高二分册数学教案

高二分册教案

第六章不等式

第一教时

教材：不等式、不等式的综合性质

目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质

1II0

过程：

一、引入新课

1.世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

2.过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题

二、几个与不等式有关的名称（例略）

1.“同向不等式与异向不等式”

2.“绝对不等式与矛盾不等式”

三、不等式的一个等价关系（充要条件）

1.从实数与数轴上的点一一对应谈起

2.应用：例一比较与的大小

解：（取差）一

例二已知#0,比较与的大小

解：（取差）-

从而〉

小结：步骤：作差一变形一判断一结论

例三比较大小1.和

解：：

・・

2.和

解：（取差）-•••

.•.当时〉;当时=；当时＜

3.设且，比较与的大小

解：

当时W；当时学

四、不等式的性质

1.性质1：如果，那么；如果，那么（对称性）

证：•••.•.由正数的相反数是负数

2.性质2：如果，那么（传递性）

证：•••，

•.•两个正数的和仍是正数

・•

由对称性、性质2可以表示为如果且那么

五、小结：1.不等式的概念2.一个充要条件

3.性质1、2

六、作业：P5练习P8习题6.11—3

补充题：1.若，比较与的大小

解：......》

2.比较2sin0与sin29的大小（0<0<2兀）

略解：2sin0-sin20=2sin0（l-cos0）

当。€（0,兀）时2sin0（l-cos0）》02sin0》sin20

当（兀,2兀）时2sin0（l-cos0）<O2sin0<sin20

3.设且比较与的大小

解：

当时，>

当时..>

，总有〉

第二效时

教材：不等式基本性质（续完）

目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清

楚事物内部是具有固有规律的。

过程：

一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2

二、1.性质3：如果，那么（加法单调性）反之亦然

证：

从而可得移项法则：

推论：如果且，那么（相加法则）

证：

推论：如果且，那么（相减法则）

证：,/

或证：

上式>0.....

2.性质4：如果且，那么；

如果且那么（乘法单调性）

证：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：

时即：

时即：

推论1如果且，那么（相乘法则）

证：

推论1'（补充）如果且，那么（相除法则）

证：,//.

推论2如果，那么

3.性质5：如果，那么

证：（反证法）假设

则：若这都与矛盾•••

三、小结：五个性质及其推论

口答P8练习1、2习题6.14

四、作业P8练习3习题6.15、6

五、供选用的例题（或作业）

1.已知，，，求证：

证：

2.若，求不等式同时成立的条件

解：

3.设，求证

证：,?

又；.\>0

4.比较与的大小

解：一当时•.•即

当时即

5.若求证：

解：：，

・♦・•

♦♦♦・♦

6.若求证：

证：7T>1，

又•••

，.•.原式成立

第三教时

教材：算术平均数与几何平均数

目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及

其推导过程。

过程：

一、定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）

证明：

1.指出定理适用范围：

2.强调取“=”的条件

二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）

证明：*/，

即：当且仅当时

注意：1.这个定理适用的范围：

2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平

均数。

三、推广：

定理：如果，那么

（当且仅当时取“=”）

证明：；

二上式NO从而

指出：这里•.•就不能保证

推论：如果，那么

（当且仅当时取“=”）

证明：

四、关于“平均数”的概念

1.如果则：

叫做这n个正数的算术平均数

叫做这n个正数的几何平均数

2.点题：算术平均数与几何平均数

3.基本不等式：力

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

4.的几何解释：

以为直径作圆，在直径AB上取一点C,

过C作弦DDUAB则

从而

而半径

五、例一已知为两两不相等的实数，求证：

证：,/

以上三式相加：

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念

基本不等式（即平均不等式）

七、作业：P11-12练习1、2P12习题5.21-3

补充：1.已知，分别求的范围

（8,11）（3,6）（2,4）

2.试比较与（作差〉）

3.求证：

证：

三式相加化简即得

第四数时

教材：极值定理

目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。

过程：

一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式

二、若，设

求证：

加权平均；算术平均；几何平

均；调和平均

证：,/

...即：（俗称累平均不等式）

由平均不等式

即：

综上所述：

例一、若求证

证：由幕平均不等式：

三、极值定理

已知都是正数，求证：

1°如果积是定值，那么当时和有最小值

20如果和是定值，那么当时积有最大值

证：,//.

1。当（定值）时，

•.•上式当时取“="当时有

2。当（定值州寸，/.

•.•上式当时取“=”，当时有

注意强调：1。最值的含义（“》”取最小值，“W”取最大值）

2。用极值定理求最值的三个必要条件：

一“正”、二“定”、三“相等”

四、例题

1.证明下列各题：

（1）

、丁・・•

证：...

于是

⑵若上题改成，结果将如何？

解：：

于是

从而

⑶若则

解：若则显然有

若异号或一个为。则

2.①求函数的最大值

②求函数的最大值

解：①•••，，当即时

即时

②：，

，当时

3.若，则为何值时有最小值，最小值为几？

解：：/.

•一

当且仅当即时

五、小结：1.四大平均值之间的关系及其证明

2.极值定理及三要素

六、作业：P12练习3、4习题6.24、5、6

补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？

10时

2°

3。时

第五数时

教材：极值定理的应用

目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理,从而更熟练地处理一些最值问题。

过程：

一、复习：基本不等式、极值定理

二、例题：1.求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？

解一：

解二：当即时

答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二

错在不是定值（常数）

正确的解法是：

当且仅当即时

2.若，求的最值

缶刀x~-2x+21(x—I)2+1]11[、1]

解•———=------;-=-[(x-l)+--]=--[-rUz.1)+——-]

2x—22x—12x—12—(x—1)

从而

即

3.设且，求的最大值

解：；

又

即

4.已知且，求的最小值

解：

当且仅当即时

三、关于应用题

1.PU例(即本章开头提出的问题)(略)

2.将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角(四个全等的正方形)，作成

一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容

积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为

则其容积为

当且仅当即时取“=”

即当剪去的小正方形的边长为时,

四、作业：P12练习4习题6.2

补充：

1.求下列函数的最值:

1°(min=6)

2°()

2.1。时求的最小值，的最小值

2。设，求的最大值(5)

3。若，求的最大值

4。若且，求的最小值

3.若，求证：的最小值为3

4.制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和

高各取多少时，用料最省？(不计加工时的损耗及接缝用料)

第六数时

教材：不等式证明一(比较法)

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之-----比较法,

要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1.不等式的一个等价命题

2.比较法之一(作差法)步骤：作差一一变形一一判断一一结论

二、作差法：(P13—14)

1.求证：X2+3>3x

证：*.*(x2+3)-3x=

.,.X1+3>3x

2.已知。，仇加都是正数，并且a<b,求证：

证：

,.,a,/?,都是正数，并且a。，.\b+m>0,b-a>0

：,即：

变式：若a>b,结果会怎样？若没有％<5”这个条件，应如何判断？

3.已知a,Z?都是正数，并且。力匕，求证：a5+b5>crb3+a3b2

证：(a5+b5)-(a2&3+a3/?2)=(a5-cPb2)+(b5-c^b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-〃)=(a2-b2)(«3-护)

=(a+b)(a-/?)2(«2+ab+b2)

,.,a,b都是正数，...a+b,屋+"+〃〉()

又•：a丰b,(a-b)2>0(a+h)(a-Z?)2(a2+ab+b2)>0

即：a5+b5>a2b3+a'tr

4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度相

行走，另一半时间以速度”行走；有一半路程乙以速度机行走，另一

半路程以速度”行走，如果〃?*“，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S,

甲乙两人走完全程所需时间分别是力"2,

贝U：可得：

'.'S"找，〃都是正数，且"27〃，，力一f2<0即：力</2

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m=n,结果会怎样？

三、作商法

5.设a,Z?eR+,求证：

证：作商：

当a=〃时，

当a>。>0时，

当。>a>0时，

.••(其余部分布置作业)

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：作差、作商

五、作业：P15练习

P18习题6.31—4

第七放时

教材：不等式证明二(比较法、综合法)

目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法

证明不等式。

过程：

一、比较法：

a)复习：比较法，依据、步骤

比商法，依据、步骤、适用题型

b)例一、证明：在是增函数。

证：设2WXI<JQ,则

*/%2-XI>0,XI+X2-4>0/.

又力1>0,.*.yi>y2.,•在是增函数

二、综合法：

定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的

不等式，这个证明方法叫综合法。

i.已知a,",c是不全相等的正数，

求证：+c2)+仇c2+屋)+c(屋+b2)>6abc

证：b2+c22Ibc,a>0,aib1+c2)/labc

同理:b(c2+a2)》labc,c(tz2+b2)》labc

：.a(b2+c2)+^(c2+a2)+c(a2+/?2)06abe

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,Z?,c是不全相等的正数

a（b2+c2）+b（心+a2）+c（a2+b2）>6abe

ii.设a,b,ceR,

1。求证：

2。求证:

3。若a+b-1,求证：

证：1°V

2。同理：，

三式相加：

3。由嘉平均不等式：

iii.a,h,ceR,求证：1°

2°

3°

证：1。法一：，，两式相乘即得。

法二：左边

23+2+2+2=9

2°V

两式相乘即得

3。由上题：

即：

三、小结：综合法

四、作业：P15—16练习1,2

P18习题6.31,2,3

补充：

1.已知a,beR+且aH〃，求证：（取差）

2.设aeR,x,yeR,求证：（取商）

3.已知a,beR+,求证：

证：•:a,beR+：.：.

4.设〃>0,〃>0,且a+力=1,求证:

证：*/JI.

第八教时

教材：不等式证明三（分析法）

目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：

一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条

件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

二、例一、求证：

证：•••综合法：

只需证明：•；21<25

展开得：•••

即：/.

•・

・・・♦

即：21<25（显然成立）I.

••

・・••

例二、设x>0,y>0,证明不等式：

证一：（分析法）所证不等式即：

即：

即：

只需证：

,成立

证二：（综合法）

Vx>0,y>0,工

例三、已知：a+h+c=0,求证：ab+he+caW0

证一：（综合法）•/«+/?+c=0=0

展开得：

Jab+be+ca<0

证二：（分析法）要证Q〃+〃C+CYZW0•.•。+力+。=0

故只需证ab+be+caW（〃+/?+c）2

即证：

即：（显然）

・••原式成立

证三：•.•。+。+。=0；・-c=a+b

ab+be+ca=ab+（a+b）c=ah-（a+ft）2=-a2-b2-ah

例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指

横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水

管流量大。

证：设截面周长为/,则周长为/的圆的半径为，截面积为，

周长为/的正方形边长为，截面积为

问题只需证：>

即证：>

两边同乘，得：

因此只需证：4>兀（显然成立）

/.>也可用比较法（取商）证，也不困难。

三、作业：P18练习1—3及习题6.3余下部分

补充作业：

1.已知0<。v兀，证明：

略证：只需证：VO<0<7t.*.sin0>0

故只需证：

即证：V1+cos0>0

只需证：

即只需证：

即：（成立）

2.已知。为锐角，求证：

略证：只需证：

即：（成立）

3.设是的AABC三边，S是三角形的面积，求证：

略证：正弦、余弦定理代入得：

即证:

即：

即证：（成立）

第九数时

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问

题。

过程：

一、提出课题：（换元法）

二、三角换元：

例一、求证：

证一：（综合法）

即：Z.

证二：（换元法）.'.令x=cos9,0e[O,n]

贝U

例二、已知x>0,y>0,2x+y=L求证:

证一：即：

证二：由九>0,y>0,2x+y=l,可设

贝I

例

若求证:

设

则

例四：若x>1,y>\,求证：

证：设

则

例五：已知：a>l,b>O,a-h=1,求证:

iiE：'.'a>\,b>Q,a-b=\，不妨设

贝！I

V,.\O<sin0<1

小结：若OWxWl,则可令x=sinO()或3=sin2。()。

若，则可令x=cosO,y=sin。()。

若，则可令x=sec。,y=tanO()。

若则可令x=secO()。

若xeR,则可令x=tanO()。

三、代数换元：

例六：证明：若。>0,则

证：设

则

(当a=1时取“=”)

•*・

即.•.原式成立

四、小结：

还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学

习。

五、作业：

1.若，求证：

2.若同<1,依<1,贝I

3.若因<1,求证：

4.a>l,b>O,a-b=1,求证：

5.求证：

6.已知|a|Wl,|例《1,求证：

第十教时

教材：不等式证明五(放缩法、反证法)

目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。

过程：

一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法

提出课题：放缩法与反证法

二、放缩法：

例一、若a,b,c,deR+,求证：

证：t己/"=

'."a,b,c,d&R+

/.1<m<2即原式成立

例二、当«>2时，求证：

证：'：n>2：.

一2一,2

1//clog„(n-l)+log„(n+l)log„(rt--1)

log„(/?-1)log„(/?+1)<---------------------------=-------------

•*.»>2时,

例三、求证：

证：

1iii,,11111c1C

+—+—+•••+—7<1+1一一+----+•••+-H-—----—2—<2

F2232n2223n-1nn

三、反证法：

例四、设0<a,"c<l,求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于

证：设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,

则三式相乘:ab<(\-d)b'(1-b)c"(\-c)a<①

XV0<a,b,c<1,

同理：，

以上三式相乘：(1-«)«•(1-/?)/?•(1-c)c^与①矛盾

，原式成立

例五、已知a+〃+c>0,ah+be+ca>Q,abc>0,求证：a,b,c>0

证：设"0,"/abc>0,be<0

又由a+Z?+c>0,则/?+c=—a>0

ab+be+ca=a(b+c)+be<0与题设矛盾

又：若a=0,则与出?c>0矛盾，二必有a>0

同理可证：b>0,c>0

四、作业：证明下列不等式：

1.设无>0,y>0,,,求证：a<b

放缩法：

2.Ig94gll<1

3.

4.若a>/?>c,则

5.

左边

6.

7.已知a,c>0,且/+左=，，求证:cf+bn<(f(n^3,neR*)

;，又a,b,c>0,：.

・•

8.设Ova,"c<2,求证：(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b,不可能同时大于1

仿例四

9.若x,y>0,且x+y>2,则和中至少有一个小于2

反设22,22•・3,y>0,可得x+yW2与x+y>2矛盾第r^一

敬时

教材：不等式证明六(构造法及其它方法)

目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。

过程：

一、构造法：

i.构造函数法

例一、已知x>0,求证：

证：构造函数则，设2Wa<|3

由

显然V2<a<p/.a-p>0,ap-1>0,ap>0,上式〉

0

在上单调递增，.•.左边

例二、求证：

证：设则

用定义法可证：f⑺在上单调递增

令：3W/V2则

•*•

2.构造方程法：

例三、已知实数a,/?,c,满足a+b+c=0和abc=2,求证：a,8,c中至

少有一个不小于2o

证：由题设：显然a,。,c中必有一个正数，不妨设。>0,

则即仇c是二次方程的两个实根。

，即：心2

例四、求证：

证：设则：(y-l)tan20+(y+l)tan0+(y-1)=0

当y=1时，命题显然成立

当yw1时，△=(y+Ip-4(y-I)2=(3y-1)(^-3)^0

综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)

3.构造图形法：

例五、已知0<。<1,0</?<L求证:

y/a2+b2+7(«-1)2+b2+yja2+(/?-1)2+-J(«~l)2+(b-l)2>242

证：构造单位正方形，。是正方形内一点

0到AD,AB的距离为a,b,

则|A0|+\BO\+\C0\+\DO\^\AC\+\BD\

其中，

又：

5.作业：证明下列不等式：

令，则(y-l)^2+(y+l)x+(y-1)=0

用△法，分情况讨论

6.已知关于x的不等式(M一1)/一(口一1比一1<0(aeR),对任意实数x

恒成立，求证：。

分/-1=o和讨论

7.若*>0,y>0,x+y=1,则

左边令t=xy,则

在上单调递减•••

8.若，且次〈。一力，则

令，又，在上单调递增

9.t己，a>/?>0,贝！J|f(a)-f(b)|<|a-例

构造矩形ABC。，尸在CO上，

使|AB|=a,\DF\=b,\AD\=1,

则|AC|-m<|CF|

10.若x,y,z>0,则

作NAOB=ZBOC=ZCOA=120°,设|0A|=x,\OB\=y,\OC\=z

第十二数时

教材：不等式证明综合练习

目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等

数学思想。

过程：

四、简述不等式证明的几种常用方法

比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造

五、例一、已知0<x<1,0<a<1,试比较的大小。

解一：

2

110gti(l-x)|-|log„(1+x)『=[logfl(l-x)+log”(l-x)][logfl(1-x)-logfl(l+x)]

V0<1—/<1,

解二：

鬻鬲卜|10g*l-X)|=Tog"lT)=log”,占=log”,汽

V0<1-%2<1,1+x>1,

解三:"0<x<1,/.0<1-x<1,1<1+x<2,

.•.左—右=

V0<1-^<1,且0<a<1

变题：若将”的取值范围改为a>0且a#1,其余条件不变。

例二、已知<=。2+序，y2=c2+d2,且所有字母均为正，求证：xy^ac+

bd

证一：（分析法）c,d,x,y都是正数

，要证：xy^ac+bd

只需证：（孙）22（ac+bd）2

222

即：（a+/?）（c+法）*2c2+—+2abcd

展开得:crc2++a2d2+b2c22“2c2+阱於+2abcd

即：a2^+b2c2^2abcd由基本不等式，显然成立

.'.xy^ac+bd

证二：（综合法）xy-

证三：（三角代换法）

Vx2=a2+lr,；.不妨设a=xsina,b=xcosa

V=c2+/c=ysinp,d=ycosp

/.ac+bd=xysinasinp+孙cosacosfB=xycos（a-P）Wxy

例三、已知孙垃均为正数，求证：

证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

即：

再平方：

化简整理得：（显然成立）

，原式成立

证二：（反证法）假设

化简可得：（不可能）

二原式成立

证三：（构造法）构造矩形ABCD,

使AB=CD=1,BP=xi,PC=X2

当NAPS=NOPC时，AP+尸。为最短。

B

APM

取BC中点M,有NAMB=NDMC,BM=MC=

：.AP+PD>AM+MD

即：

・*・

六、作业：2000版高二课课练第6课

第十三敢时

教材：复习一元一次不等式

目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含

有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。

过程：

一、提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式

板演：1.解不等式：

2.解不等式组：（）

3.解不等式：

4.解不等式：

5.解不等式：

二、含有参数的不等式

例一、解关于x的不等式

解：将原不等式展开，整理得：

讨论：当时，

当时，若》0时；若<0时

当时，

例二、解关于x的不等式

解：原不等式可以化为：

若即则或

若即则

若即则或

例三、关于x的不等式的解集为

求关于x的不等式的解集.

解：由题设且，

从而可以变形为

即：/.

例四、关于x的不等式对于恒成立，

求a的取值范围.s

解：当«>0时不合«=0也不合

...必有：

例五、若函数的定义域为R,求实数女的

取值范围

解：显然由0时满足而2<0时不满足

”的取值范围是[0,1]

三、简单绝对不等式

例六、（课本6.4例1）解不等式

解集为：

四、小结

五、作业：6.4练习1、2P25习题6.41

补充：1.解关于x的不等式：

1°2°

2.不等式的解集为，求（）

3.不等式对于恒成立，求。的取值伍>4）

4.已知，且324,求p的取值范围（p

24）

5.已知当-IWXWI时y有正有负，求a的取值范围

第十四教时

教材：高次不等式与分式不等式

目的：要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。

过程：

一、提出课题：分式不等式与高次不等式

二、例一（P22-23）解不等式

略解一（分析法）

或

解二：（列表法）原不等式可化为列表（见P23略）

注意：按根的由小到大排列

解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解

小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的

各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列

表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最

值得推荐的是“标根法”

例二解不等式

解：原不等式化为

•••原不等式的解为

例三解不等式

解：•.•恒成立

.•.原不等式等价于即一1<X<5

例四解不等式

解：原不等式等价于且

•••原不等式的解为

若原题目改为呢？

例五解不等式

解：原不等式等价于

即：

三、例六解不等式

解：原不等式等价于

原不等式的解为：

例七人为何值时，下式恒成立：

解：原不等式可化为：

而

•••原不等式等价于

由得14<3

四、小结：列表法、标根法、分析法

五、作业：P24练习P25习题6.42、3、4

补充:

1.人为何值时，不等式对任意实数x恒成立

2.求不等式的解集

3.解不等式

4.求适合不等式的光的整数解（x=2）

5.若不等式的解为,求的值

第十五教时

教材：无理不等式

目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不

等式。

过程：

一、提出课题：无理不等式一关键是把它同解变形为有理不等式组

二、

例一解不等式

解：•••根式有意义•••必须有：

又有原不等式可化为

两边平方得：解之：

例二解不等式

解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集:

I：II：

解I：解II：

•••原不等式的解集为

四、

例三解不等式

解：原不等式等价于

特别提醒注意：取等号的情况

五、例四解不等式

解：要使不等式有意义必须：

原不等式可变形为因为两边均为非负

即

•.3+1》0，不等式的解为2x+l00即

例五解不等式

解：要使不等式有意义必须：

在0WxW3内0WW30WW3

•••>3-因为不等式两边均为非负

两边平方得：即“

因为两边非负，再次平方：解之04<3

综合得：原不等式的解集为。令<3

例六解不等式

解：定义域x-lZO

原不等式可化为：

两边立方并整理得：

在此条件下两边再平方，整理得：

解之并联系定义域得原不等式的解为

六、小结

七、作业：P24练习1、2、3P25习题6.45

补充：解下列不等式

1.

2.

3.()s

4.

5.

第十六放时(机动)

教材：指数不等式与对数不等式

目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。

过程：

一、提出课题：指数不等式与对数不等式

强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题

因此必须注意它们的“底”及它们的定义域

二、例一解不等式

解：原不等式可化为：•••底数2>1

二整理得：

解之，不等式的解集为{肝3令<2}

例二解不等式

解：原不等式可化为：

即：解之：或

：.x>2或，不等式的解集为｛x|x>2或｝

例三解不等式

解：原不等式等价于或

解之得：4<xW5

，原不等式的解集为｛x[4<xW5｝

例四解关于x的不等式：

解：原不等式可化为

当a>\时有

（其实中间一个不等式可省）

当0<a<l时有

当。>1时不等式的解集为；

当0<“<1时不等式的解集为

例五解关于x的不等式

解：原不等式等价于

I：或II：

解I：解II：，

当a>l时有0<x<a当0<«<1时有x>a

...原不等式的解集为｛x[O<x<“,a〉l｝或｛犬氏>”,0<a<l｝

例六解不等式

解：两边取以。为底的对数：

当0<。<1时原不等式化为：

当。>1时原不等式化为：

•••原不等式的解集为

或

三、小结：注意底（单调性）和定义域s

四、作业：补充：解下列不等式

1.

（当。>1时当0<。<1时）

2.

（-2<r<l或4<x<7）

3.（-l<x<3）

4.

5.当，求不等式：(a<x<1)

6..求证：

7.(-l<r<0)

8.时解关于x的不等式

(；；)

第十七教时

教材：含绝对值的不等式

目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证明有

关含绝对值的不等式。

过程：一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法

当4>0时，

二、定理：

证明：•••

①

又a=a+b-b\-b\=\b\

由①|a|=|—由引w|K8|+|-b|即同-族闫。+加②

综合①②：

注意：1。左边可以“加强”同样成立，即

2°这个不等式俗称“三角不等式”一一三角形中两边之和大于

第三边，两边之差小于第三边

3。a力同号时右边取“,a/异号时左边取“=”

推论1：W

推论2：

证明：在定理中以功代。得：

即：

三、应用举例

例一至例三见课本P26-27略

例四设|加<1求证|a+M+|a-/?|<2

证明：当a+b与a-h同号时，\a+b\+\a-b\=\a+b+a-b\=2\a\<2

当a+b与a-b异号时，\a+b\+\a-b\=\a+b-(a-b)\=2\b\<2

：.\a+b\+\a-b\<2

例五已知当a幼时求证：

证一：

证二：(构造法)

如图：

由三角形两边之差小于第三边得：

四、小结：“三角不等式”

五、作业：P28练习和习题6.5

第十八敖时

教材：含参数的不等式的解法

目的：在解含有参数的不等式时，要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论,

解不等式。

过程：一、课题：含有参数的不等式的解法

二、例一解关于x的不等式

解：原不等式等价于即：

若a>]

若0<«<1

例二解关于x的不等式

解：原不等式可化为

即：S

当m>l时/.

当时.'.xe。

当0<加<1时

当"W0时x<0

例三解关于x的不等式

解：原不等式等价于

当即时

当即时.•.#-6

当即时xeR

例四解关于x的不等式

解：当即。6(0,)时，x>2或x<l

当即0=时xe0

当即0e(,)时：.\<x<2

例五满足的x的集合为A；满足的X

的集合为81。若AuB求a的取值范围2。若求a

的取

值范围3。若ACB为仅含一个元素的集合，求a的值。

解：A=[l,2]B={x\(x-d)(x-1)=50}

当时B=[a,l]当a>\时B=[l,a]

当a>2时AuB

当lWaW2时A^B

当aWl时ACB仅含一个元素

例六方程有相异两实根，

求。的取值范围

解：原不等式可化为

令：则

设又•；a〉0

三、小结

四、作业：

1.

2.若

求a的取值范围(a/1)

3.

4.

5.当a在什么范围内方程：有两个

不同的负根

6.若方程的两根都对于2,求实数机的范围

第七章直线和圆的方程

直线的倾斜角和斜率

一、教学目标

(一)知识教学点

知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念

以及直线的斜率公式.

（二）能力训练点

通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直

线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、

迁移能力.

（三）学科渗透点

分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想.

二、教材分析

1.重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程己有所了解，要对进

一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线

的倾斜角和斜率是反映直线相对于X轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位

置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫.

2.难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难

点.由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了.

3.疑点：是否有继续研究直线方程的必要？

三、活动设计

启发、思考、问答、讨论、练习.

四、教学过程

（一）复习一次函数及其图象

己知一次函数y=2x+l,试判断点A（1,2）和点B（2,1）是否在函数图象上.

初中我们是这样解答的：

•；A（1,2）的坐标满足函数式，

.••点A在函数图象上.

1）的坐标不满足函数式，

.•.点B不在函数图象上.

现在我们问：这样解答的理论依据是什么？（这个问题是本课的难点，要给足够

的时间让学生思考、体会.）

讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函

数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应

满