江苏省苏州市2021-2022学年九年级上学期数学期末试卷（含答案）

江苏省苏州市2021-2022学年九年级上学期数学期末试卷

一、选一选(每小题3分，共30分)

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()

A./+==0B.ax2+bx+c=0

x

C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2中-5炉=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断.

【详解】解：A、/+二=0为分式方程，所以该选项没有符合题意；

X

B、对于OX2+6X+C=0,只有当aw0时，它为一元二次方程，所以该选项没有符合题意；

C、原方程化简得M+x—3=0,是一元二次方程，所以该选项符合题意；

D、3x2-2个-5产=0含有两个未知数，没有是一元二次方程，所以该选项没有符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程整理，

都能化成如下形式ax2+6x+c=0(a*0)，这种形式叫一元二次方程的一般形式.也考查了一

元二次方程的定义.

2.一元二次方程X?-3x+4=0的根的情况是()

A.有两个没有相等的实根B.有两个相等的实根

C.无实数根D.没有能确定

【答案】C

【解析】

［详解］VA=(-3)2-4xlX4=9-16=-7<0,

•••方程没有实数根.

故选C.

点睛:本题考查了一元二次方程ax2+6x+c=0(aWO)的根的判别式△=〃-4ac：当△>()时，一元

二次方程有两个没有相等的实数根；当△=()时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△«

时，一元二次方程没有实数根；

3.三角形的外心是().

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A.各内角的平分线的交点

B.各边中线的交点

C.各边垂线的交点

D.各边垂直平分线的交点

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.故选D.

考点：三角形的外接圆与外心.

4.如果关于X的一元二次方程左2*2—(2左+l)x+l=O有两个没有相等的实数根，那么左的取

值范围是()

A.k>~-8.左>一4且左/0C.K一一D/N-L且

4444

人工0

【答案】B

【解析】

【分析】一元二次方程有两个没有相等的实数根必须满足(1)二次项系数没有为零；(2)根的

判别式△=〃—4acZ0,由此即可求解.

【详解】由题意知，"0,

:方程有两个没有相等的实数根，

...A>0,即A=〃-4ac=(2k+1)2—4左2=4%+1>0.

解得：k>--,

4

1)

:.k>—且上0.

4

故选B.

【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.

5.某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台.设二、三月份每月的平均增长

率为x,根据题意列出的方程是()

A.300(1+媛=980B.300(1+x)+300(1+x)2=980

C.300(1-x)2=980D.300+300(1+x)+300(1+x)2=980

【答案】B

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【解析】

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X（1+增长率），如果设二、三

月份每月的平均增长率为X,根据“计划二、三月份共生产980台”，即可列出方程.

【详解】根据等量关系：二月份的产量+三月份的产量=980,

可歹历程300（l+x）+300（l+x）2=980.

故选B.

6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、B的读数分别为

86。、30。，则NACB的大小为（）

A.15。B.28cc.29口D.34c

【答案】B

【解析】

【分析】先由题意求出圆心角NAOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.

由题意得NAOB=86°-30°=56°

1

则nlNACB=-/AOB=28°

2

故选B.

【点睛】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角

是它所对的圆心角的一半.

7.下列四个命题中正确的是（）

①与圆有公共点的直线是该圆的切线；

②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；

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③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线；

④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.

A.①②B.②③C.③©D.①④

【答案】C

【解析】

【详解】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误；

②中，应此半径的外端，故错误：

③中，根据切线的判定方法，正确；

④中，根据切线的判定方法，正确.

故选C.

点睛：要正确理解切线的定义：和圆有公共点的直线是圆的切线.掌握切线的判定：①半径的

外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线.

8.平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：因为圆内接四边形的对角互补，即圆的内接四边形对角和为180。，要保证

对角和为180。，A、C选项都符合，但正方形是的矩形，所以该平行四边形为矩形.

故选C.

【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定.

9.如图，半径为I的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为（）

A.4—冗B.8—7tC.4+乃D.4—2%

【答案】A

【解析】

【详解】•••半径为1的四个圆两两相切，

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・••四边形是边长为2的正方形，圆的面积为兀,

阴影部分的面积=2x2一片4-乃,

故选A.

10.如图，在平面直角坐标系中，0P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被。P

截得的弦AB的长为26，则a的值是()

B.2+273C.2^3D.2+V2

【答案】D

【解析】

【分析】作辅助线,根据垂径定理得AE=J5，勾股定理得PE=1,证明4PDE为等腰直角三角形即

可解题.

【详解】解：如图所示,过点P作PE±AB于E,点P作PC±x轴于C,交AB于D,连接PA.

VAB=2V3,

AAE=V3

又PA=2,

根据勾股定理得PE=1.

:点D直线y=x上，故ND0C=45。，

又NDC0=90°,

ZODC=45°,

...NPDE=N0DC=45°,故NDPE=NPDE=45°,

：.DE=PE=1,PD=&

XVOC=2,

/.DC=OC=2,

故a=PD+DC=2+V2.

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y=x

度

故选D

【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,等腰直角三角形的性质，中等难度，作辅助线,构造直角

三角形是解题关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.将一元二次方程2x(x-3)=1化成一般形式为

【答案】2x2—6x—1=0

【解析】

【详解】试题分析：直接去括号，得2——6x=l，再将常数项移往左边，化成一般式

ax2+bx+c=0即可.

考点：一元二次方程的一般形式.

12.已知x=-2是方程x2+mx-6=0的一个根，则加的值是.

【答案】-1

【解析】

【详解】把x=—2代入/+加工—6=0得

(-2)2-2m-6=0,

解之得

m=-\.

13.如图，点A、B、C在(DO上，若NBAC=24。，则NOBC=°.

【答案】66.

【解析】

【详解】VZBOC.NBAC是同弧所对的圆心角和圆周角,

.•.ZBOC=2ZBAC=48°.

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14.如图，是。。的内接四边形，为直径，ZC=130°,则NZO8的度数为

【答案】40°.

【解析】

【分析】由49是直径，可得N4BD=90°,又由/BCD是。。的内接四边形，NC=130。，可

求得NN的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案.

【详解】解：•••/£）是直径,

：.ZABD=90°,

又：相。。是O。的内接四边形，ZC=130°,

/.ZJ=180°-130°=50°.

/.N/WB=180°-90°-50°=40°.

故答案为40°.

【点睛】此题考查了圆周角定理以及弧、弦与圆心角的关系，圆内接四边形的性质.注意掌握

数形思想的应用.

15.如图，直角坐标系中一条圆弧格点A,B,C,其中B点坐标为（3,4）,则该弧所在圆心的

坐标是_______.

【详解】试题分析：如图所示，作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心.如图所示，则

圆心D（1,1）.

故答案为（1,1）.

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考点：1.垂径定理的应用；2.坐标与图形性质；3.勾股定理.

16.若一元二次方程ax?=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m—4,则2=.

a

【答案】4

【解析】

【分析】利用直接开平方法得到x=±J5,得到方程的两个根互为相反数，所以m+l+2m-4=0,

2,然后两边平方得到2=4.

解得m=l,则方程的两个根分别是2与-2,则有

a

【详解】由ax2=6(ab>0)得解得工=±/2,可知两根互为相反数.

aVa

一元二次方程ax?=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m—4,

，m+l+2m—4=0,解得m=L

工一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2和-2,

也=2,

a

.b

•.­=4.

a

17.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶

点A,B,C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是.

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【答案】3<r<5.

【解析】

【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5,三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,

点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3,三个顶点A、B、C中至少有一个点在

圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5,所以r的取值范围是3<r<5.

考点：勾股定理；点和圆的位置关系.

18.如图，在。O中，ZACB=ND=60。,ZC=3,则。。的直径为.

【答案】2下）

【解析】

【详解】如图，作OEJ_8c于E,连接。C.

VZA=ZD=60°,ZACB=60°,

是等边三角形，

BC=AC=3,

Y0E1BC,

3

:・BE=EC=一,

2

VZEOC=60°,

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，sin60°=---,

OC

：.0C=y/3>

直径为2G.

点睛：本题考察了圆周角定理的推论，垂径定理，解直角三角形.如图，由圆周角定理可得

N/=NZ>60。,从而ZUBC是等边三角形；作OEJ_8c于E,连接OC.在RtZiOEC中，根据

EC

疝60。=—计算即可.

三、解答题(共76分)

19.解方程：

⑴(》-5卜9=0;

(2)X2-5X+1=0(用配方法)；

⑶3y2一l=6y

(4)9(X-2)2-6(X-2)+1=0

【答案】(1)X,=8,X2=2；(2)/=31^1,々=匕坦；6)西=3+：百氏=3-：6；

7

(4)X]=X?=].

【解析】

【详解】试题分析：(1)移项后两边开方，求出方程的解即可；

(2)把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上项系数-5的一半的平方；

(3)利用配方法解方程；

(4)设E-2,原方程转化为9f2-6/+1=0,通过解该方程求得f的值；然后代入来求x的值.

解：(l)(x-5)2-9=0,

(X-5A=9,

x-5=±3,

XI=8/2=2；

(2)x2-5x+l=0>

x2-5x=-l

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(x-j)2=T

5+V215-721

X]=

2

(3)3/-1=6^,

/-2yM=1+l,

,4

D5，

一2百

厂1=±----,

3

3+2百3-26

y\=-------g=---------；

33

(4)设z=x-2,原方程转化为9f2-6什1=0,

整理，得

(31)2=0,

解得/=—,

3

所以x-2=—>

3

7

则Xl=X2=~.

3

20.已知关于x的一元二次方程2X2+AX—%—3=0.

(1)求证:方程有两个没有相等的实数根；

(2)请你给定一个人值，使得方程的两个根为有理数，并求出这两个根.

【答案】见解析

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据△=，2一4",求出△,从而可判定方程根的情况;

(2)本题答案没有，可让常数项等于0求出发的值，即芥3=0,h-3.

解：⑴A=k2-4x2(-k-3)

=k2+8k+24

=k2+8k+16+8

=(k+4)2+8

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V（k+4）2>0,E[J（k+4）2+8>0,

/.△>0

所以方程有两个没有等实根；

（2）当右-3时、原方程变为2x2-3x=0，

x（2x-3）=0,

**X|=0,%2=~

21.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（荔｝

（1）用直尺和圆规作出薪所在圆的圆心。；（要求保留作图痕迹，没有写作法）

（2）若筋的中点。到弦的距离为20加，48=80加，求还所在圆的半径.

【解析】

【分析】（1）连结AC、BC,分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如

图1;

（2）连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由C为用B的中点得到

OC1AB,AD=BD=-AB=40,则CD=20,设G）O的半径为r,在Rt^OAD中利用

2

勾股定理得到E=（r-20）2+402,然后解方程即可.

【详解】解：（1）如图1,

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点0为所求；

（2）连接04oc,0C交AB于D,如图2,

•.♦C为M的中点,

OC1AB,

AD=BD^-AB=4Q,

2

设0。的半径为r,则。/=尸，0D=0D—CD=r—2G,

在Rt^OAD'30A2=0D-+AD2，

.•./=&_20『+402,解得尸=50,

即AB所在圆的半径是50"?.

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把

实际问题与数学中的理论知识联系，能将生活中的问题抽象为数学问题.

22.如图，是O。的直径，弦CQ与Z8相交于点E,Z4c0=52°,44Z）C=26°.求

NCEB的度数.

【答案】1160

【解析】

【详解】试题分析：首先连接8。，由是。O直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得

/4。8=90。，又由圆周角定理，可求得N8的度数，继而求得N84。的度数，然后由三角形内

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角和定理，求得答案.

解：连接5Z),

•.Z8是直径，

NADB=90°,

"：ZB=ZACD=52°,

：.N8NO=90°-N8=38°,

VZADC=26°,

：.NCEB=N4ED=180。-NB4D-N4DC=l16。

23.为了帮助贫困家庭脱困，精准扶贫小组帮助一农户建立如图所示的长方形养鸡场，长方形

的面积为45m2(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的

竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门.求这个养鸡场的长与宽.

I__________________14m

I//////////

D

B---1---------11m|C

【答案】AB=5,BC=9

【解析】

【分析】设鸡场的宽为xm,则长为(22+2-3%)m,根据鸡场的面积列出等量关系，解方程组即

可，注意鸡场的长小于围墙的长.

【详解】设鸡场的宽为X机,则长为(22+2-3x)m,由题意可得：

x(22+2-3%)=45

解得：x=3或x=5.

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当x=3时，22+2-3x=15>14,没有合题意，舍去；

当x=5时，22+2-3x=9,经检验符合题意.

答：这个养鸡场的长3c为9切，宽为5m.

【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量

关系，列出方程组.注意方程的解要符合题意.

24.如图，四边形03C。中的三个顶点在。。上，A是优弧8。上的一个动点(没有与点3、D

重合).

(1)当圆心。在内部，/45。+44。。=60°时，ZBOD=.

(2)当圆心。在乙内部，四边形OBCD为平行四边形时，求//的度数；

(3)当圆心。在N8Z。外部，四边形08C。为平行四边形时，请直接写出乙480与N4O。的

数量关系.

【答案】(1)120；(2)60；(3)\ZABO-ZADO\=60a.

【解析】

【详解】试题分析：(1)连接OZ,如图1,根据等腰三角形的性质得N0/5=NZ8。，

£OAD=Z.ADO,则^OAB+ZOAD=ZABO+ZADO=60°,然后根据圆周角定理易得

NBOZ)=2/8ZZ)=120°；

(2)根据平行四边形的性质得4BCD,再根据圆周角定理得Z8OZ>=2N/,则

ZBCD=2ZA,然后根据圆内接四边形的性质由N88+N/=180。，易计算出NA的度数；

(3)讨论：当NO/B比NOD4小时，如图2,与(1)~^ZOAB=ZABO,ZOAD=ZADO,

则由(2)得N8AD=60°,

所以N/00-N/8060。；当NOAB比NO£U大时，用样方法得到//80-/10060。.

解：⑴连接0a如图1,

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A

c

图1

•：OA=OB,O4=OD,

•：NOAB=/ABO,/OAD=/ADO,

：.ZOAB+ZOAD=ZABO+ZADO=60°^ZBAD=60<3,

：.ZBOD=2ZBAD=}20°；

故答案为120°；

(2)V四边形OBCD为平行四边形，

:"BOD=/BCD,

V/BOD=2/A,

：.ZBCD=2ZA,

・・・/8CZ)+/Z=180°，即3N4=180°,

AZA=60°；

(3)当NO/8比NOD4小时，如图2,

图2

•；OA=OBQA=OD,

〈NOAB=/ABO,/OAD=NADO,

：./OAD—NOAB=NADO—/ABO=/BAD,

由(2)得NR4O=60°,

/.ZADO-ZABO=60Q；

当NO48比N0O4大时，

同理可得N4BO-N4QO=60°,

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综上所述,|48。-AADO\=60。.

25.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，个月以单价80元，售出了200件；第二个

月如果单价没有变，预计仍可售出200件，批发商为增加量，决定降价，根据市场，单价每降

低1元，可多售出10件，但单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T

恤性清仓，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x元.

(1)填表：(没有需化简)

时间第一一个月第：个月清仓时

单价(元)8040

销售量(件)200

(2)如果批发商希望通过这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

【答案】解：(1)80-x,200+10%,800-200-(200+10x)；(2)70元.

【解析】

【详解】解：(1)由题意得80-x；200+lOx；800-200-(200+10x)；

(2)根据题意，得

80x200+(80-x)(200+1Ox)+40[800-200-(200+1Ox)]-50x800=9000.

整理，得X2-20X+100=0,解这个方程得XI=X2=10，

当x=10时,,80-x=70>50.

答：第二个月的单价应是70元.

26.如图，在A48C中，ZACB=90°,。是的中点，以。。为直径的。。交的边

于点G、F、E.

(1)求证:四边形BDEb是平行四边形；

⑵若44=35°,求防的度数.

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B

【答案】(1)见解析；⑵40°

【解析】

【详解】试题分析：(1)连接。氏由直角三角形斜边上的中线性质得出8D=CZ)=/。，由圆周

角定理可知OF_L8C,证出。E〃8C,证明OE是A/BC的中位线，由三角形中位线定理得出

DE=^BC=BF,即可得出结论；

(2)连接OG,由等腰三角形的性质得出NDC4=//=35。，由三角形的外角性质得出

^ODG=/LA+ZDCA=10°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出/OOG=40。，即可得

出结果.

解：(1)连接。尸

因为N/CB=90。,。是ZB的中点

所以BD=CD=AD

又因为CO是。O的直径

所以ZDEA=NDEC=ZDFC=90°

所以NDEA=NACB,DFLBC

所以DE//BC,BF=CF

所以OE是A48。的中位线

所以DE=LBC=BF

2

所以四边形8DE尸是平行四边形.

(2)连接OG

因为CD=AD

所以ZDC4=NJ=35°

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所以NODG=ZA+ZDCA=70°

因为O0=OG

所以ZOGD=NODG=70°

所以NDOG=180°-2x70°=40°

即，发的度数为40°.

27.如图，点C为4ABD外接圆上的一动点（点C没有在砺上，且没有与点B,D重合）,

ZACB=ZABD=45°.

（1）求证：BD是该外接圆的直径；

/

（2）连结CD,求证：V2AC=BC+CD；

（3）若aABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究。”2，4MBM2,

三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DM2=BM2+2MAL理由详见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）易证AABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；（2）

如图所示作CAJ_AE,延长CB交AE于点E,再证ZkACE为等腰直角三角形，可得AC=AE,

再由勾股定理即可得CE="KC；利用SAS判定AABE丝ZSADC,可得BE=DC,所以CE=

BE+BC,所以CE=DC+BC=JLxC；（3）延长MB交圆于点E,连结AE、DE,因

ZBEA=ZACB=ZBMA=45°,在AMAE中有MA=AE,NMAE=90。，由勾股定理可得

MA2+AE2=2MA2=ME1MA2+AE2=2MA2=ME2，再证NBED=90。，在RtAMED中，

有ME?+DE?=MD?，所以2M^+血？=朋02

试题解析：（1）AB=MAB,

/.ZADB=ZACB,

又；/ACB=/ABD=45°,

；.NABD=NADB=45°,

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AZBAD=90°,

.'.△ABD为等腰直角三角形，

.--BD是该外接圆的直径，

(2)如图所示作CA_LAE,延长CB交AE于点E

VZACB=45°,CA1AE,

.•.△ACE为等腰直角三角形，

AC=AE,

由勾股定理可知CE2=AC2+AE2=2AC2,

•*-CE=V2AC,

由(1)可知AABD为等腰直角三角形，

；.AB=AD,NBAD=90°,

又：NEAC=90°,

AZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC,

.\ZEAB=ZDAC,

AB=AD

在AABE和AADC中，NEAB=ZDAC,

AE=AC

/.△ABE^AADC(SAS),

/.BE=DC,

.".CE=BE+BC=DC+BC=叵AC，

(3)DM2=BM2+2MA2,

延长MB交圆于点E,连结AE、DE,

*/ZBEA=ZACB=ZBMA=45°,

.•.在AMAE中有MA=AE,ZMAE=90°,

MA?+AE2=2MA2=ME2,

又：AC=MA=AE,

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••AC=AE，

又AD=AB，

•*­AC-AD+CE=AE-AB+CE，

即族=前，

；.DE=BC=MB,

VBD为直径，

.\ZBED=90o,

在RTAMED中，有ME?+DE?=MD?,

2MA2+MB2^MD~~

28.如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B,C,B,C两点的抛物线y=ax?+bx+c与x

轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B,C,Q为顶点的三角形为直角三角形？若存

在，请求出点Q的坐标；若没有存在，请说明理由；

(3)过S(0,4)的动直线I交抛物线于M,N两点，试问抛物线上是否存在定点T,使得没

有过定点T的任意直线I都有NMTN=90。？若存在，请求出点T的坐标；若没有存在，请说明理

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【答案】(1)y=x2-4x+3；(2)存在；(3)存在点T(4,3)使得没有过定点T的任意直线I都

有NMTN=90°.

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求,，再根据待定系数法可求抛物线的函数

表达式；

(2)存在，分三种情况:过B点垂直BC的直线的解析式为尸+b,过C点垂直BC的直线

解析式为y=x+3,以BC为斜边，进行讨论可求点。的坐标；

(3)设M(x0),Mx2,g),7(。力)，过7作PQ〃x轴，过A/,N作MP±PQ于P,NQ±PQ于Q,

可证△MPTsTQN,根据相似三角形的性质求解.

解：(1):直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B,C,

AB(3,0),C(0,3),

:对称轴为直线x=2,

设该抛物