2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数不同函数增长的差异练习新人教A版必修第一册

4.4.3不同函数增长的差异

知识

知识点一几类函数模型的增长差异

1.下列函数中，增长速度最快的是（）

A.y=2019'B.y=/019

C.y=log2oi9XD.y=2019x

答案A

解析比较事函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.

2.当2<x<4时，2，,x,logzx的大小关系是（）

A.2'>y>log2^B.x>2x>\ogiX

2A

C.2*>log2X>fD.jr>log2jr>2

答案B

解析解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=log2X,y=x。y=2"在区间

⑵4）上从上往下依次是y=I,y=2，,尸logzx的图象，所以fVAlogzx.

解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x=3,经

检验易知选B.

3.以固定的速度向如下图所示的瓶子中注水，则水深人与时间力的函数关系是（）

答案B

解析水深入的增长速度越来越快.

4.下列四种说法中，正确的是（）

A.哥函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B.对任意的x>0,x">logaX

C.对任意的x>0,a*>logaX

D.不一定存在xo,当x>xo时，总有a">x">logax

答案D

解析对于A,幕函数与一次函数的增长速度受塞指数及一次项系数的影响，幕指数与

一次项系数不确定，增长速度不能比较.对于B,C,当OVaVl时，显然不成立.对于D,

当a>\时，一定存在Xo,使得当x>照时，总有3>>xa>logaX,但若去掉限制条件“a>l”

则结论不成立.故选D.

5.四个变量%,预，%，为随自变量x变化的数据如下表：

X151015202530

226101226401626901

?22321024327681.05X1063.36X1071.07X109

»32102030405060

)424.3225.3225.9076.3226.6446.907

则关于x呈指数型函数变化的变量是.

答案72

解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化，从表格中可以看出，四个变量％乃，%,

方均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量刃的增长速度最快，

画出它们的图象(图略)，可知变量及关于x呈指数型函数变化.

1

2

6.图象，g(x)=lnx+l,h{x)=x的图象如图所示，试分别指出各曲线

对应的函数，并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).

解由幕函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线G对应的函数是f(公

1

2

=1.1。曲线C对应的函数是力(x)=x,曲线G对应的函数是g(x)=lnx+L由图象可

得：当XI时"(x)>力(王)>g(x)；当IQKe时"(X)>g3>力(£)；当e<x<a时,g(x)>f(x)>力(或)；

当水时，g(x)>/?(x)>/*(x)；当b<x<c时,力(x)>g(x)>_f(x)；当d时,力(x)>_f(x)>g(x)；

当x>d时，f{x)yh(x)>g(x).

7.函数F(x)=2x和g(x)=f的图象如图所示，设两函数的图象交于点力(荀，%),B&,

刃)，且X\<X2.

(1)请指出图中曲线G,C分别对应的函数；

(2)结合函数图象，判断『⑹,g(6),f(2020),g(2020)的大小.

解(l)G对应的函数为g(x)=£,G对应的函数为f(x)=2：

⑵⑴,f(2)<g⑵,F(9)<g(9),f(10)>g(10),；.1〈水2,9*10,

不〈6〈迎2020〉至，从图象上可以看出，当xi〈x〈X2时，/1(x)〈g(x),f(6)〈g(6).当x>及时，

f(x)>g(x),.If(2020)>g(2020).又g(2020)>g(6),

.,"(2020)>5-(2020)>g(6)>/(6).

知识点二函数模型的选择问题

8.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模

拟函数模型是()

4

3

2

1

A.y~~ax+bB.y=ax+6x+c

C.y—a,e'+bD.y=alnx+b

答案B

解析由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=a/+6x+c.

9.有一组实验数据如下表所示：

X12345

y413284976

下列所给函数模型较适合的是()

A.y=logaX(a>l)B.y=ax+6(a〉l)

C.y^ax+Z?(a>0)D.y=logax+灰a>l)

答案C

解析通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A,D中的函数增长速度

越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.

10.据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该

地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系式近似是()

A.y=0.2xB.y=­(/+2x)

2，

C.y=—D.y=0.2+logieJr

答案C

解析对于A,当x=3时，y=0.6,与0.76相差0.16；对于B,当x=3时，y=1.5,

23

与0.76相差0.74；对于C,当x=3时，y=—=0.8,与0.76相差0.04；对于D,当x=3

时,y=0.2+lo^3^0.6,与0.76相差0.16,故选C.

11.某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130

t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产

量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=F(x)=af+6x+c(a,b,c

均为待定系数，xGN*)或函数y=g(x)=/V+r(p,q,r均为待定系数，xGN*),现在已知该

厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较

好？

f1=a+6+c=100,

解根据题意可列方程组卜2=4a+26+c=120,

3=9a+36+c=130,

a——5,

解得|6=35,所以y=f(x)=—5/+35x+70.①

c=70.

同理尸g(x)=—80X0.5'+140.②

再将x=4分别代入①式与②式，

得f(4)=-5X42+35X4+70=130(t),

g(4)=-80X0.54+140=135(t).

与/U)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比

①式更好，故选用函数尸g(x)=0/+7作为模拟函数较好.

12.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平

稳增长.记2013年为第1年，且前4年中，第x年与年产量F(x)(万件)之间的关系如下表

所示：

X1234

F(x)4.005.587.008.44

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：/•(x)=ax+6,f(x)=2，+a,f(x)=log]x+

2

(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2013年和2015年的数据求出

相应的解析式；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2019年的年产量比预计减少30%,试根据所

建立的函数模型，确定2019年的年产量.

解(1)符合条件的是/'(x)=ax+b,

若模型为/"(x)=2'+a,

则由f(l)=2，+a=4,得a=2,即—(A)=2*+2,

此时f(2)=6,A3)=10,f(4)=18,与已知相差太大，不符合.

若模型为f(x)=logx+a,

2

则/1(*)是减函数，与已知不符合.

若模型为『(x)=ax+b,

「3

a=]，

由已知得L[a++6=4f,解得4一

35

所以f(x)=]x+g，xdN.

35

(2)2019年预计年产量为/(7)=-X7+-=13,

2019年实际年产量为13X(1-30%)=9.1,

故2019年的年产量为9.1万件.

易错

易错点对几类函数模型的增长差异理解不透致误

下列函数中随X的增大而增大且速度最快的是()

1X

A.B.y=1001nx

C.y=x°D.y=100,2X

易错分析错误的根本原因在于影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而非

其系数，本题误认为100＞工，得出100•2'比增大速度快的错误结论，错选D.

答案A

正解通过函数y=a'(a>l),y=loga^(a>l),尸Ax(4>0)的图象观察可得y=/的增长

速度大于尸Ax的增长速度，y=Ax的增长速度大于y=logax的增长速度，...A,D最快.又

旷=击8"中底数e>2..」=击式的增长速度大于y=100X2，,.•.选A.

课时

一、单项选择题

1.下列函数中，随着X的增长，增长速度最快的是()

A.y=50B.y=1000x

21*

C.y=5°xD.y=-^QQQ6

答案D

解析通过观察图象可知，了=喘请*随着X的增长，y的增长速度最快.

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍，需经过y

年，则函数尸f(x)的图象大致是()

logL104X(x21),...y=f(x)的图象大致为D中图象.

3.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.指数函数模型D.对数函数模型

答案A

解析随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一

次函数模型.故选A.

4.据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%,按此规律，2020年的湖水量为如从

2020年起经过x年后湖水量y与x的函数关系是()

X

50(

A.y=0.9,mB.y=50•m

(1—0.1)

C.y=0.950x«D.y=(1-0.l5°0•m

答案A

X

50

解析由已知50年减少10%,则x年后湖水量为原来的0.9,所以湖水量为y=

X

50、

0.9m,故选A.

5.向高为〃的水瓶内注水，注满为止，如果注水量，与水深方的函数关系的图象如图所

示，那么水瓶的形状是（）

答案B

解析取如■的中点（如右图）£作人轴的垂线，由图知当水深为达到容量一半时，体积/

大于一半，易知B符合题意.

6.某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速,

后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，

则可选用（）

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.指数函数模型D.对数函数模型

答案D

解析一次函数模型增长均匀，不符合题意；二次函数模型在对称轴的两侧有增也有降,

不符合题意；指数函数模型是“爆炸式”增长，不符合题意.故只有对数函数模型最符合题

意，先快速增长，后来增长越来越慢.

7.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有

前途的生意是（）

A.y=10Xl.05vB.y=20+/5

C.y=30+lg(x—1)D.y=50

答案A

解析结合三类函数的增长差异可知A的预期收益最大.

_1

8.下面对函数/'(x)=log|x,g(x)与力(x)=x在区间(0,+8)上的衰减情况

说法正确的是()

A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，尔x)衰减速度越来越慢

B./1(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，尔x)衰减速度越来越快

C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，力(x)衰减速度越来越慢

D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，〃x)衰减速度越来越快

答案C

解析观察函数F(x)=logx,g(x)=O与尔x)=x在区间(0,+8)上的大致图

2

象(如图)，可知函数『(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1,

+8)上递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0,+8)上递减较慢，且递

减速度越来越慢；函数为(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1,

+8)上递减较慢，且越来越慢，故选C.

二、多项选择题

9.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记

录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的是()

A.前5min温度增加越来越快

B.前5min温度增加越来越慢

C.5min后温度保持匀速增加

D.5min后温度保持不变

答案BC

解析根据图象信息可得，前5min温度y随x的增加而增加，增长速度越来越慢；5min

后，温度y随x变化的曲线是直线，即温度匀速增加.

10.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时

间的变化而变化，下列各项中图象与容器相匹配的是（）

A.a对应④B.6对应③

C.c对应①D.d对应②

答案AD

解析a容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；方容器为球形，水高度变

化为快一慢一快，应与①对应；c,d容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但

c容器细，d容器粗，故水高度的变化为c容器快，与③对应，，容器慢，与②对应.故选AD.

11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报

如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则（）

A.投资3天以内（含3天），采用方案一

B.投资4天，不采用方案三

C.投资6天，采用方案一

D.投资12天，采用方案二

答案ABC

解析由图可知，投资3天以内（含3天），方案一的回报最高，A正确；投资4天，方

案一的回报约为40X4=160（元），方案二的回报约为10+20+30+40=100（元），都高于方

案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40X6=240（元），方案二的回报约为10

+20+30+40+50+60=210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三

的回报最高，所以此时采用方案三，D错误.故选ABC.

12.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程£(x)(了=1,2,3,4)

关于时间x(x20)的函数关系式分别为f(x)=2*—1,6(入)=f，6(x)=x,£(x)=log2(x

+1).下列结论中正确的是()

A.当x>l时，甲走在最前面

B.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面

C.当0〈x〈l时，丁走在最前面，当x>l时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

答案BCD

解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易如，B,C,D正确.

三、填空题

13.函数与函数y=xlnx在区间(0,+8)上增长较快的一个是.

答案了=/

解析当X变大时，X比InX增长要快，.•./要比;dnX增长的要快.

14.现测得(x,力的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型，甲：

+1,乙：y=3x—1,若又测得(x,。的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为函数

模型.

答案甲

解析把x=l,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好.

15.函数y=2'—Y的图象大致是.(填序号)

答案①

解析在同一平面直角坐标系中作出y=2',的图象(图略).易知在区间(0,+8)

上，当xG(O,2)时，2">/，即此时y>0；当xG(2,4)时，2A<x,即旅0；当xe(4,+°°)

时，2”>/，即「0.当x=-1时，/-(-1)=2-1-1<0,据此可知只有选项①中的图象符合条

件.

16.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本0(单位：

元/100kg)与上市时间乂单位：天)的数据如下表:

时间t60100180

种植成本Q11684116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本0与上市时间大的变化

关系.

Q—ab,gad+6%+c,Q^a,t),0=a•log/.你选取的函数是,西红柿

种植成本最低时的上市天数是.

答案Q=a^+bt+c120

解析由提供的数据可知，描述西红柿种植成本0与上市时间大的变化关系函数不可能

是常数函数，也不是单调函数，而函数gat+6,Q=a•t>,Q=a•log4t,在aWO时，均

为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数0=a/+〃+c进行描述，将表

格所提供的三组数据(60,116),(100,84),(180,116)分别代入。可得

一3600a+606+c=116,

119119

\10000a+100Z)+c=84,解得b=——,c=224,/.0=T^,f——t+224,该

10051005

」80%+1806+c=116,

函数图象的对称轴为直线力=120,开口向上，在对称轴处即力=120时函数取得最小值.故

选取的函数是Q^a1?+bt+C,西红柿种植成本最低时的上市天数为120.

四、解答题

17.我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制

造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度从单

位：米)与时间乂单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表:

时间t24

2

高度分102517

(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h

与时间力的变化关系：y\=kt+b,y2=a1?+bt+c,y3=函,确定此函数解析式，并简单说

明理由;

(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.

解(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势,

而在给定的三类函数中，只有刃可能满足，故选取该函数.

设力(8=a/+Z?方+c,

10=；a+/+c,a=-4,

有Vic-=<8=20,

25=4^+26+c,

c=1

ll7=16a+46+c^

A(t)=-4f+201+1(t^O).

(2)A(t)=—4力2+201+1=—4(/—51)+1=