黑龙江省佳木斯市第一中学2025届高三数学下学期第三次模拟考试试题理含解析

PAGEPAGE20黑龙江省佳木斯市第一中学2025届高三数学下学期第三次模拟考试试题理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分.）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}．B＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，2}2．在复平面内，设复数z满意（3+4i）z＝|3﹣4i|，则复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第四象限 C．其次象限 D．第三象限3．已知x，y∈R，且x＞y，则下列说法是正确的是（）A． B．sinx＞siny C．2x•3y＜2y•3x D．4．近些年，我国在治理生态环境方面推出了许多政策，习总书记明确提出大力推动生态文明建设，努力建设漂亮中国！某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的4%时，至少须要经过该装置的次数为（）（参考数据：lg2≈0.301）A．12 B．13 C．14 D．155．已知单位向量，的夹角为120°，设．则||＝（）A． B． C． D．6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列推断正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面 B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n肯定平行 C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n肯定垂直 D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n肯定平行7．已知cosα＝﹣，，则的值为（）A．7 B．﹣7 C． D．﹣8．元朝闻名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”该问题可用如图所示的程序框图来求解，则输入的x的值为（）A． B． C． D．49．已知y＝f（x）为奇函数且对随意x∈R，f（x+2）＝f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+a），则f（2024）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线x2＝4y的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．11．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的全部点的横坐标变为原来的倍，得到函数g（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g（x）的部分图象如图所示，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为 B．f（x）在区间上单调递减 C．f（x）的图象关于直线x＝对称 D．f（x）的图象关于点成中心对称12．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录．已知某蹴鞠内切于三棱锥S﹣ABC，SA⊥面ABC，AB⊥BC，SA＝4，AB＝3，BC＝4，则该蹴鞠的体积为（）A．π B．π C．π D．4π二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为．14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为．15．下列说法正确的有．①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．②在线性回来模型中，计算相关指数R2≈0.6，表明说明变量说明了60%预报变量的改变．③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成果状况，打算从中抽取一个容量为50的样本，现采纳系统抽样的方法，须要从总体中剔除9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和．④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．⑤身高x和体重y的关系可以用线性回来模型y＝bx+a+e来表示，其中e叫随机误差，则它的均值E（e）＝0．16．若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是．三、解答题（本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题.第22，23题为选考题.）17．已知等差数列{an}满意a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝2n，求数列的前n项和Sn．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．19．已知函数f（x）＝+（a+1）x+lnx（a≠0）．（1）探讨f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣2﹣．20．我国探月工程嫦娥五号探测器于2024年12月1日23时11分着陆在月球表面预选着陆区，在顺当完成月面自动采样之后，胜利将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解中学生的航空航天学问状况，设计了一份调查问卷，从该校中学生中随机抽取部分学生参与测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据依据[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成评分频率分布直方图，如下：（1）在测试评分不低于80分的12名学生中随机选取3人作为航空航天学问宣扬大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列；（2）为激励学生关注科技，该校科技社团预在高一学年1000名学生中，举办航天学问大赛，安排以学问问答试卷形式，以分数凹凸评比等级，一等奖、二等奖嘉奖为航天模型，三等奖无奖品，且一等奖奖品价值为二等奖的二倍，每个等级都颁发相应证书．奖品费用需社团自行联系商家赞助，已筹集到赞助费6000元．现以问卷调查结果的频率估计竞赛结果，以在测试评分不低于90分频率记为一等奖获奖概率，不低于80分不足90分频率记为二等奖获奖概率，不低于70分不足80分频率记为三等奖获奖概率，若要求赞助费尽量都运用，试估计二等奖奖品的单价应为多少元？21．曲线Γ上动点M到A（﹣2，0）和到B（2，0）的斜率之积为﹣．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P（x0，y0）（y0≠0）为直线x＝4上随意一点，PA，PB交椭圆Γ于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且0＜α＜π），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．（1）求曲线C1，C2的一般方程；（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥6．（2）已知a＞0，b＞0，g（x）＝f（x）﹣|x+1|的最大值m，＝m，求a2+b2的最小值．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}．B＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，2}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．2．在复平面内，设复数z满意（3+4i）z＝|3﹣4i|，则复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第四象限 C．其次象限 D．第三象限解：由题意得z＝＝＝，其对应的点（，﹣）在第四象限．故选：B．3．已知x，y∈R，且x＞y，则下列说法是正确的是（）A． B．sinx＞siny C．2x•3y＜2y•3x D．解：A：当x＝3，y＝﹣1时，则＞，∴A错误，B：当x＝π，y＝时，则sinπ＝0，siny＝1，∴B错误，C：∵y＝为减函数，又∵x＞y，∴＜，∴＜，∴2x•3y＜2y•3x，∴C正确，D：当x＝8，y＝﹣1时，则＝2，＝﹣1，∴＞，∴D错误．故选：C．4．近些年，我国在治理生态环境方面推出了许多政策，习总书记明确提出大力推动生态文明建设，努力建设漂亮中国！某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的4%时，至少须要经过该装置的次数为（）（参考数据：lg2≈0.301）A．12 B．13 C．14 D．15解：设废水中最原始的该重金属含量为a，则经过x次该装置过滤后，该重金属含量为a×（1﹣20%）x＝a，由题意知a×＜0.04a，所以，两边取对数，得x＝≈14.4，所以x取最小整数为15．故选：D．5．已知单位向量，的夹角为120°，设．则||＝（）A． B． C． D．解：单位向量，的夹角为120°，设．则||＝＝＝．故选：A．6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列推断正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面 B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n肯定平行 C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n肯定垂直 D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n肯定平行解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．故选：A．7．已知cosα＝﹣，，则的值为（）A．7 B．﹣7 C． D．﹣解：因为cosα＝﹣，，所以sinα＝＝，tanα＝＝﹣，则＝＝7．故选：A．8．元朝闻名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”该问题可用如图所示的程序框图来求解，则输入的x的值为（）A． B． C． D．4解：第一次输入x＝x，i＝1执行循环体，x＝2x﹣1，i＝2，执行循环体，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，执行循环体，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，输出8x﹣7的值为0，解得：x＝，故选：B．9．已知y＝f（x）为奇函数且对随意x∈R，f（x+2）＝f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+a），则f（2024）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2解：因为y＝f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），因为对随意x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+a），所以f（0）＝log2a＝0，所以a＝1，则f（2024）＝f（505×4+1）＝f（1）＝log22＝1．故选：C．10．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线x2＝4y的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，又∵抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣，∵双曲线＝1的两条渐近线与抛物线x2＝4x的准线分别交于A，B两点，∴A，B两点的横坐标分别是x＝和x＝﹣，∵△AOB的面积为，∴××＝，∴b＝a，c＝＝2a，∴e＝＝2．故选：C．11．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的全部点的横坐标变为原来的倍，得到函数g（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g（x）的部分图象如图所示，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为 B．f（x）在区间上单调递减 C．f（x）的图象关于直线x＝对称 D．f（x）的图象关于点成中心对称解：依据g（x）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×（﹣）+φ＝，∴φ＝，故g（x）＝2sin（2x+）．由题意，把g（x）的图象上的全部点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，可得f（x）＝2sin（3x+﹣π）＝2sin（3x﹣）的图象，故f（x）的最小正周期为，故A错误；在区间上，3x﹣∈[0，]，f（x）没有单调性，故B错误；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，f（x）的图象不关于直线x＝对称，故C错误；令x＝，求得f（x）＝0，故f（x）的图象关于（，0）对称，故D正确，故选：D．12．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录．已知某蹴鞠内切于三棱锥S﹣ABC，SA⊥面ABC，AB⊥BC，SA＝4，AB＝3，BC＝4，则该蹴鞠的体积为（）A．π B．π C．π D．4π解：如图，∵SA⊥面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，且SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB，∵SA＝4，AB＝3，BC＝4，∴三棱锥S﹣ABC的体积V＝；表面积S＝＝32．设三棱锥内切球的半径为R，由等体积法可得：，得R＝．∴内切球的体积为V＝×＝．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为x2+（y﹣8）2＝5．解：如图所示，由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得＝﹣，解得m＝8．所以圆心为（0，8），半径为r＝＝．所以圆C的标准方程为x2+（y﹣8）2＝5．故答案为：x2+（y﹣8）2＝5．14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为．解：因为cosB＝，所以sinB＝，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝＝，由正弦定理得，所以a＝2，因为D为BC的中点，BD＝，△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB＝26，所以AD＝．故答案为：．15．下列说法正确的有②⑤．①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．②在线性回来模型中，计算相关指数R2≈0.6，表明说明变量说明了60%预报变量的改变．③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成果状况，打算从中抽取一个容量为50的样本，现采纳系统抽样的方法，须要从总体中剔除9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和．④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．⑤身高x和体重y的关系可以用线性回来模型y＝bx+a+e来表示，其中e叫随机误差，则它的均值E（e）＝0．解：①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；②在线性回来模型中，相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，相关指数R2≈0.6，表明说明变量说明了60%预报变量的改变，故②正确；③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成果状况，打算从中抽取一个容量为50的样本，现采纳系统抽样的方法，须要从总体中剔除9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和，故③错误；④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，故④错误；⑤随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满意E（e）＝0，故⑤正确；综上可知②⑤正确，故答案为：②⑤．16．若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是（0，2e]．解：设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12+1，对于y＝alnx+1，y′＝，所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+alnx2，所以，即有﹣＝alnx2﹣a，由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，记f（x）＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′（x）＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），当x＜时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）上单调递增，当x＞时，f′（x）＜0，即f（x）在（，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（）＝2e，又x→0时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，所以0＜a≤2e．故答案为：（0，2e]．三、解答题（本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题.第22，23题为选考题.）17．已知等差数列{an}满意a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝2n，求数列的前n项和Sn．解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则∴，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）bn＝2n，∴＝，∵＝＝4，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，∴Sn＝＝．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C，又∵PD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD…解：（Ⅱ）取AB中点为O，A1B1中点为E点，由于△ABC为等边三角形所以CO⊥AB，又因为是正三棱柱，所以平面ABCC，且平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，则CD⊥平面ABB1A1以O为原点OA为x轴，OE为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．明显平面ABB1A1的法向量为，设平面A1BD的法向量为，，，cos＜所求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值为…19．已知函数f（x）＝+（a+1）x+lnx（a≠0）．（1）探讨f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣2﹣．解：（1）f′（x）＝ax+（a+1）+＝（x＞0），当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，综上：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．（2）证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）max＝f（﹣）＝﹣1﹣+ln（﹣），令g（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故g（x）的最大值是g（1）＝0，故g（x）≤0即lnx≤x﹣1，故ln（﹣）≤﹣﹣1，故f（x）max＝﹣1﹣+ln（﹣）≤﹣1﹣﹣﹣1＝﹣2﹣，故当a＜0时，f（x）≤﹣2﹣．20．我国探月工程嫦娥五号探测器于2024年12月1日23时11分着陆在月球表面预选着陆区，在顺当完成月面自动采样之后，胜利将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解中学生的航空航天学问状况，设计了一份调查问卷，从该校中学生中随机抽取部分学生参与测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据依据[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成评分频率分布直方图，如下：（1）在测试评分不低于80分的12名学生中随机选取3人作为航空航天学问宣扬大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列；（2）为激励学生关注科技，该校科技社团预在高一学年1000名学生中，举办航天学问大赛，安排以学问问答试卷形式，以分数凹凸评比等级，一等奖、二等奖嘉奖为航天模型，三等奖无奖品，且一等奖奖品价值为二等奖的二倍，每个等级都颁发相应证书．奖品费用需社团自行联系商家赞助，已筹集到赞助费6000元．现以问卷调查结果的频率估计竞赛结果，以在测试评分不低于90分频率记为一等奖获奖概率，不低于80分不足90分频率记为二等奖获奖概率，不低于70分不足80分频率记为三等奖获奖概率，若要求赞助费尽量都运用，试估计二等奖奖品的单价应为多少元？解：（1）不低于80分的12名学生中[80，90）：12×＝8（人）；[90，100]：12×＝4（人）；∴X的可能取值为0，1，2，3，∴P（X＝0）＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝；P（X＝3）＝；分布列如下：x0123p（2）不低于90分的人数为：1000×0.015×10＝150；不低于80不足90的人数为：100×0.03×10＝300；设二等奖的奖品单价为x元，则一等奖奖品单价为2x元，则有300x+2×x×150≤6000，解得x≤10，又因为要求赞助费尽量都运用，所以x取10，即二等奖奖品单价为10元．21．曲线Γ上动点M到A（﹣2，0）和到B（2，0）的斜率之积为﹣．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P（x0，y0）（y0≠0）为直线x＝4上随意一点，PA，PB交椭圆Γ于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．解