高中数学一年级期末考重难点归纳总结（解析版）

期末考重难点归纳总结

0000

(0

真子集

子集II部分元素

集合间的关系［集合相等求参数注意端点是否取等

集集合的基-----------------------------、

合t

本运算_；交集一并集一全集补集।

与r______三一_____=_/

逻

辑充分条件1一化简条件与结论，根据范围大小判断

用必要条件_［小范围可推出吝干围，大范围推不出小范围1

语

全称量词与存质词X系量词有差量词

无参数型

解W不等式.彳系菽分类讨论

个数判别式

根相关问题不亍,—-

一元二次------------十正负韦达定理

三个一元二次的关系

基本的不等式常数替换型配凑型箱元型

期

函数三要素定义域、值域、解析式

末

X2定义法、图像法、性质法

复单调性/-------------------------

习函数的性质j----d运用：值域、比较大小、解不等式

奇偶性定义法、图像法

幕函数

踊对数的运算

指数与对数函数-}«函数的性质

任意角与弧度制—角的分类扇形的弧长与面积

I:三角函数盘角三角和单位圆的菽

三角函数的定义(三角函数值的正负判断

同角三角函数-弦的齐次—弦的加减乘

三T

角,_______________________________________、公式运用

函

数诱导公式奇变偶不变，符号看象象利用公式化简求值

三角恒等赢两角三差二倍角人皂/，角的拼凑

三角函数三要素一解析式_定义域一值域

三角函三角函数的性质单调性周期性

I数性质

图像的变化横纵坐标的伸缩平移

几何

拓上要条件

।~~0^00-----------------------------------

考点一集合与逻辑用语

【例1-1】（2022忻州月考）已知集合A={x|2—x>3},B={x|x2-9<0},则Ac3=（）

A.{x|-3<x<l}B.{x|-3<x<-l}

C.{x|-l<x<3}D.{x|l<x<3}

【答案】B

【解析】由题意可得A={x[x<-l},B={x|—3<x<3},则AcB={x|-3<x<-l}.

故答案为：B

【例1-2】（2022高一上.千阳开学考）不等式Y—X—220成立的一个充分不必要条件是（）

A.%>0B.x<-l或x>2

C.xe{-1,3,5}D.x4—1或xN2

【答案】BC

【解析】解不等式X—220,得xN2或*4一1,

结合四个选项，A是其既不充分也不必要条件，D是充要条件，B、C选项是其充分不必要条件.

故答案为：BC.

【一隅三反】

1.（2021高一上.浙江月考）（多选）已知全集U={0,12,3,4},集合M={2,3,4},N={（）,1,4},则下列

判断正确的是（）

A.={0,123,4}B.&M）cN={0,l}

C.q,,N={1,2,3}D.McN={0,4}

【答案】AB

【解析】因为全集U={00,2,3,4},集合M={2,3,4},N={0,l,4},

所以={0,1,234},&M）cN={0,l}6N={2,3},McN={4}。故答案为：AB

2.（2022高一上.黑龙江月考）（多选）下列条件可以作为f<i的充分不必要条件的有（）

A.x<lB.x=0C.x>-lD.-1<x<0

【答案】BD

【解析】由/<1，即（-1）<0,解得因为所以X<1是尤2<1的

必要不充分条件，故A错误；

（）e（—1,1）所以x=0是f<i的充分不必要条件，故B正确；

（一1,1）。（—1,+8）,所以%>-1是f<i的必要不充分条件，故C错误；

（一1,0）。（—1,1）所以—l<x<0是的充分不必要条件，故D正确；

故答案为：BD

3.（2021高一上•齐齐哈尔期末）（多选）下列命题正确的是（）

A.a>l,人>1是"+尸>2的充分不必要条件

B.工>0是2'>/的充分条件

C.Vxe（3,+8）,2X<3'T

D.*e（0,+oo）,2A/X>X3+X2

【答案】ACD

【解析】对于A中，由b>l,可得"+">2,所以充分性成立，

反之：例如。=1,匕=2时，满足片+尸>2,但不成立，所以必要性不成立，

所以。>1,6>1是。2+/>2的充分不必要条件，所以A符合题意；

对于B中，当x=2时，可得2'=/=4,所以充分性不成立，所以B不正确；

2

对于C41,令/(X)=(§)*,XW(3,+8),

根据指数函数的性质，可得函数/(x)在(3,+8)上为单调递减函数，

2Q121

所以〃,<(1)3=药<§,可得(§)，<§,所以VX«3,+8),2、<3f所以c符合题意：

对于D中，当彳=」时，可得2,口=1,(』)3+(工)2=2,此时1>』，

4V4446464

所以命题“小e(0,+oo),26>x3+x2”为真命题.

故答案为：ACD.

4.(2021高三上•福州期中)(多选)下列命题为真命题的是()

A.命题“Vx<l,/<i”的否定是“3c<i,-21，，；

B.函数=万-jm,与函数g(x)=V7^T是同一个函数；

C.已知命题“VXG[L3],不等式x2-ax+4>0为真命题”，贝U«取值范围为«<4；

D.设a,beR,贝『'a^O或b丰2”的充要条件是“a+b^2

【答案】AC

【解析】B：函数/(%)的定义域为{x|x>l},函数g(x)的定义域为{x|xNl或%<-1}

所以fM与g(x)不是同一个函数，B不符合题意；

4

C：当xe[L3]时，x2-ox+4>0恒成立，则a<x+—(l<xW3)恒成立，

x

44I~4

即Q<(X+—)min，又X+->2Jx«-=4(当且仅当％=2时等号成立)，

XX\X

所以a<4,C符合题意；

D：若a+h^2,则awO或b丰2；若a=Lb=\则a+h=2,

所以“a+b^2”是"awO或b丰2”的充分不必要条件，D不符合题意.

故答案为：AC

考点二不等式

【例2-1]（2022高二下•保定期末）（多选）己知正实数x,y满足3x+y+孙-13=0,且2/-f-4,,2y-孙

恒成立，则t的取值可能是（）

33

A.----B.-1C.1D.一

22

【答案】BCD

【解析】由3x+y+盯-13=0,得（x+l）y=-31+13,因为x>0,所以x+lwO,所以

-3x4-13c16l16_.16[77AA

y=----------=-3+------，则rlx+y=%+--------3=x+l+--------4A..2716-4=4,

x+1x+1x+1x+1

当且仅当x=3时，等号成立，故2丁一孙=3（x+y）—13...—l,

3

因为2产4,,2y-冲恒成立，所以2/一53,,0,解得-1别].A不符合题意.

故答案为：BCD.

【例2-2]（2022罗山期中）己知实数x,y满足l<x<6,2<y<3,则（）

A.3<x+y<9B.-1<x-y<3

]x

C.2<xy<18D,—<一<2

2y

【答案】AC

【解析】由l<x<6，2<y<3,知3<x+y<9,2<xy<18,A、C符合题意；

-3<-y<-2,故一2<x—y<4,B不符合题意；,故彳<二<3,D不符合题意.

3y23y

故答案为：AC.

【例2-3]（2022.石家庄模拟）设正实数m,n满足机+〃=2,则下列说法正确的是（）

A.‘+■上的最小值为2B.加〃的最大值为1

mn

C.J/+Ji?的最大值为4D.〃+/的最小值为7

4

【答案】A,B

【解析】*.*m>0,n>0,m+n=2,

3」(,〃+〃)化+n=42+3匕42+2乒］=2,

mn2n)2(mn)21\mn

nrn

当且仅当土=竺，即m=〃=1时等号成立，A符合题意;

mn

m+n=2>2yfmn,mn<\,当且仅当根=〃=1时，等号成立，B符合题意;

+册）<2（而）+（册）=4,>jm+>fn<^2（//7+H）=2,当且仅当加=〃=1时等号成

立，最大值为2,C不符合题意；

苏+〃2"（?+〃）2=2,当且仅当加=〃=1时等号成立，D不符合题意.

2

故答案为：AB

【一隅三反】

1.（2023安徽月考）已知正数。，6满足（。—。（。—2）=4,则。+4。的最小值为（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】B

【解析】a+4b=（a-1）+4（/?-2）+9..2^4（«-1）（/?-2）+9=17,

'Q-1=4（b—2）,

当且仅当1）3-2）=4'即£=?时取等号故答案为：B

a>1,3=3

、b>2,

2

2.(2022•惠州)函数/(工)=x：^―-4士r上+52(1之53有()

x-22

A.最大值!■B.最小值1•C.最大值2D.最小值2

22

【答案】D

5X2-4x+5(r-2)2+11

【解析】(方法1)vx..-,/.x-2>0,则-----——=(x-2)+---..2,当且仅当

2x-2x-2(x-2)

x—2=--—，即x=3时，等号成立.

x—2

(方法2)令x-2=1,x..,:.x=t+2.

22

将其代入，原函数可化为y=（'t2）一二：（叶2）15=二>=/+；..2H=2,当且仅当「=；,即，=1

时等号成立，此时x=3.

故答案为：D

3.（2022如皋开学考）（多选）已知。>0,b>0,Q+北=1,则下列结论正确的是（）

A.的最小值为9B./+〃的最小值为好

ab5

C./。82。+/。82人的最小值为一3D.2"+4"的最小值为2夜

【答案】AD

【解析】A.因为。>0,b>0,a+2b=l,所以

12（12Y=2b2a__12b2a八、i,口+2b2a,1„,

—H■—=|-H■—（a+2b}-5+1>5+2J-----=9,当且仅当一=一,即a=b=一时，等

ab）ab\abab3

号成立，故正确；

B.因为a>0,b>0,a+2b=\,所以a=l—必，所以

a2+b2+b2=5Z?2-4Z?+1=50—|）+（［°<Z7<g）'当人=|时，取得最小值（，故错

误；

C.因为l=a+2822j荻，所以当且仅当a=20=1，即a=［,b时，等号成立，所

以这2。+log2b=腌2帅Wlog2!=—3,所以bg；+/og:的最大值为一3,故错误；

8

D.因为a>0,Z?>0,以+2b=1,所以2。+2d2。.4"=2d2。+3=20，当且仅当2"=4"，即

。=3,时等号成立，所以2“+4”的最小值为2夜，故正确；

故答案为：AD

考点三函数

【例3-1］（2022鞍山）”基函数/（x）=（>+机-1卜小在（0,+纥）上为增函数，，是“函数

g（x）=2*-加2*为奇函数”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】要使函数/(x)=(M+加一1卜'"是界函数，且在(0,+8)上为增函数，

')11

则｛，解得：m=X,当m=1时，g(x)=2X-2~x,XGR,

m>0

则g(―x)=2T-2*=—(2*—2-")=—g(x),所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；

“函数g(x)=2、->.2r为奇函数”，

则g(x)=-g(-x),即2V-m2.2-x=-(2-v-nr-2x)=m2-2x-2T,

解得：m=±l,故必要性不成立，

故答案为：A.

【例3-2](2022安徽)已知函数/(x)=(a-l)x3+x2+/Mx2+2)为R上的偶函数，则不等式

/(2x—l),J⑷的解集为()

A.[-2,2]B.[-1,2]C.[—1,1]D.[0,1]

【答案】D

【解析】由函数.f(x)=(a—l)x3+x2+/Mx2+2)为偶函数，则/(x)=/(-x),可得(0-1)%3=0恒成

立，得&=1,贝ij函数/(%)=》2+优(》2+2)

又/(%)=V+ln(x2+2)在[0,+⑼上单调递增，则f(2x-1)</(I)可以变为/(|2%-1|)</(I)，则

|2%-1|<1,解得OWxWL

故答案为：D.

【例3-3](2022沧州期末)已知a=log32,/?=log52,c=，则。，b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】易知a，^£(0,1),又a=log32=4£,/?=log52=^|,因为lg2>0,l>lg5>lg3>0,所以

lg3lg5

鲁卡，即”—已所以打….

馆3lg5(3JUJ2

故答案为：B.

【例3-4】(2022高一上.和平期末)已知。>0且.1,函数/(%)=[("+/一*"4满足

x

(afx>0.

对任意实数玉/马，都有/(")一/(%)〉0成立,则。的取值范围是()

x2-Xx

A.(04)B.C.—,+oojD.(l,+8)

【答案】B

【解析】【解答】因为/(X)对任意实数办工工2,都有>0成立,

X2~~Xi

Q—1>0S(5~

所以/(x)在R上为增函数，所以a>l，解得所以。的取值范围为1，£,

la°>3a-43I3」

故答案为：B

v-~+2(x<0

【例3-5](2022高一上.太原期末)已知〃》)=,-'若关于的方程/(%)=%恰有两个不同

Inx,x>0,

的实数解，则实数k的取值范围是()

A.{-1}B.(—1,0)

C.(0,+8)D.{-1}3(0,+8)

【答案】D

【解析】作出函数/(x)的图象与直线>=%,

观察图象，攵〉0或2=-1时，直线与曲线有两个交点，故实数Z的取值范围是{-l}J(0，+8).

故答案为：D

【一隅三反】

a=log，TI。=bg［6

1.（2022高一上.达州期末）已知'2,,5，则。，人，c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】因为4=3［〉333=1，0<b=gJ<（：j=l，c=/og『</og?=0,所以可得

a>b>c.故答案为：A

2.（2022高一上.大同期末）已知函数〃司=监司_<卜iY有两个零点玉、尤2,则下列关系式正确的是（）

A.0<XjX2<1B.XjX2=1C.1<XjX2<2D.xxx2>2

【答案】A

【解析】〃司=|3|-\］的零点即为函数丁=|姐|与>=口］的交点横坐标，如图.

v3/\3;

记（g］=m,则/g%2=Tg%3=m，*2=10"',%=1（T'"所以尤2彳3=10°=1

由图知0<%<七<1所以。<玉々<1故答案为：A

3.（2022湖北月考）（多选）已知函数/（x）=/g（x2+ar-a—1）,给出下述论述，其中正确的是（）

A.当a=0时，/（力的定义域为（一8,-l）u（l，+8）

B.当a=0时，/（力的值域为R

C.对任意的aeA,/（x）均无最小值

D.若/（x）在区间[2,+8）上单调递增，则实数a的取值范围是3。2-4}

【答案】ABC

【解析】A.当a=0时，”x）=/g（x2—i）,则％2_1>0,解得％>1或％<一1,所以/（x）的定义域为

（-°°，—l）D（l，+8）,故正确；

B.当a=o时，"x）=/g（x2—l）,M=f—1能取遍（0,+纥）所有的正数，所以“X）的值域为R,故

正确；

/、2]

C.u=x2+ax-a-\=x+—一一（«+2）2.则复合函数y=/（x）是由

<2）4

（、2]（t]

y=Inu,u=x+———（々+2）2复合而成的，而〃=x+———+无最小值，所以对

\2）4\2）4

任意的aeR，/（x）均无最小值，故正确；

D.若/（x）在区间[2,+8）匕单调递增，由复合函数的单调性知：”=/+0c一。一1在区间[2,+8）上单

调递增，则—142解得。2-4,又X2+办—。一1>0在区间[2,+8）上恒成立，则22+2a—a—1>0,

解得a>—3,所以实数a的取值范围是{a|a>-3},故错误；故答案为：ABC

4.（2021高一上•葫芦岛月考）（多选）已知函数/（x）=/og2%—x+2,在下列区间中，一定包含/（x）零

点的区间是（）

「1、

A.-AB.[1,2）C.[3,4）D.[4,5）

【答案】AD

【解析】【解答】因为/（力在（0，+e）上的图象是连续不断的，且/（；[八1）=-；<0,

/（1）/（2）=1>0,/（3）=/^23-1>0,/（4）=0,所以一定包含/（力零点的区间是pl|,[4,5）O

47

故答案为：AD.

a+ax,%>0,

5.（2022高一上.岳阳期末）若函数/（%）（〃>0且。工1）在R上为单调递增

3+(a-])“，%V0,

函数，则a的值可以是()

A.-B.2C.3D.4

2

【答案】BCD

a+ax,%>0,

【解析】因为函数f(x)=13>0且awl)在R上为单调递增函数，

.3+(a—2)%,%<0，

'a>1

则函数需满足：,a-*>0,即：.故答案为：BCD

。+1Z3

6.(2021高一上•定州期末)已知“X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，〃力=/+升5,则()

A./(O)=OB.函数g(x)=犷(x)为奇函数

C./(-1)=-7D.当x<0时，/(x)=—d+x—5

【答案】ACD

【解析】对于A,/(力是定义在R上的奇函数，故/(O)=O,A符合题意.

对于B,由g(-x)=Tf(T)=^(x)=g(x),得g(x)为偶函数，B不符合题意.

时于C,/(—1)=—/(1)=一7,C符合题意，

对于D,当x<0时，一x>0,f(x)=-f(—x)=—x2+x—5,D符合题意.

故答案为：ACD.

7(2022高一上.雅安期末)已知定义在R上的奇函数/(x)=(a+l)2'+(a-l)2T.

(1)求。的值；

(2)用单调性的定义证明/(x)在(-8,+8)上是增函数；

⑶若/小(-1)<。，求m的取值范围.

【答案】见解析

【解析】(1)解：由/(X)是定义在R上的奇函数知/(0)=0,

:.a+1+a-l=0,...〃=(),

经检验知当a=0时，/(力=2*—2-x是奇函数，符合题意.

故。=0.

（2）解：设西，x2eR,且不＜々，则

“6〃西）=（2*-2』）-（2』-27，）

(2应_2』)

（2松—2小）+

2X|-2'2

（27）二

>0

，/（%2）＞/（X），故/（X）在（-0。,+00）上是增函数.

（3）解：由（2）知奇函数/（x）在（-8,+8）上是增函数，故

/仕］+/(-1)<00/仕］<-/(-1)。庐］<八1)0乂10—)0

J)\mJm\m/

u>v0或〃2>1,

所以满足/（'）+/（-1）＜0的实数加的取值范围是（F，0）U（l，+8）.

考点四三角函数

【例4T】（2022高一上•成都期末）若■■-0）=-］,0efo,—L贝ijs初（。+不）的值为（

)

D.旦

3

【答案】D

【解析】因为e/o,。所以兰—Oe但，出，

\2/6\367

又因为C0s（^_e）=_'|,所以57%（牛■-。）=乎,

元一［,一。］=s加［答_o］=曰.

所以sin|9+—=sin

\6J

故答案为：D.

【例4-2］（2022高一上•太原期末）函数/（幻=5%（2%+口一立〃£—2xJ（04xw|J的值域为（

)

A.印，及

B.

2

F1-V3V3-1

C.，D.

22

【答案】A

7171

【解析】/（x）sim2x+--5m--2x=sin\2x+-—cos2x+—j=41sinI2x+—

363312

「c,兀兀c71,13兀

义04xW-,—K2xH---W---，

2121212

.V2—V6(兀、

<sin\2x-\---<1,

4I12；

：.^<yf2Sin(2x+^\<^2,

212

...函数/(X)=y[2sin\lx+^\的值域为

故答案为：A

【例4-3］（2022高一上.泸州期末）已知第三象限角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,

、

1-sinacosa

终边与单位圆交于点P一手,则()

m2.?

/cos"a-sina

A・考2V2

B.cD.-1

r-4

【答案】D

+加2=1,解得,”=±拽，

【解析】由题意得,

5

又a为第三象限角，所以m=一2叵，故si〃a=-述

cosa=------

555

所以,故答案为：D.

4

【例4-4]（2022高一上•白山期末）已知cos一，则2aH—]—()

5I4；

7「16

A.——C.---Dr.—16

25B-2525

【答案】B

/I7T7Tjrjr1A7

【解析】由题得2a+—=sin[——(——2a)]=cos{——2a)=2cos2(——a)-1=2x---1

I4j24482525

故答案为：B

【例4-5]（2022高一上•泰安期末）已知函数=泳or+2cos（必>。0,3〉0）的图象的一个对称

TTTT

中心到相邻对称轴的距离为:，且/（0）+/（g）=6,则函数/（x）在下列区间上单调递减的是（）

69

A.(0$B.

24

、.5兀2兀、

C.(早)D.(---,----)

3263

【答案】D

【解析】因为函数/（幻=侬血3+2cos0比（利。0,3>0）的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离

7T12兀71

是所以一X」=?,解得C0=3.

64co6

又/(0)+/©)=6,所以2+走根+2x^=6,解得〃?=26，

922

所以/(x)=Wisin3x+2cos3x=4s山

人兀­，c7i3元c,,一…八，兀2kn4兀2kn,一

令——Kk2kit,keZ,解侍—1~<x<—+,kGZ,

2629393

jrObrr47r2后兀

所以函数/(x)的单调递减的是—+—，ksZ

,5兀2兀、1ITI8兀

当攵=一2时，（---，---）^一~-

o59~9

所以函数/（X）在区间）±单调递减.

63

故答案为：D.

【一隅三反】

1.（2022安徽月考）已知ae（0,兀），且sina+#）si〃[a++二]=1,则cos（a+Z）=（）

A2及R2V2ry/2nV2

3333

【答案】A

【解析】sina+Vs.vmfa+']+cos(a—&]=sina+yf3cosa+cosa+—sina=3sin(a+']=1,

I2j[622I3

TT112V2

则sinOH■一—<——因为ae（O,兀），故awa+

I3J32亍

故答案为：A.

2.（2022如皋月考）通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割

vl+cos36°

率，黄金分割率的值也可以用2sinl80表示，即火」=2sinl8°.记m=2sinl8°，则7•，二

2（机--2）-sinl44°

（）

A.-s/2,B.-2C.V2D.V5-1

【答案】A

【解析】【解答】•.•m=2sinl8。，

.Jl+cos36。=$2cos-8。42cos\8°鬲〃72。

=-5/2o

2

(/〃2-2).sinl44°(4,vm18°—2)si〃36°——2cos36°si〃36°-sinJ20

故答案为：A.

3（2022高一上•湖北期末）（多选）已知a^R,s/a+cosa二注，那么3四的可能值为（）

2

A.2+6B.-2+73C.2->/3D.一2一6

【答案】BD

、6

【解析】【解答】因为sina+cosa=①，又sin2a+cos2a=1②,

c；…_^2+>/6

sina=-----------sina—

4

联立①②，解得，4或，，

V2+V6—>/6

cava=-------cosa=-----------

1414

因为aeR,所以柩〃a=-2+百或一2-6.

故答案为：BD

13兀

4.（2022高一上•邢台期末）（多选）已知函数〃x）=sin(DXH--+--cosfa)x-yl+l(0<a)<8),且

6

（讣2,则（）

A./（x）的值域为

B./（x）的最小正周期可能为

C.“X）的图象可能关于直线x=$对称

D./（力的图象可能关于点（-£，1]对称

【答案】ACD

【解析】/（x）=sin（cox+£]+cos（3x+n]+l=2sin[cox+']+le[-1,3],A符合题意；

由二]=2sin（殳3+$]+1=2,得四€0+四=q+2匕1（&wZ）或43+q=型+22兀（女EZ）,即

\36J366366

3=6%（%GZ）或3=2+6%（kcZ）,因为0V3<8,所以3=2或CO=6,当co=2时，

/a）=2sin（2尢++则丁=兀,2乂二+$=二，〃x）f向图象关于直线x=与对称，C符合题意；当

I6626

兀、7CI7T।71

6x4--H-1,则T=7,6x+7=。，B不符合题意，D符合题意.

（6J3136J6

故答案为：ACD.

5.（2022高一上•和平期末）已知tan（7t+a）=2,a是第三象限角，则

兀

sin+a+sin(7i-a

(2

..(请用数