新高考一轮复习导学案第66讲 抛物线的标准方程与性质（原卷版）

第66讲抛物线的标准方程与性质一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)三、与焦点弦有关的常用结论设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).(4)以AB为直径的圆与准线相切．1、设SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<02、设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AFA．2 B．22 C．3 D．3、若抛物线SKIPIF1<0的焦点到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44、已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（

）A．2 B．3 C．6 D．95、已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的准线的距离为．6、已知SKIPIF1<0为坐标原点，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一点，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的准线方程为．1、抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－12、抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列结论中正确的是()A.焦点F的坐标为(1，0)B.过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点C.直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8D.抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则MN＝44.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：x＝2交抛物线C于P，Q两点，且OP⊥OQ，则抛物线C的方程为________．考向一抛物线的定义及其应用例1(1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为____．(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____．变式1、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m，交抛物线于P1，P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切．方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考向二抛物线的标准方程及其几何性质例2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是________________________．变式1、已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过点F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,AF)＋eq\f(1,BF)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．变式2、（1）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1（2）已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝eq\r(2)|PF|，则y0＝________，p＝________.方法总结：1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算1、已知抛物线y2＝4x的焦点为点F，点A(－1，0)，抛物线上点P满足PA＝eq\r(,2)PO，O为坐标原点，则PF的长等于A．1B．eq\r(,2)C．2D．eq\f(\r(,2),2)2、抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形，则该三角形的边长为______．3、已知F是抛物线eqC：y\s\up6(2)＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|＝．4、已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是C上两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．25、已知SKIPIF1<0是拋物线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．6 D．96、已知直线SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点，且与该抛物线交于SKIPIF1<0两点.若线段SKIPIF1<0的长为16，SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0轴距离为6，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）的面积是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．