2022-2023学年辽宁省五校高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022.2023学年辽宁省五校高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若2=a+七(aeR)是纯虚数，则a=(

C.-1

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

3.已知向量五，石满足|五|=1，商|=1，五与石的夹角为会则五一3在石上的投影向量为()

4.在△力BC中，ABAC=120°,AD平分ZB4C,AD=3,贝|2AC+AB的最小值为()

A.6+3。B.6-3<7C.9+6CD.9-

5.正四棱锥S-ABC。的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并

且总保持PE_L4C,则动点P的轨迹的周长为()

A.V-6+y/~2B.V-6—y/~2C.4D.V-5+1

6.已知底面半径为3的圆锥S。,其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1,

则此圆柱的侧面积为()

A.3TTB.2>/~3nC.4>/""W兀D.Qy/~3n

7.已知函数/(x)=cos(3%+争(3>0)在［一兀,与上单调，且y=f(x)的图象关于点(一亨,°)

对称,则()

A./(x)的周期为兀

B.若IfOi)一/(%2)|=2,则一《2lmin=27r

C.将f(x)的图象向右平移方个单位长度后对应的函数为偶函数

D.函数y=/(%)+亨在［0,加上有2个零点

8.如图所示，在直三棱柱48c-中.44］=1,AB=BC=C，cos乙4BC=P是

上的一动点，则AP+PG的最小值为()

A

Ci

A.V-5B.<7C.1+<3D,3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.己知复数2=含，则下列说法正确的是（）

A.|z|=13B.z的虚部为-2

C.z在复平面内对应的点在第四象限D.z的共扼复数为-3-2i

10.在A/IBC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,下列命题是真命题的是（）

A.若acosB=bcosA,则△ABC为等腰三角形

B.若8=也c=，2，b=l，则△ABC只有一解

45

C.若bcos4+(a-2c)cosB=0,则B=g

D.若4ABC为锐角三角形,则(a?+b2—c2)sinA>(a2+b2—c2)cosB

11.如图，四棱锥P-4BCD的底面为正方形，PO1底面4BCD,

PD=4。=1,点E是棱PB的中点，过A,D,E三点的平面a与

平面PBC的交线为1,则（）

A.直线I与平面24。有一个交点

B.PC1DEA

C.直线P4与1所成角的余弦值为?

D.平面a截四棱锥P-ABCC所得的上下两个几何体的体积之比为|

12.在棱长为1的正方体ABCD-4出传1。1中，E,F分别为SB,BC的中点，贝立）

A.异面直线DDi与B/所成角的正切值为g

B.点P为正方形为B1GD1内一点，当DP〃平面BiEF时，DP的最小值为千

C.过点D[,E,F的平面截正方体48。。-481的。1所得的截面周长为「^+苧

D.当三棱锥Bi-BEF的所有顶点都在球。的表面上时，球。的表面积为3兀

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知|五|=2,|另|=1，|五+3|=「，则|五一旬=.

14.在a/lBC中，力=等，。为BC边上一点，且2BD=DC,则喘的最小值为____.

DAD

15.在中，D、E分别为AC、BC的中点，力E交BD于点M.若AB=4,AC=6,^BAC=*

则就•~MD=

16.某园区有一块三角形空地△ABC（如图），其中4B=

10^m，BC=40m.Z.ABC=^,现计划在该空地上划分三个

区域种植不同的花卉，若要求41PB=与，贝UCP的最小值为

______m.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

在△48C中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,且满足cs讥C一as讥力=（b-a）sinB.

⑴求C：

（2）若b=4,△ABC的面积为615，求边长c的值.

18.（本小题12.0分）

直三棱柱4BC-&B1G中，AB1BC,。为CQ的中点，BB\=CBC.

（1）求证：平面ABiC1平面4BD；

（2）若48=B0=求三棱锥Bi-ABD的体积.

AiCi

A

B

19.(本小题12.0分)

在长方体4BCD-48传也中，AD=DDX=1,AB=yj~l，E、F、G分别为AB、BC、叫的

中点.

(1)求三棱锥4-GEF的体积;

(2)点P在矩形4BCD内，若直线。止〃平面EFG,求线段£＞「长度的最小值.

20.(本小题12.0分)

在△4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,2a-c=2bcosC.

⑴求&

(2)若点。为边BC的中点，点E,F分别在边4B,47上，^EDF=b=c=2.设NBDE=a,

将△DEF的面积S表示为a的函数，并求S的取值范围.

21.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P—48C中，△?!也是边长为的等边三角形，且P4=PB=PC=6,PD1

平面ZBC,垂足为。，DE1平面PAB,垂足为E,连接PE并延长交AB于点G.

(1)求二面角P-AB-C的余弦值;

(2)在平面PAC内找一点凡使得EF_L平面PAC,说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.

22.(本小题12.0分)

已知点0是锐角△ABC的外心，a,b,c分别为角4,B,C的对边，a2=62+c2-bc,

(I)求角4

(11)若。=4,求△ABC面积的最大值；

(皿)若警瓦？+*南=无而，求X的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为z=a+七l—l=a+3(i—1m)(1.十IJ=a-；L+JLi是纯虚数,

所以a—；=0,得a=

故选：B.

化简复数z,然后根据实部为0可得.

本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：a=1cos6°—^sin6°=sin(30°-6°)=sin24°>

sin26°、sin26°._.

b,=--2-ta-n5l-30o=t.an26=——»>—：—=sin2b°o,

l-tanz13cos261

•••sin240<sin25°<sin26°,

■■a<c<b.

故选：C.

由辅助角公式知。=sin24。，由二倍角公式知6=tan26。>sin26。，c=sin25。，再由正弦函数的

单调性，得解.

本题考查三角恒等变换的综合应用，熟练掌握二倍角公式、辅助角公式，以及正弦函数的单调性

是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：,.・同=向=1,<为花>=也

(a-6)-K=a-b—K2='L-^--］，

.♦•行一石在石上的投影向量为：堡萨•/=4产反

故选：D.

根据条件可求出0-b)-3的值，然后即可根据投影向量的计算公式求出投影向量.

本题考查了向量数量积的运算及计算公式，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：如图,

在△4BC中，AD=3,^BAD=60°,AB=c,则BD2=©2+9—2x3cXg=c2+9—3c,

在A4CD中，AD=3,乙CAD=60°,AC=b,则CO2=川+9-2x3bxg=b2+9—3b,

•••40平分NB4C,

.BD_AB_£

"'CD~AC~b'

22

.BD_c__C2+9-3C

•,CD2—庐-b2+9-3b

：.c2(b2+9—3b)=h2(c2+9—3c),

9c2-3&c2=9b2-362c,

・・・3c2-be2=3b2-b2c,

:.3(c2—h2)—(be2—b2c)=0,

・•・3(c+b)(c—b)—bc(c—b)=0,

/.(c-b)[3(c+Z?)-bc]=0,

・•・c=b或3(b+c)=be,

当c=b时，△ABC为等腰三角形，

:.2AC+AB=2b+c=18；

当3(b+c)=bc时,b+c=gbc,即：+(=：，

2AC+AB=2b+c=3(26+c)(；+}=3G+^+3)>3(2J+3)=9+6。，

当且仅当他=?即。=门6时，等号成立，

cb

V9+6。<18.2AC+4B的最小值为9+6VL

故选：c.

记AB=c,AC=b,在△ABD中，BD2=c2+9-3c,在△ACD中，由力。平

分乙BAC,得到c=b或3(b+c)=be,当c=b时，求得24C+4B=18；当3(b+c)=bc时，得

：+£=：,再由24C+AB=3(2b+c)&+>，结合基本不等式求得结果.

本题主要考查三角形中几何计算，考查转化能力，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：如图，

设AC,BD交于0,连接SO,由正四棱锥的性质可得，S01平面4BCD,

因为ACu平面力BCD,故S。1AC.

又BDJ.4C,SOCBD=0,SO,BDu平面SBD,

故4cL平面SB。.

由题意，PEJ.4C则动点P的轨迹为过E且垂直4C的平面与正四棱锥S—4BCD的交线，即如图EFG,

则AC_L平面EFG.

由线面垂直的性质可得平面5BD〃平面EFG,又由面面平行的性质可得EG〃SB,GF//SD,EFBD,

又E是边BC的中点，

故EG,GF,EF分另I」为ASBC,ASOC,△BCD的中位线.

由题意BD=2C,SB=SD=V22+2=故EG+EF+GF=(C+A+2>f7)=

A/-6+A/-2-

即动点P的轨迹的周长为，石+<2.

故选：A.

由题意，动点P的轨迹为过E且垂直4C的平面与正四棱锥S-4BCD的交线，再根据线面垂直的性

质求解即可.

本题主要考查轨迹方程的求解，考查转化能力，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意，设圆锥的轴截面为ASAB,其内接圆柱为0。

设。1。=h,

圆锥轴截面为正三角形，贝妖8=2。4=6,则有S0=3C，

则有3^=?"，解可得九=2，3，

则圆柱的面积S=2兀x2<3=4cm

故选：C.

根据题意，作出圆锥的轴截面三角形，设其内接圆柱为。］0,再设。1。=八，分析可得亲=芋,

解可得无的值，进而计算可得答案.

本题考查圆柱与圆锥的切接问题，涉及圆柱的表面积计算，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：•."(X)在［一兀,且上单调，

1

77r/、3TT

即TN3”,得名23兀，得

y=/(x)的图象关于点(一90)对称，

\3+与=kit+］，kEZi

即3=-3k4~—,kEZ,

v0<CD<I，

•,当k=0时，3=2,

即/(%)=cos(1x+引,

F2TT彳

则函数的最小正周期T=-r=4乃，故A错误,

若If(Xi)-f(X2)l=2,则=1，/(%2)=-1>或/(xj=-1,/(x2)=1，

则X=X>％=》2是对应的对称轴，贝1」氏一Xzlmin=g=2兀，故8正确，

将/(x)的图像向右平移方个单位长度后，得到y=cos[|(x-2)4-y]=cos(1x+^)=-sinjx,对

应的函数为奇函数，故c错误，

由函数y=/(%)+?=0得，/(X)=

当xe[O,扪时，扛+笆,曾,

则当紧+茎=与时，/•(%)=—?,

当W+等=勺，/(x)=_?中一¥，即函数y=F(x)+孕在。扪上有1个零点，故。错误.

4J。ZZZ

故选:B.

根据函数的单调性和对称性求出函数的解析式，利用三角函数的性质分别进行判断即可.

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行判

断是解决本题的关键，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：连接BQ,得^AiBCi，以所在直线为轴，将△4BQ所

在平面旋转到平面ABB遇1,

设点Ci的新位置为C',连接4C',则AC'即为AP+PC]的最小值,

由题意可知44i=1,AB=BC=<3,cos/.ABC=1,得4避=BC'=

A.yC=2,

^AArB=NB&C'=60°,

所以在△A&C'中，AC=l+4-2xlx2x(-1)=「，

故选：B.

将立体图展开成平面图，设点Ci的新位置为C',连接ZC',即可得到4C'即为ZP+PCi的最小值,

解三角形即可.

本题考查距离最小值问题，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象能力，属于中档题.

9.【答案】BC

_5+i_(5+i)(l-i)_

【解析】解:=T+i=(l+i)(l-t)=

对于4，|z|=J32+(—2)2=故A错误;

对于B,z的虚部为-2,故8正确；

对于C,z在复平面内对应的点(3,-2)在第四象限，故C正确;

对于D,z的共扼复数为3+2i,故。错误.

故选：BC.

根据已知条件，结合复数的四则运算，对z化简，即可依次求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于选项4：由acosB=bcosZ,由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA,

则sin(4-B)=0,

因为0<4B<n,则一兀<4-8<〃，

可得A-B=0,即A=B,所以△ABC为等腰三角形，故A正确；

对于选项B：若8=*,c=-/-2,b=|,则csinB=1<£<c=，2,

所以△ABC有两解，故B错误；

对于选项C：若bcosZ+(a—2c)cosB=0,

由正弦定理可得sinBcosA+(sinA-2sinC')cosB=0,

则sin(8+4)=2sinCcosB,即sinC=2sinCcosB,

因为B,CG(0,7T),则sinC>0,

可得cosB=；,所以B=:故C正确；

对于选项。：若△ABC为锐角三角形，贝脸<4+8<兀，可得

且46(0,今，尹86(0,今，则)/=5讥%在(04)上单调递增，

所以sim4>sing—B)=cosB,

又因为46(0,5,则cosA=。2+庐一>0,可得a2+b2-c2>0,

乙2ab

所以(a?+炉—c2)sinA>(a2+炉—c2>)cosB,故D正确.

故选：ACD.

对于4、C：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B：根据三角形解得个数的结论分析判断;

对于根据题意结合正弦函数单调性分析判断.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：取棱PC的中点F,连接EF,DF,如图所示:

P

对于A：「E是棱PB的中点，贝i]AC〃EF,即A,D,E,F四点共面，贝叽为直线EF,

又ADu平面PAD,EFC平面P/W,

•••EF〃平面H4D,即，〃平面PAD,故A错误；

对于8：：P。1底面48c0,4。u平面ABC。，

PDLAD,

又PD=AD,则APDC为等腰直角三角形，

斜边PC的中点为F,则PC1DF,

••,底面4BC。是正方形，二4D1C0,

又PDCCD=D,且PD,CDu平面PDC,

AD，平面PDC,

又PCu平面PDC,AD1PC,

又4CnDF=D,S.AD,CFu平面力DFE,

PCJ_平面ADFE,

又DEu平面力DFE,贝IJPC1DE,故B正确；

对于C：-：AD//EF,则直线PA与，所成的角，即P2与4D所成的角，

■：PDLAD,则cos/PAD=爷=殍，

即P4与/D所成的角的余弦值为小故C错误；

=X

对于D:Vp-ABCD=,SABCD=^X1X1=1,Vp.AEFD='^AEFD

-4~-2=一1,

2----8

A^ABCDFE=^P-ABCD-^P-AEFD=§一京=五，

...y3=白=4故。正确.

ABCDFE24

故选：BD.

根据题意取PC中点F,连接EF,则EF为交线2,根据线面平行的基本定理可判断4结和线面垂直

的判定及性质可判断B；结合异面直线所成角的定义可判断C；结和棱锥的体积公式可判断D.

本题考查直线与平面的位置关系和棱锥的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：对于4选项，•••DDJ/BBi，

.•.在Rt△BB/中即为异面直线DO】与当尸所成的角,

••・异面直线DDi与aF所成的角的正切值为去故A错误；

对于B选项，取的中点M,56的中点N,取4C的中点S,

连接MN,DM,DN,&S,SF,

vSF//AB//AXBX,SF=AB=ArBr,

&B/S为平行四边形，.•.SAJ/B/,•••&S//DM,MD//B/,

同理可得DN〃B】E,

又•••DMC面&EF,B/u面BiEF,DNC面&EF,u面&EF,

DM〃面BiEF,DN〃面B]EF,

又•；DMCDN=D,DM,DNu面DMN,

二面DMN〃面当E凡

又•••DP〃面&EF,PC面4道传也，

•11P轨迹为线段MN,

.•.在△DMN中，过。作DPIMN,此时DP取得最小值，

在RtADDiM中，DrM=pJO=1,DM=小，

/2

在Rt△/)1)/中，DN=DD=1,DN=-1

r2X2

在RtAMDiN中，DN=DM=MN=―，

r2X22

.•・如图，在RMDPN中，DP=JDN2一登丫=牛故B项正确;

对于C选项，延长EF交D4的延长线于点G,交DC的延长线于点“，

连接。1“交CCi于点N,连接交4公于点M,

再连接ME、NF,则过点5，E,F的平面截正方体4BCC所得的截面图形为五边形

DiMEFN,

•••平面〃平面BBiGC,截面&MEFN与平面441/。和平面BBiGC分别交于DiM与FN,

DrM//NF,同理可得£(iN〃ME,

如图以。为原点，分别以西、DC,西方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz,

则N(0,l,n),E(L^1O),F(右11,0)，。式0,0,1)，

•••ME—(0,^,—m),DrN=(0,1,n—1)>DrM=(l,0,m—1)>NF—(1,0,—n)>

•:D、M“NF,DrN//ME,///VFKD^V//ME,

-m=1(n-1)m=

:,解得l

-n=-(m-1)n=3

•••AM=&CN=点

22

・•・C]N=-»

.♦•在RMD14M中，。出=1,ArM=l，DrM=-.同理：DrN=—，

333

在RMMAE中，AM=l，4E=；,；.ME=邙，同理：FN=邙

5L66

在RtAEBF中，BE=BF=g,EF=—.

22

DjM+DTN+ME+FN+EF=2x子+2X厂+?=+等，

即过点hE、尸的平面截正方体ABCD-4所得的截面周长为中+号.故C正确;

对于。选项，如图所示，取EF的中点00则。止=OiF=0避，过01作。。1〃8%，

且使得。。1==p则。为三棱锥为一BEF的外接球的球心，

所以0E为外接球的半径，

••,在RtAEB尸中，EF=守

...R2=0E2=001+既>=9+存）2=3

5球=4nR2=学故。项错误.

故选：BC.

根据可得NBBiF即为异面直线与当尸所成的角，即可判断力，作出截面，找到P的轨

迹，即可求出DP的最小值，从而判断B,作出截面，再利用空间向量确定点的位置，从而求出线

段的长度，即可得到截面周长，从而判断C,确定球心及半径，即可求出外接球的表面积，从而

判断。.

本题考查异面直线所成角的求解，距离的求解，三棱锥的外接球问题，属中档题.

13.【答案】，7

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量的求模公式是关键，属于基础题.

利用平面向量的数量积运算和向量的求模公式求解即可.

【解答】

解：:INI=2,\b\=l，\a+b\=<3,

.1.a2+b+2a-6=3,•'-4+l+2a-b=3>•-2a-b=-2>

AIa-b|=J\a\4-\b\—2a-b=V4+1+2=yTl-

故答案为

14.【答案】?

【解析】解：由2B0=DC,

得而=南+网=荏+:函-而）=|通+/,

则亦2=（|荏+萍）2=酒+押2+阿宿

所以心=#+制2_法

则第=$M+"4"冷山鸿，

当2=1时，取等号,

C

所以端的最小值为?.

故答案为：£3.

2

将近用而，而表示，再平方可求得4/）2,再由马结合二次函数得性质即可得解.

AB2

本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题.

15.【答案】一卷

【解析】解：如下图所示:

因为在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，4E交BD于点M,

则M为AABC的重心，所以，碇=：荏="（正+而）="（荏+；前）

=^（AB+^AC-^AB）=l（AB+AC）,

MD=^（AD-AB'）=l（^AC-AB）=l（AC-2AB）,

OOJ4O

因为48=4,AC=6,/.BAC=p

由平面向量数量积的定义可得荏-AC=\AB\-\AC|cos^=6x4x1=12,

所以，~ME-1^ID=^（AC+AB'）-（AC-2AB）=^（JC2-AB-AC-2亦）

=^（62-12-2X42）=-1.

故答案为:-

分析可知M为△ABC的重心，利用而、而表示向量而、MD，利用平面向量数量积的运算性质可

求得而•雨的值.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

16.【答案】10<^1-10

【解析】解：如图，因为乙4PB=等，所以P在如图所示的圆0上，圆。的半径为3X当学=10,

由圆周角的性质可得乙4DB=兀一名=乙40B=gx2=",N0BA=/.OAB=\

连接。C,可得。P+CPNOC,

所以当P为0C与圆的交点时，CP取最小值，即CP=OC-OP,

又OB=0P=10,

在AOBC中,OB=10,BC=40,Z.OBC=y,

根据余弦定理可知。C=JIO?+402_2x10x40x（-1）=IO/^I，

所以CP的最小值为（ioV~^T-io）ni.

故答案为：ioI^T-io.

根据44PB=:可知点P的轨迹，再利用正弦定理以及圆周角和圆心角之间的关系，易知当P为。C

与圆的交点时，CP取最小值，再利用余弦定理即可求得结果.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

17.【答案】解:(1)因为csinC—as讥4=(Z?—Q)sinB,

2

由正弦定理得c?—a=(b-a)h,即=小+/_Q6,即小+/_=。力，

由余弦定理得COSC=—C?=a=工，

2ab2ab2

因为ce(o,"),所以c=*

(2)由已知，△ABC的面积为6/耳，

所以SAABC=；absinC=xax4x/=6v3，可得a=6,

-1__

c2=a2+b2-2abcosC=36+16-2x6x4x-=28,：.c=2yf~7-

【解析】(1)根据题意，由正弦定理，余弦定理可得角C；

(2)由三角形面积，列出方程求得a=6,结合余弦定理，可求c.

本题考查正余弦定理，考查面积公式，属于基础题.

18.【答案】证明：(1)•••48(：-4/1口为直三棱柱，MBdi，

XvABIBC,BCng=B,AB1平面BB",

•••BiCu平面BBiQC,BrC1AB(T),

设BC=t,贝"Bi=tan/BBiC=?，

CD孕,tan/CBD=£=卒，；.乙BB】C=MBD,

LLDCL

•••NBB1C+4B1CB=90。，.•.”80+480=90。，故/ClBO②，

由①②，4Bu平面ABD,4Du平面ABD,且ABPIBD=B,知_L平面ABD,

又B[Cu平面/BiC,

平面4BiC_L平面ABD；

解：(2)由SC?+Ci>2=B02,得产+'=3，

解得t=7-2，

•••△8当0的面积SABBI。=3BBi,BC=V-2,

由(1)知AB1平面BBiGC,

.•・三棱锥4一8%。的体积以一BB/=?ABBQSB=浮，

••・三棱锥当一4BD的体积=VA_BBiD=?•

【解析】(1)先证4B1平面B&CiC,得到B1CJ.4B①，再借助三角形相似证明&C1BD②，最

后证出平面力BiCJL平面4BD；

(2)等体积法求/_BBM即可.

本题主要考查了面面垂直的判定，考查了等体积法求三棱锥的体积公式，属于中档题.

19.【答案】解：(1)〃_GEF=yG-AEF=jX^bAEF'。01

--X1=――；

224

(2)如图，连结D4,AC,DC

­.E,F,G分另lj为AB,BC,GA的中点，

AC//EF,EF仁平面ACu平面ACO。

EF〃平面

•••EG/ZADr，EGC平面4CZ)i，他u平面4曲，

EG〃平面4皿，

vEFdEG=E,二平面EFG〃平面4c0「

v21P〃平面EFG,

.•,点P在直线AC上，在AACDi中，AD1=V_2,AC=2,CDr=2,

SA血c=|x—xJ22一(?)2=

.•.当DiPlAC时，线段QP的长度最小，最小值为工=，.

|x22

【解析】(1)利用%_GEF=Vc-AEF'可求三棱锥A-GEF的体积：

(2)连结AC,DC推导出EF〃平面AC/,EG〃平面4C0「从而平面EFG〃平面4推

导出点P在直线4c上，在△4C0］中，AD、=C，AC=2,CDr=2,由此能求出当I\P14C时，

线段DiP的长度最小，并能求出最小值.

本题考查线段长度的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：（1）因为2a—c=2bcosC,所以2a—c=26一十二

2ab一。

22

即a?+c-b=ac,所以cosB=吆tQ=1,

2ac2

因为Be（0,7T）,所以B=*

(2)由B=*及b=c=2,可知△4BC为等边三角形,

又因为4EDF=$ABDE=a,所以

3oZ

在△血中，N8ED=9a,由正弦定理。、=嬴舐

在4CDF中3=a,由正弦定理DF=慕,所以$V><Xsin?=16sm（*：）sina

7r,/冗

小分

1

2

因为sin号—2-sina）sina=sinacosa+|sina=—si712a—"cos2a+

1

4

=1sin(2a-J)+ie[i|],所以sw[?,看],所以s的取值范围为4,胃].

【解析】(1)由余弦定理可得a?+c2-b2=ac,进而可得以B=半

(2)在ABDE中，由正弦定理=,、,在ACDF中，由正弦定理。尸=/,可得S=

2stn(-y-a)2sina

，进而可求s的取值范围.

…16sin(占q--a)、si.na

本题考查正余弦定理的应用，考查三角形的面积，考查运算求解能力，属中档题.

21.【答案】解：(1)•；PA=PB=PC,并且△ABC是等边三角形，

三棱锥P-ABC是正三棱锥，D是AABC的中心，点G是4B边的

中点；

由PD_L平面4BC,DE平面PAB,ABu平面P4B,可知MB1PD,

AB1DE,PDdDE=D,PDu平面PDG,DEu平面PDG,

所以4B_L平面POG,进而得48_LPG,AB1DG,

所以NPGO就是二面角P-AB-C的平面角，

又△ABC是边长为6「的等边三角形，且P4=PB=PC=6,PA2+PB2=AB2,

.•.△P4B是等腰直角三角形，同理△PAC,APBC都是等腰直角三角形;

•••PG=^AB=