公式法教学设计

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公式法教学设计

这是公式法教学设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参

考学习。

公式法教学设计第1篇

•教学目标

教学知识点1.使学生会用彻底平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.

能力训练要求在导出彻底平方公式及对其特点进行辨析的过程

中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.

情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、彻底平方公式，分

解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.

•教学重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.

•教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，

恰当地选用不同方法分解因式.

•教学方法：观察一发现一运用法

•教学过程

I.创设问题情境，引入新课

本节课，我们就要学习用彻底平方公式分解因式.

n.新课1.推导用彻底平方公式分

解因式的公式以及公式的'特点.彻底平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2

第2页共21页

倒写：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.

左边的特点有⑴多项式是三项式;(2)其中有两项同号，且此两

项能写成两数或者两式的平方和的形式；(3)另一项是这两数或者两

式乘积的2倍.

右边的特点：这两数或者两式和(差)的平方.

形如a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2的式子称为彻底平方式.

练一练

下列各式是不是彻底平方式？

(I)a2-4a+4;(2)x2+4x+4y2;(3)4a2+2ab+b2;

(4)a2-ab+b2;(5)x2-6x-9;(6)a2+a+0.25.

2.例题讲解

例1、把下列彻底平方式分解因式：

(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.

例2、把下列各式分解因式：

⑴3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.

Ill.课堂练习

1、P52随堂练习

2、补充练习

把下列各式分解因式：(l)4a2-

4ab+b2;(2)a2b2+8abc+l6c2;(3)(x+y)2+6(x+y)+9;(4)-

+n2;(5)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;(6)x2y-x4-

IV.课时小结

第3页共21页

用彻底平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

(1)要求多项式有三项.

(2)其中两项同号，且都可以写成某数或者式的平方，另一项则

是这两数或者式的乘积的2倍，符号可正可负.

V.课后作业习题2.5

•备课资料把下列各式分解因式

1、-4xy-4x2-y2;

2、3ab2+6a2b+3a3;

3、(s+t)2-10(s+t)+25;

4、0.25a2b2-abc+c2;

5、x2y-6xy+9y;

6、2x3y2-16x2y+32x;

7、16x5+8x3y2+xy4

公式法教学设计第2篇

教学目标

1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整

式乘法的区别和联系.

2.使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.

3.通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能

力，深化学生逆向思维能力.

教学重点及难点

教学重点:

第4页共21页

因式分解的概念及提公因式法.

教学难点：

正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和

联系.

教学过程设计：

一、复习提问

乘法对加法的分配律.

二、新课

1.新课引入：用类比的方法引入课题.

在学习分数时，我们往往要进行约分与通分，因此往往要把一个

数分解因数(即分解约数).例如，把15分解成3X5,把42分解成

2X3X7.

在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多

项式，那末一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是

学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法.

2.因式分解的概念：

请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘

的例子，并计算出其结果.(老师按学生所说在黑板写出几个.)

如：m(a+b+c)=ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

第5页共21页

(x-5)(2-x)=-x2+7x-10等等.

再请学生观察它们有什么共同的特点？

特点：左边，整式X整式；右边，是多项式.

可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应

的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项

式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

如：因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c).

整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc.

让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别.

联系：同样是由几个相同的整式组成的等式.

区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下

式是整式乘法.两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同

表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或者几个因式积的

表现形式.

例1下列各式从左到右哪些是因式分解？(投影)

(l)x2-x=x(x-l)(d)

(2)a(a-b)=a2-ab(X)

(3)(a+3)(a-3)=a2-9(X)

(4)a2-2a+l=a(a-2)+l(X)

(5)x2，x+4=(x-2)2(河

下面我们学习几种常见的因式分解方法.

第6页共21页

3.提公因式法：

我们看多项式：ma+mb+mc

请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m,这时我

们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.

注意：公因式是各项都含有的公共的因式.

又如：a是多项式a2-a各项的'公因式.

ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式.

2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式.

根据乘法的分配律，可得

m(a+b+c)=ma+mb+mc,

逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

ma+mb+mc=m(a+b+c).

这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外

面，将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法

叫做提公因式法.

定义：普通地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式

提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方

法叫做提公因式法.

显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻觅公因

式.让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)

公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字

母，而且各字母的指数取次数例2指出下列各多项式中各项的公因

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式:

(l)ax+ay+a(a)

(2)3mx-6mx2(3mx)

(3)4a2+10ah(2a)

(4)x2y+xy2(xy)

(5)12xyz-9x2y2(3xy)

例3把8a3b2-12ab3c分解因式.

分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式.

先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2.

解：8a3b2-12ab3c=4ab2-2a2-4ab2-3bc=4ab2(2a2-3bc).说明：

(1)应特殊强调确定公因式的两个条件以免漏取.

⑵开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出.①以显提醒；

③强调提公因式；③强调因式分解.

例4把3x2-6xy+x分解因式.

分析：先引导学生找出公因式x,强调多项式中x=x-l.

解：3x2-6xy+x

=x-3x-x-6y+x-1

=x(3x-6y+l).

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的

乘积，提公因式后剩下的应是1,1作为项的系数通常可以省略，但

如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这种题往往有些学生

第8页共21页

犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y),这一点可让学生利用恒等变形

分析错误原因.还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原

多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项.

课堂练习：(投影)

把下列各式分解因式：

(l)2πR+2πr；

(2)

(3)3x3+6x2；

(4)21a2+7a；

(5)15a2+25ab2；

(6)x2y+xy2-xy.

例5把-4m3+16m2-26m分解因式.

分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把

它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后

再提公因式，提-号时，注意添括号法则.

解：-4m3+16m2-26m

=-(4m3-l6m2+26m)

=-2m(2m2-8m+13).

说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察

第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要

把每一项都变号；然后再提公因式.

课堂练习：(投影)

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把下列各式分解因式：

(l)-15ax-20a；

(2)-25x8+125x16；

(3)-a3b2+a2b3；

(4)-x3y3-x2y2-xy；

(5)-3ma3+6ma2-l2ma；

(6)

(三)小结

1.因式分解的意义及其概念.

2.因式分解与整式乘法的联系与区别.

3.公因式及提公因式法.

4.提公因式法因式分解中应注意的问题.

六、作业

教材P.10中1、2、3、4.

七、板书设计

数学教案一提公因式法

公式法教学设计第3篇

一、在教材中的地位和作用

一元二次方程是九年级上册数学教学内容。前面的学习过程中我

们解过一次方程(组)与分式方程，一元二次方程则是一个新的模型，

它所表示的数量关系更为复杂，固然也能更好地体现数学的重要价

值。“一元二次方程的解法”是初中代数“方程”中的一个重要内容

第10页共21页

之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方和直接开方法、

配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，

进一步熟练解一元二次方程的方法，会选择合适的方法解一元二次方

程，同时也为后边学习二次函数奠定了基础。

二、说教学目标

1.知识与技能：会用公式法解一元二次方程；

2.过程与方法：经历求根公式的发现和探索过程，提高学生观

察能力、分析能力以及逻辑思维能力；

3.情感、态度与价值观：渗透化归思想，领悟配方法，感受数学

的内在美.

三、说教学重难点

重点：知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程；

能力层面:以求根公式的发现和探索为载体，渗透化归的数学思

想方法.

难点:求根公式的推导.

四学生状况分析：

上节课学生刚学了利用配方法解一元二次方程，这为本节课求根

公式的推导打下了基础，有利于难点的突破；此外学生在八上《实数》

一章中，学习了被开方数的非负性，并掌握了开平方运算，为这节课

理解求根公式的应用条件奠定了基础。

五.教学过程分析：（分了六个环节）

1.忆旧：用配方法接下列三个一元二次方程：（1）x2+5x-3=0

第11页共21页

(2)x2-6x=9⑶2x2+5x+4=0

2.用配方法解一元二次方程的普通步骤是什么？3.⑴你能说出

上面方程的各项系数分别是多少吗？⑵它们有解吗?如果有解，解

为多少？⑶是否还有其他解法呢？

【设计意图】

问题⑴明确一元二次方程的各项系数为配方作准备；

问题⑵利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达至上温故而

知新''的目的；问题⑶启示学生思量解法并不惟一。

2.呈现问题

你能用配方法解普通形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）

吗？用配方法解一元二次方程的普通步骤是什么？共同完成前四步,

到

这步时，抛出问题:①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？②

等号右边的值有可能为负吗？说明什么？让小组交流、讨论达成共

识。学生会对b2-4ac进行讨论，应及时鼓励。分类思想也是今后常

用的一种思想，应加以强化。最终总结出这里有个小结当这里有个小

结当b2-4acK）时，原方程有实数解，解是多少可以将a、b、c的值

带入公式而得到，这个公式就称为“求根公式”。当b2-4ac<0时，

原方程无实数解。紧接着回到开始的三个例题之中，（1）x2+5x-

3=0⑵x2-6x=9（3）2x2+5x+4=0用abc的值来判断原方程解的情

况。（你能不用解此方程就能知道它解的情况吗？）

【设计意图】师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维

第12页共21页

负担，便于将主要精力放在后边公式的推导上。通过小组的讨论有利

于发挥学生的互帮互助；有利于发挥集体的优势；有利于突破难点。

对学生的出色表现应予以及时的鼓励。

3.板演例题(和学生共同完成)例1.用公式法解方程x2+5x-3=0

【设计意图】规范解题格式；体验用公式法解一元二次方程的步

骤。

4.用公式法解一元二次方程的普通步骤：

(1)、把方程化成普通形式。并写出a,b,c的值。(2)、求出

b2-4ac的值(3)、代入求根公式：

(4)、写出方程的解xl=?,x2=?

【设计意图】这一环节的设计是为了规范解题格式，让学生体味

数学课中的严谨的逻辑推理不仅在几何问题中大量存在，也更广泛应

用于代数中；从而更好地体味到用公式法解一元二次方程的步骤。

5.巩固练习

一个一个给出习题然学生自己去做。由于没说用何方法，有些人

可能习惯配方，有些人想用公式法尝试，都可以从做题速度与准度去

比较这几个题哪种方法更好。让三个不同层次的学生上讲台板演，同

时走下来看看下面的学生有何问题，及时纠正。

⑴x2-7x-18=0⑵2x2-9x+8=0⑶9x2+6x+l=0⑷16x2+8x=3

【设计意图】⑴比较配方法与公式法，⑵发现对于这儿道题公

式法步骤较为简单，⑶熟悉公式法，强化解题格式，⑷及时发现

第13页共21页

错误及时解决。这一环节放手习题让学生自己去做，选取对同一个方

程利用配方法解的和公式法解的，让学生从简捷性与准确性去比较这

几个题用哪种方法更好，并在小组内交流解方程过程中的得失，从而

让学生在比较中加深对两种方法的认识，熟练这两种方法的应用。并

在学生口述中得以验证这一点.

学生比较配方法与公式法发现对于这几道题而言公式法步骤较

为简单，并在学生练习本展示中强化解题格式、及时发现错误、及时

解决。然后让学生进一步反思：什么情况下用公式法较为简便，什么

情况下用配方法较为适宜？二者之间有无本质区别？在思维上你有

什么收获？在解题细节上你又有哪些注意的地方？你还有解一元二

次方程的其它方法吗？

6.总结反思分三个方面：⑴知识方面这节课学到了什么？有何

收获？⑵做题中那里容易出错，错误原因是什么？如何避免此类错

误？⑶对于解一元二次方程和使用配方法？何时用公式法？

让学生自己去总结。（老师将重点内容加以小结）

【设计意图】让学生体味比较两种方法，什么情况用配方法？什

么情况用公式法？学了若干方法要有所选择。会用、巧用真正将所学

知识学以致用。引导学生回顾学习过程，提炼归纳所学知识，掌握学

生学习过程中存在的问题并及时解决比较公式法及配方法的优缺点，

思量是否还有其它的方法，为下节课学习因式分解法奠定基础。根据“

多元智能理论”反思也是一种智慧，希翼能够逐步培养学生的反思能

力，希翼学生能够在学习中反思，在反思中提高，在提高中完善，

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在完善中成长。

公式法教学设计第4篇

教学设计示例

数学教案一运用公式法

运用公式法一一彻底平方公式⑴

教学目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为彻底平方式，初步掌握

运用彻底平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解彻底平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能

力.

4.通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体味“把一

个代数式看做一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

重点：运用彻底平方式分解因式.

难点：灵便运用彻底平方公式公解因式.

教学过程设计

一、复习

1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式

分解的方法？

答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因

式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公

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式法.

2.把下列各式分解因式：

⑴ax4—ax2(2)16m4—n4.

解(1)ax4—ax2=ax2(x2—1)=ax2(x+1)(x—1)

(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2

=(4m2+n2)(4m2—n2)

=(4m2+n2)(2m+n)(2m—n).

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有彻底平方公式.

请写出彻底平方公式.

彻底平方公式是：

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a—b)2=a2—2ab+b2.

这节课我们就来讨论如何运用彻底平方公式把多项式因式分解.

二、新课

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把彻底平

方公式反过来，就得到

a2+2ab+b2=(a+b)2；a2—2ab+b2=(a—b)2.

这就是说，两个数的平方和，加之(或者减去)这两个数的积的2

倍，等于这两个数的'和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2一

2ab+b2叫做彻底平方式，上面的两个公式就是彻底平方公式.运用这

两个式子，可以把形式是彻底平方式的多项式分解因式.

问：具备什么特征的多项是彻底平方式？

第16页共21页

答：一个多项式如果是由三部份组成，其中的两部份是两个式子

(或者数)的平方，并且这两部份的符号都是正号，第三部份是上面两

个式子(或者数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是彻

底平方式.

问：下列多项式是否为彻底平方式?为什么？

⑴x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；

⑶25x4-10x2+1；(4)16a2+l.

答：⑴式是彻底平方式因为x2与9分别是x的平方与3的平

方，6x=2-x-3,所以

x2+6x+9=(x+3).

(2)不是彻底平方式.因为第三部份必须是2xy.(3)是彻底

平方式.25x=(5x),1=1,10x=2-5x-1,所以25x—10x+l=(5x

—1).

(4)不是彻底平方式.因为缺第三部份.

请同学们用箭头表示完全平方公式中的a,b与多项式

9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

答：彻底平方公式为：

其中a=3x,b=y,2ab=2-(3x)-y.

例1把25x4+10x2+1分解因式.

分析：这个多项式是由三部份组成，第一项“25x4”是(5x2)的平

方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以

多项式25x4+10x2+1是彻底平方式，可以运用彻底平方公

第17页共21页

式分解因式.

解25x4+10x2+1=(5x2)2+2-5x2•1+I2=(5x2+1)2.例2

把1—m+分解因式.

问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用彻底平方公式分

解因式?有几种解法？

答：这个多项式由三部份组成，第一项“1”是1的平方，第三项，

是的平方，第二项“一m”是1与向4的积的2倍的相反数，因此这个多

项式是彻底平方式，可以用彻底平方公式分解因式.

解法11—m+=1——2•1•+()2=(1—)2.

解法2先提出，则

1—m+=(16—8m+m2)

=(42—2-4-m+m2)

=(4—m)2.

三、课堂练习(投影)

L填空：

(l)x2-10x+()2=()2；

(2)9x2+()+4y2=()2；

(3)l-()+m2/9=()2.

2.下列各多项式是不是彻底平方式?如果是，可以分解成什么式

子？如果不是，请把多

项式改变为彻底平方式.

(l)x2-2x+4；(2)9x2+4x+l；(3)a2-4ab+4b2；

第18页共21页

(4)9m2+12m+4；(5)l-a+a2/4.

3.把下列各式分解因式：

⑴a2-24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；

(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2-ab+b2.

答案：

l.(l)25,(x-5)2；(2)12xy,(3x+2y)2；(3)2m/3,(1-

m3)2.

2.(1)不是彻底平方式，如果把第二项的“一2x”改为“一4x”，原式

就变为x2—4x+4,它是彻底平方式；或者把第三项的“4”改为1,原式

就变为x2—2x+l,它是彻底平方式.

(2)不是彻底平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为

9x2+6x+l,它是彻底平方式.

⑶是彻底平方式，a2-4ab+4b2=(a—2b)2