双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2双曲线双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．3.2.1双曲线及其标准方程直线与椭圆的位置关系

课前回顾课前回顾A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定Δ=22+12=16>0,故直线与椭圆相交.答案:C1、知道双曲线的定义，能根据双曲线的定义推导得出双曲线的标准方程。2、知道双曲线标准方程两种形式的结构特征。3、会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题。学习目标阅读教材118—120页，完成下列问题和例题：问题1：我们知道，与两定点距离之和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆。那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？探究类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？图3.2-3德宏州民族第一中学思考：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？问题3：归纳比较双曲线两种标准方程思考：椭圆方程与双曲线方程有何异同？分析:可先设出双曲线的标准方程,再构造关于a,b的方程组,求得a,b,从而求得双曲线的标准方程.注意对平方关系c2=a2+b2的运用.反思感悟

1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程;(2)求出a2,b2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0)来求解.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.分析:(1)直接利用定义求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.即点M到另一个焦点的距离为10或22.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°,∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=64,反思感悟

求双曲线中的焦点三角形(△PF1F2)面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方、整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式

×|PF1|·|PF2|·sin

∠F1PF2求得面积.

图3.2-5例3

已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．图3.2-5利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用.【变式训练】

如图所示,在△ABC中,已知|AB|=4,且三个内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.分析:建立平面直角坐标系→由已知条件得到边长的关系→判断轨迹的形状→写出轨迹方程解:以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,反思感悟

求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系,化简得到方程.(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.提醒:①确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.ABMOxy图3.2-61、双曲线的定义

课堂小结2、双曲线的标准方程

课堂小结当堂检测练习（第121页）课后作业习题3.2（第127页）173.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？POQAl根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线．5.相距1400m的A,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？7.已知定点A(3,0)和定圆C:(x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切,并且过点A,求动圆圆心P的轨迹方程.解:设动圆半径为r,则由已知|PA|=r,|PC|=r+4,∴|PC|=|PA|+4,即|PC|-|PA|=4.∵C(-3,0),A(3,0),∴|AC|=6,∴4<|AC|.∴点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支.∵a=2,c=3,∴b2=c2-a2=5.8、

设F1,F2是双曲线

的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.解:双曲线的实轴长为8,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=