2024年云南曲靖高二学业水平检测数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年云南春季学期学业水平检测试卷高二数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是（

）A．等边三角形的边长与其面积B．匀速直线行驶的电车的位移与行驶时间C．杂交水稻植株的高度与土壤湿润度D．汽车在陆地上的刹车制动时间与洞庭湖湖面上的空气阻力2．在中，内角的对边分别为，则（

）A． B． C． D．13．已知集合，若有且仅有3个不同元素，则的值可以为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．的展开式中的常数项为（

）A．240 B．120 C．64 D．845．若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．函数的极值点为（

）A．0 B．1 C． D．7．云南昆明有很多闻名的旅游景点，某公司的两名同事计划今年国庆节期间前往昆明去感受西双版纳大地的风光与文化，都准备从官渡古镇、滇池、翠湖公园、云南民族村4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．若在两人中至少有一人选择翠湖公园景点的条件下，两人选择的景点不同的概率为（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知均为正数，则使得“”成立的充分条件可以为（

）A． B．C． D．10．设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（

）A．的实部为0 B．关于轴对称C． D．11．设数列an满足，且当时，，则（

）A． B．C． D．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．若一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为．13．已知某果园中猕猴桃单果的质量（单位：）服从正态分布，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于的概率为.14．已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：研发投入亿元12345经济收益亿元2.546.5910.5(1)求相关系数；（保留3位小数）(2)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益．参考数据：．附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距．16．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．(1)求的方程；(2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．17．记正项数列的前项积为，已知.(1)求的通项公式；(2)记的前项和为，证明：.18．已知函数．(1)若只有一个零点，求的值；(2)若有两个零点，证明：．19．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】根据变量间的相关关系的定义求解．【详解】解：A．等边三角形的边长与其面积的关系为，两个变量是函数关系，不符合题意；B．匀速直线行驶的电车的位移与行驶时间的关系为，两个变量是函数关系，不符合题意；C．杂交水稻植株的高度与土壤湿润度具有相关关系，符合题意；D．汽车在陆地上的刹车制动时间与洞庭湖湖面上的空气阻力不具有相关关系，不符合题意．故选：C．2．C【分析】利用三角函数诱导公式及定义法求向量数量积．【详解】解：中，内角，，的对边分别为，，，，，，则，故选：C．3．A【分析】先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解．【详解】因为集合，若有且仅有3个不同元素，则这3个元素为3，2，1，故，即．故可取1，故选：A．4．A【分析】给出通项公式，令，即可求解．【详解】解：二项式展开式通项公式为：，令，解得，所以展开式中的常数项为：，故选：A5．D【分析】令，把方程的根转化成两个图象的交点问题，确定出的范围，求解即可．【详解】解：，，令，要使在有5个不相等的实数根，，解得：，故选：D．6．A【分析】求得，利用，解得即可判断．【详解】解：，由，即，解得：．由，得，由，得，函数在处取得极大值，故选：A．7．D【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法，借助古典概型求出条件概率.【详解】令事件：两人中至少有一人选择翠湖公园景点，事件：两人选择的景点不同，则事件含有的基本事件数，事件含有的基本事件为，所以两人选择的景点不同的概率.故选：D8．B【分析】设，则，构造函数，利用导数求出函数取得最大值时，点的坐标，进而可得出答案.【详解】设，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，又，所以此时最大，此时，所以的最大值为.故选：B.【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.9．AD【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为，结合的单调性可判断C.【详解】对于A，因为均为正数，根据不等式的性质，所以可得，故A正确；对于B，取，此时满足，但，故B错误；对于C，可化为，也即，因为函数在0,+∞上不单调，故C错误；对于D，由可得，即，因为均为正数，所以，故D正确；故选：AD10．ACD【分析】解方程得，根据复数减法运算及复数概念判断A，根据复数的几何意义判断B，根据复数模的运算判断C，根据共轭复数的定义和乘法运算求解判断D．【详解】由实系数一元二次方程求根公式知：方程的两根为，对于A，，所以的实部为0，故A正确；对于B，在复平面内对应的点分别是，关于轴对称，故B错误；对于C，，即，故C正确；对于D,，故D正确．故选：ACD．11．ABD【分析】根据题意，逐项计算求得，可判定A正确；根据题意，求得的表达式，可判定B正确；求得的值，猜想，利用数学归纳法，得到，，可得判定C错误；结合数学归纳法，可判定D正确.【详解】因为数列an满足，且当时，，对于A中，由，所以A正确；对于B中，当为偶数时，可得为奇数，可得且，则，即，所以，即，因为，所以，又因为，所以，所以B正确；对于C中，由，，猜想，当时，成立，假设，由，则，即时，也成立，所以，故不存在，所以C错误；对于D中，由成立，假设，则由，知，所以，即时，也成立，所以D正确.故选：ABD.【点睛】方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识，也可以利用数学归纳法，进行证明.4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解.12．##【分析】利用球和正四棱台的体积公式直接建立等式计算即可．【详解】解：球的体积为①，设正四棱台的高为，则正四棱台的体积为②，由，解得：．故答案为：．13．##0.375【分析】服从正态分布可得，由二项分布公式可求恰有2个单果的质量均不低于的概率.【详解】由题可知，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于的概率为.故答案为：.14．##【分析】设，得出，整理，令，利用单调性求值域，即可求解．【详解】解：设，，，，，，令，则在上单调递减，在上单调递增，，，则的最大值与最小值之和为，故答案为：．15．(1)(2)，研发投入10（亿元）时产品的收益为21.2（亿元）．【分析】（1）由所给数据求出，y，从而求出，再根据相关系数公式求出相关系数，即可判断；（2）求出、，即可得到回归直线方程，再令，即可得到预测值；【详解】（1）由于，，又．．所以具有较高的线性相关程度．（2），将代入可得关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程，得，预测研发投入10（亿元）时产品的收益为21.2（亿元）．16．(1)(2)【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）设直线的方程为，,，,，利用韦达定理及可得，，，进一步求出的中点坐标，然后求出直线的方程即可求解．【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，，曲线的方程为；（2）设直线的方程为，,，,，直线与抛物线联立：，消去化简得，则，即，，，又，即，又，，即，设点为的中点，则，直线的方程为，令，则，故点为定点，坐标为．17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）分当时，，当时，，得出是等比数列，求出的通项公式，需要验证当时；（2）求出，表示出，适当利用放缩法证明，事半功倍.【详解】（1）因为，为正项数列，当时，则，解得，当时，则，即，所以，则，故，，又，是以为首项，为公比的等比数列，，，当时，成立，；（2），，，当时，，即成立，当，，则，故，，，故成立.18．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，通过函数的单调区间，从而求出函数的最小值，令最小值为0求得的值；（2）问题转化为证明，设函数，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）函数，令得当时，在单调递增；当时，在单调递减；所以函数在时取最大值，当时，函数;当时，函数

;根据函数的单调性可知当最大值为0时，函数只有一个零点，易知，所以；（2）证明：不妨设要证明：，只需要证，易知由（1）可知在单调递增，在单调递减；所以只要证明，即证，设函数而，并且在区间上即在单调递增，所以从而所以所以19．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值.（2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系.（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可.【详解】（1）设足球有个正五边形，则有