。作。FJ_8C,垂足为点F.

(1)如图1,若。尸=3,BE=6,求C尸的长;

(2)如图2,连接A凡求证：BE=小F；

(3)如图3,过点A作AMJ_C£>,连接并延长交AC于点N,若8c=4,当最

小时，直接写出△ACM的面积.

E

图1图2

参考答案

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代

号为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案

所对应的方框涂黑.

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.5x+l=0B.x2-1=0C.—+x^~1D.y^+x—1

x

【分析】根据一元二次方程的定义求解可得答案.

解：4.5x+l=0未知数的最高次数是1,不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B.1=0是一元二次方程，故此选项符合题意；

C.等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D.y+x=l含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

故选：B.

2.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能

与原图形完全重合的是（）

【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断.

解：A、最小旋转角度=吗一=120。；

B、最小旋转角度=蚪一=90°；

C、最小旋转角度=%一=180°；

D、最小旋转角度=典一=72°；

5

综上可得：顺时针旋转120。后，能与原图形完全重合的是A.

故选:A.

3.抛物线y=-2x2+3向右平移3个单位后，再向上平移2个单位后解析式是（）

2

A.y--(2x+3)+5B.y=-2(JC+3)2+5

C.y=-2(x-3)2+5D.y=-2x2-3x+5

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=-2x2+3向右平移3个单位所得抛物线的解

析式为：y--2(x-3)2+3,

由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2(x-3)2+3向上平移2个单位所得抛物线

的解析式为：尸-2(%-3)2+5；

故选：C.

4.平面直角坐标系中点尸(7,-9)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-9,7)B.(-7,9)C.(7,9)D.(-7,-9)

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标互为相反数可得答案.

解：点P(7,-9)关于原点对称的点的坐标是(-7,9),

故选：B.

5.如图，PA、PB是。0的切线，A、8为切点，连接08、AB,若NABO=25°,则NAP8

的度数为()

A.50°B.55°C.65°D.70°

【分析】连接OP交AB于点、C,根据切线长定理得尸4=尸8,NOPA=NOPB甘NAPB,

再由等腰三角形的“三线合一”得NPC8=90°,然后根据同角的余角相等可求得NOPB

=90°-NPBC=NABO=25°,由/AP8=2NOP8,即可求得问题的答案.

解：如图，连接。尸交48于点C,

•・・PA、P3是。。的切线，A、B为切点，

：.PA=PB,ZOPB=ZOPA=—ZAPB

2f

JOP_LAB,

：.ZPCB=90°,

:.PB1.OB,

：.ZPBO=90°,

：.ZOPB=90°-ZPBC=ZABO=25°,

：.NAPB=2NOPB=2X25°=50°,

6.估计6+1吉+>而的值应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【分析】化简原式等于3泥，因为3泥=腐，所以雇〈腐语，即可求解；

解：&+恭+旄=&^娓=2旄+娓=3娓,

,**3-/5—V36<V45<V49>

.,-6<V45<7,

故选：B.

7.下列命题中，假命题是（）

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

C.若AB=8C,则点2是线段AC的中点

D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对4进行判断；根据等腰三角形的性质对B

进行判断；根据线段的中点定义对C进行判断；根据三角形外心的定义对。进行判断.

解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以A选项不符合题意；

8、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以B选项不符合

题意：

C、若点B在线段AC上，且AB=BC,则点B是线段AC的中点，所以C选项符合题意；

。、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，所以。选项不符合题意.

故选：C.

8.若一元二次方程谓+2%+1=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是（）

A.a<\B.aWlC.且aWOD.aVl且a#0

【分析】由一元二次方程以2+级+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式A>0,a

W0,继而可求得a的范围.

解：；一元二次方程ax2+2x+i=0有两个不相等的实数根,

.•.“W0,△=〃-4ac=22-4XaX1=4-4a>0,

解得：“<1且aWO,

故选：D.

9.根据图中数字的规律，若第〃个图中的g=168,则p的值为（）

A.121B.144C.169D.196

【分析】每个图形中，左边三角形上的数字即为图形的序数小右边三角形上的数字为p

=/，下面三角形上的数字q=（n+1）2-1,先把《=168代入求出"的值，再进一步求

出p的值.

解：通过观察可得规律：p=n2,q—（n+1）2-1,

,.,q=168,

（H+1）2-1=168,

解得”=12或-14（舍去），

/.p=n2=122=144,

故选：B.

10.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且

往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间f（单位：力）

的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）

9他

C.3h

【分析】根据图象得出，慢车的速度为为捺5必，快车的速度为速度亮km/h.从而得出

93

快车和慢车对应的y与f的函数关系式.联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点

的坐标，即可得出间隔时间.

解：根据图象可知，慢车的速度为左km/h,

9

对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是6〃,

因此单程所花时间为3/2,故其速度1

所以对于慢车，y与f的函数表达式为丫=5r(O0W9)①.

1'（七-3)(3<t<6)(2)

对于快车，y与r的函数表达式为°

a(t-6)(6<t<9)(D

a至

联立①②，可解得交点横坐标为上微，

联立①③，可解得交点横坐标为t=乌,

因此，两车先后两次相遇的间隔时间是4-—(〃)，

424

故选：A.

H.若关于%的一元一次不等式组2yx+3的解集为xW-a,且关于x的分式方程

1x4一a

有非负整数解，则所有满足条件的整数。的值之和是（

【分析】先根据不等式组的解集，求出a的范围,再解分式方程，根据分式方程有非负

整数解，确定。的值即可解答.

解J*+3①，

1x4-a②

解不等式①得：xW5,

解不等式②得：xW-“，

•••一元一次不等式组的解集为：xW-a,

・••心-5,

ax_3x+2

x-2=2不，

ax=2(x-2)-(3x+2)，

解得:f,

・・,分式方程有非负整数解,

.•・x20且xW2,

._6

》0且

a+1a+1

解得：〃V-1且〃W-4,

:.--1且ar-4,

•••所以满足条件的整数”的值为：-3,-2,

所有满足条件的整数。的值之和：-5,

故选：B.

12.如图，己知抛物线y=ax2+%x+c,的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A(-2,0)

和点8,与y轴的正半轴交于点C,且。8=2OC,则下列结论：①生旦VO；®4ac+2b

C

=-1；③a=-1；④当〃>1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两

4

使得其中正确的有()

C.3个D.4个

【分析】首先根据函数图象可判断a,b,c的符号，«<0,b>0,c>0,从而可判断①

错误：由。8=2OC可推出点8(2c,0)代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与

x轴的交点A(-2,0)和点B(2c,0),再结合韦达定理可得加・尤2=£=(-2)X(2c)

a

=4c,可得。=-2，即可判断③正确；根据a=-1,2b+4ac--1,可得c=26+l,从

44

而可得抛物线解析式为丫=-g2+云+(26+1),顶点坐标为(2b,加+28+1),所以对

4

称轴为直线x=2b.要使由对称性可知，N4PB=90°,且点P一定在对称轴

上，则△4PB为等腰直角三角形，PQ=PQ=^AB=2+2b,得P(2b,26+2),且28+2

<^+2b+\,解得6>1或b〈-l,故可判断④正确.

解：VA(-2,0),OB=2OC,

：.C(0,c),B(2c,0).

由图象可知，a<0,b>0,c>0,

①'..aVO,b>0,

-Z?<0,

<0.故①正确；

c

②把B(2c,0)代入解析式，得：

2

4ac+2hc+c=0f又cNO,

.•.4ac+26+l=0,

即28+4改=-1,故②正确；

③•・•抛物线与x轴交于点A(-2,0)和点8(2c,0),

Axi=-2和X2=2C为相应的一元二次方程的两个根，

由韦达定理可得：xi*X2=—=(-2)X(2c)=-4c,

a

>>a—--y.故③正确；

4

a=---,2b+4ac--1,

4

.*.c=2Z?+l.

故原抛物线解析式为y=-(2b+l),顶点坐标为(2b,/?2+2/?+l).

4

・•・对称轴为直线1=2b.

要使ANLBM,由对称性可知，NAP8=90°,且点P一定在对称轴上，

:△APB为等腰直角三角形，

：.PQ=^AB=^[4b+2-(-2)]=2/?+2,

：.P(2b,2b+2),KW2b+2<b2+2b+l,

整理得：b2>\,

解得：力>1或。Ol,故④正确.

综上所述，正确的有4个，

故选：D.

二、填空题(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡

中对应的横线上.

13.将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起.若小陈从中随机抽取一本,

则抽中文学类的概率为4-

【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可.

解：..•一共有2+4+6=12本书籍，其中文学类有4本，

，小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为焉=2，

故答案为：4-

14.已知。是方程2N-x-3=0的一个解，则6/-3〃的值为9.

【分析】把代入方程求得〃2的值，然后根据6a2-34=3(2〃2-。)即可求解.

解：把代入方程得：2672-a-3=0,

则2a2-〃=3,

贝！J6/-3。=3(2a2-a)=9.

故答案是：9.

15.如图，。。的半径是3,点P是弦A8延长线上的一点，连接OP,若OP=4,ZAPO

=30°,则弦AB的长为,遥

【分析】连接OB,过。作OCLAB于C,根据含30度角的直角三角形性质求出OC,

根据勾股定理求出BC,根据垂径定理得出AB=2BC,即可得出答案.

解：连接。8,过。作。CLAB于C,

则/OCP=90°,

；0尸=4,ZAPO=30°,

，0C=20P=2,

2

在RtZ\0C8中，由勾股定理得：BC=dOB2-0C2=，32-22=

'：OCA.AB,0c过O,

:.AB=2BC=2疾,

故答案为：2，^.

16.如图，从一块直径为6而?的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积

【分析】连接A8解直角三角形求出AC,再根据扇形的面积公式求出扇形AC8的面积

即可.

解：连接AB,则NC=90°,

所以AB是圆的直径，即AB=6d/",

由勾股定理得：AG+BG=AB2,

即2AC2=62,

解得：AC=BC=3®(dm),

...阴影部分的面积是9°冗X(3，3产=/(小研)

3602

故答案为：等.

17.如图，在正方形ABCD中，AB=9,M是边上的一点，AM：MD=1：2.将ABMA

沿8M对折至△BMN,连接ON,则ON的长是

【分析】连接AN交8M于点。，作NHJ_A。于点H,根据已知可求出AM、BM.的长

度，利用面积法求出A0,再结合折叠性质，找到AN长度.结合勾股定理建立AM-AH2

=MN1-MH1等式,即可求出例最后即可求解.

解：连接AN交于点。，作NH_LAO于点//.如图:

：.AM=3,MD=6.

:四边形ABC。是正方形.

；•BM=VAB2+AN2=V92+32=3VW-

根据折叠性质，AOVBM,AO=ON.AM=MN=3.

：.—XAB-AM=—XBM'AO,

22

・s9X39710

・.AO=~—r==,

3V1010

；.AN=2AO=^叵，

5

\'NH±AD.

.,.AN2-AH2=M1^2-MH2.

：.(22®)2_(3+M〃)2=32-MU,

5

5

•'-w/v=zVMN2-MH2=^32-（-y）2=-1-

：.HD=AD-AM-MH=9-3--,

55

D7V=VHD2+HN2=J（卷）"卷）2='!^

故答案为：

18.2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现

后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营

公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研

后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别

加价20%,30%,45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型

产品的销量占总销量的擀，且市三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A

型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%,销量提高了20%；B型、C型产

品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%,30%,50%

出售，则第二个月的总利润率为36%.

【分析】由题意得出A型、2型、C型三种型号产品利润率分别为20%,30%,45%,设

A型、8型、C型三种型号口罩原来的成本为a,A产品原销量为x,8产品原销量为》

，△

C产品原销量为z,由题意列出方程组，解得|x=5z；第二个季度人产品成本为（］+25%）

y=z

a——a,B、C的成本仍为a,A产品销量为（1+20%）x=—.x,B产品销量为y,C产品

45

销量为z,则可表示第二个月的总利润率.

解：由题意得：4型、8型、C型三种型号产品利润率分别为20%,30%,45%,

设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为“，4产品原销量为x,B产品原销量为

y,C产品原销量为z,

20%ax+30%ay+45%az=35%a（x+y+z:

由题意得：J3,，

y（,x+y+z）=z

解得：,

y=z

第二个季度A产品的成本提高了25%,成本为：（1+25%）B、C的成本仍为a,

A产品销量为（1+20%）x=^x,8产品销量为y,C产品销量为z,

5

56

20%X彳aX-^-x+30%ay+50%az《

・・・第二个季度的总利润率为：-

|axAx+ay+az1.5x+y+z

4b

0.3X-T-Z+0.3z+0.5z

-------------------------------------------------二36%,

1.5X—z+z+z

o

故答案为：36%.

三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演

算过程收或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对

应的位置上.

19.解方程与化简:

(1)解方程：x2-10x=-9；

（2）化简：（1-与一）一尸!一.

a+aa+2a+l

【分析】（1）利用配方法解方程可求解；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形,

约分得到最简结果.

解：（1）配方，得N-10X+25=-9+25,

（x-5）2=16,

开方，得x-5=±4,

Axi=4+5=9,X2=-4+5=1；

(a+1)(a-1)

（2）原式=

a+1(a+1)2

_a.a-1

a+1'a+1

_aa+1

a+1a-1

a

a-l

20.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一

个引理.如图，已知众，。是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过

程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段AC的垂直平分线QE,交加于点O,交AC于点E,连接AD,CD；

②以点。为圆心，D4长为半径作弧，交源于点尸（凡4两点不重合），连接。凡BD,

BF.

（2）猜想线段BC,2F的数量关系，并证明.

【分析】（1）①根据要求作出图形即可.

②根据要求作出图形即可.

（2）证明可得结论.

解：（1）①如图，直线QE,线段AO,线段8即为所求.

②如图，点F,线段CO,BD,即为所求作.

(2)结论：BF=BC.

理由：♦・•£)£垂直平分线段AC,

：.DA=DC,

J.ZDAC^ZDCA,

"：AD=DF,

：.DF=DC,AD=DF，

：.ZDBC=ZDBF,

；N£)F8+N£)AC=180°.ZDCB+ZDCA^\SO°,

NDFB=NDCB,

在和△OCB中，

<ZDFB=ZDCB

<ZDBF=ZDBC-

DF=DC

：.4DFBWXDCB(AAS),

：.BF=BC.

21.2021年8月，国务院教育督导委员会办公室印发《关于组织责任督学进行'‘五项管理”

督导的通知》（简称通知），要求各省（区、市）教育督导部门，组织当地中小学校责

任督学开展“五项管理”督导工作.为贯彻《通知》精神，开州区某学校团委组织了“手

机管理”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的

统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优

秀奖”）.

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

（1）获奖总人数为40人,m=30；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参

加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等

奖”人数所占的百分比得到〃?的值；

（2）求出获“三等奖”人数为12人，补全条形统计图即可；

（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的

结果为6种，然后根据概率公式求解即可.

解：（1）获奖总人数为8・20%=40（人），

贝IJ〃?％=（40-4-8-16）4-40X100%=30%,

即，"=30；

故答案为：40,30；

(2)获“三等奖”人数为：40-4-8-16=12(人)，

将条形统计图补充完整如下：

获奖情况条形统计图

(3)画树状图如下:

开始

4G公④

共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果为6种，

.•.抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率=*=a.

22.阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔(J.Np/er,1550-1617年)是对数的创始人.他

发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Ev/er,1707-1783年)

才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若&'=N(">0且“W1),那么

x叫做以〃为底N的对数，记作x=k)g“M比如指数式24=16可以转化为对数式4=咋216,

对数式2=log39可以转化为指数式32=9.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log”(M・N)=log“M+logJV(a>0,

M>0,N>0),理由如下：

设logJV/=/mTogaN=n,则M=a%N=a〃,

M•N=ani•an=am+n,由对数的定义得〃z+〃=log〃(M*N).

又m+n=log«M+logrt7V,

logd(M・N)=k)gaM+logaN.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：0)10/64=6,②10/27=3,@log7l=0；

(2)求证:log«—=log„M-log„W(a>0,a^l,M>0,N>0)；

N

(3)拓展运用：计算R)g464+log57Tog535.

【分析】(1)根据题意给出的运算法则即可求出答案.

n

(2)设logaM="?,logaN=〃，则N=af然后根据对数的定义即可求出答案.

(3)根据题意给出的运算法则即可求出答案.

解：(1)log264=6,log327=3,log7l=0,

故①6；②3；③0；

(2)设log“M=m,logaN=fi,则N=a",

由对数的定义得nrrFlog

又:加-"=log"MTog“N

Alog=lo§HlogN

a1'a-a-

(3)Iog464+logs7-log535

=3+log57-(Iog55+log57)

=3+logs7-logs7-1

=2.

23.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出

函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.请结合己有的学习经验，画

gx

（2）观察函数丫=-吃一的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

x'+4

①当-2-W2时，函数图象关于直线y=x对称；

②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；

③时，函数y的值随x的增大而减小，其中正确的是②③.（请写出所

有正确命题的番号）

gx

（3）结合图象，请直接写出不等式=—的解集x<-2或0VxV2.

x?+4

【分析】（1）利用函数解析式分别求出x=-2和x=l对应的函数值；然后利用描点法

画出图象即可；

（2）观察图象可知当x<0时，y随x值的增大而增大；

（3）利用图象即可解决问题.

8x

解：（1）把x=-2代入y=--得，丁=2，

x^+4

8xQ

把x=l代入y=--得，y=-,

x”+45

・・〃=2,b=---,

5

画出函数图象如图:

8x

(2)观察函数,，=-一口的图象，

①当-2WxW2时，函数图象关于原点对称；错误；

②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；正确;

③时，函数y的值随x的增大而减小，正确.

故答案为②③；

gx

(3)由图象可知，函数丫=--3一与直线尸-x的交点为(-2,2)、(0,0)、(2,

x"+4

-2)

8x

，不等式-5—>X的解集为x<-2或0<xV2.

x^+4

故答案为：xV-2或0<x<2.

24.“思路创新，黄土成金”，在“精准扶贫、精准脱贫”总体安排下，我区某镇开创性引

进新品种经济作物一翠冠桃，并打造了集桃花观赏、爱心认购、入园采摘于一体的“大

宝寨”翠冠桃基地.去年、今年翠冠桃产量连续喜获丰收，该基地翠冠桃销售采用入园

采摘和园外销售两种模式.

(1)去年该基地翠冠桃产量为60吨，全部售出，其中入园采摘销售量不超过园外销售

量的3倍，求该基地入园采摘销售量至多多少吨？

(2)该种植基地去年翠冠桃入园采摘销售均价为8元/千克，园外销售均价为5元/千克,

入园采摘销售量正好为(1)中的最大值，今年由于加大宣传、新苗挂果等原因入园采摘

销售均价在去年的基础上上涨4%,园外销售均价也上涨看〃％,入园采摘量在去年的基

础上增加了15吨，园外销售量在去年的基础上上升了今年销售完毕后，基地决

定从销售总额中投入11400〃元引进晚熟青脆李，打造“桃李满园，果香留仙”特色品牌

基地，这样投资后的剩余总销售额正好与去年销售总额持平，求。的值（其中。<50）.

【分析】（1）设该基地入园采摘销售量为尤吨，则园外销售量为（60-x）吨，根据入

园采摘销售量不超过园外销售量的3倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其

中的最大值即可得出结论；

（2）利用总销售额=销售单价X销售数量，结合从销售总额中投入11400“元引进晚熟

青脆李后的剩余总销售额正好与去年销售总额持平，即可得出关于a