4.1期望4.2方差公开课一等奖课件省赛课获奖课件

前面讨论了随机变量及其分布。如果我们懂得了随机变量X的概率分布，那么，有关X的全部概率特性也就懂得了。然而，在实际问题中，概率分布是较难拟定的。且有时在实际应用中，我们并不需要懂得随机变量的全部性质，只要懂得其某些数字特性就够了。因此，在对随机变量的研究中，拟定随机变量的某些数字特性是非常重要的。最惯用的数字特性是：盼望和方差。第四章数字特性4.1.1离散型随机变量的盼望概念引入：某车间对工人生产状况进行考察，车工小张每天生产的废品数X是一种随机变量。如何定义X的平均值？§4.1盼望若统计了100天小张生产产品的状况，发现：能够得到这100天中每天的平均废品数为32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。能够想象：若另外再统计100天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天普通不会完全相似，即另外100天每天的平均废品数也不一定就是1.27。n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.能够得到这n天中，每天的平均废品数为(假定每天至多出三件废品)

普通来说,若统计了n天,这是以频率为权的加权平均由频率与概率的关系，

不难想到：求废品数X的平均值时，用概率替代频率，得平均值为：这是以概率为权的加权平均这样，就得到一种拟定的数——随机变量X的盼望(均值)。是随机波动的！定义1:设X是离散型随机变量,概率分布为

P{X=xk}=pk,k=1,2,…。也就是说：离散型随机变量的盼望是一种绝对收敛的级数和。如果收敛,则称为X的盼望(或均值)。有关定义的几点阐明：(3)随机变量的盼望与普通变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一种实数,而非变量,它是一种加权平均,,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性确保了级数的和不随级数各项次序的变化而变化,之因此这样规定是由于盼望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而变化.随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的盼望值与算术平均值相等.例1：

发行彩票的创收利润

某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收平均利润为解:X的分布律为例2:自动生产线在调节之后出废品的概率是p，当在生产过程中出现废品时应立刻重新进行调节，求在两次调节之间生产的合格品数X的数学盼望.P71例4.2几何分布自学.例3:商店的销售方略解:类似的题：P72例4.54.1.2持续型随机变量的盼望例4：设持续型随机变量X的密度函数为解：4.1.3随机变量函数的盼望设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的盼望，而是X的某个函数g(X)的盼望，那么，如何计算呢？一种办法是：由于g(X)也是随机变量，故应有概率分布，其分布能够由X的分布求出。一旦懂得了g(X)的分布,就能够按照盼望的定义把E[g(X)]计算出来。但使用该办法必须先求出g(X)的分布。普通说来，这是比较复杂的事。

那么,可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来计算E[g(X)]呢？答案是必定的。且有以下公式：设X是一种随机变量，Y=g(X)，则

当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为持续型时,X的密度函数为f(x)。（P72定理4.1）该公式的重要性在于：当我们求E[g(X)]时,不必求g(X)的分布，而只需懂得X的分布足矣。这对求g(X)的盼望带来了极大方便。例5：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位:吨)。X服从区间[2000,4000]上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才干使国家收益最大?解：设组织货源t吨。显然，应规定2000≤t≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X)。体现式为由已知条件,知X的概率密度函为可算得当t=3500时，E(Y)达成最大值。因此，应组织3500吨货源。

推广：前面我们给出了求g(X)的盼望的办法。事实上，该结论可容易地推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情形。类似的题：P73例4.7设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为

pij,i=1,2,，

j=1,2,

.则：设二维持续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:（P72定理4.2）例6：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布以下表所示，求Z=X2+Y的盼望.

E(Z)=

g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解：=4.25.解:例7：设(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域.求E(X)，E(-3X+2Y)

及E(XY).4.1.4盼望的性质(1).设C是常数，则E(C)=C;(4).设X,Y互相独立，则E(XY)=E(X)E(Y);(2).若k是常数，则E(kX)=kE(X);(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立.推广：推广：(诸Xi独立时)。解：例8：该办法称为随机变量的（0-1)分解，P75例4.11超几何分布.P75例4.10.前面介绍了随机变量的盼望。盼望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特性。但在某些场合，仅仅懂得平均值是不够的，还需理解其它数字特性。§4.2方差例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量成果X用坐标上的点表达如图：乙仪器测量结果

甲仪器测量结果较好由于乙仪器的测量成果集中在均值附近。又如，甲、乙两门炮同时向一目的射击10发炮弹，其落点距目的的位置如图：甲炮射击成果乙炮射击成果乙较好由于乙炮的弹着点较集中在中心附近。

中心中心为此需要引进另一种数字特性，用它来度量随机变量取值偏离其中心(均值)的程度。这个数字特性就是我们要介绍的方差。4.2.1方差的定义注:有的书上也将Var(X)记成D(X)或

(X)

。

定义1:设

X是一随机变量，若E[X-E(X)]2存在,则称其为X的方差，记成Var(X)，即Var(X)=E[X-E(X)]2;(1)并称为X的原则差。若X的取值比较分散，则方差较大。若方差Var(X)=0，则X以概率1取常数。方差刻划了随机变量的取值对于其盼望的偏离程度。若X的取值比较集中，则方差较小；均值E(X)X为离散型，P{X=xk}=pk。(1)由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学盼望。X为持续型，f(x)为密度。4.2.2方差的计算(2)计算方差的一种简化公式Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

展开证：Var(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.运用期望性质解：于是例2：设X服从几何分布，概率分布为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,其中0<p<1,求Var(X)。解：记q=1-p，则交换求和与求导次序无穷等比级数求和公式例3：设(X,Y)含有概率密度函数求随机变量Y的盼望与方差。类似的题：p80例4.16.解法1：运用联合分布解法2：运用边沿分布当0≤y≤1时,4.2.3方差的性质(1).设C是常数,则Var(C)=0;(2).若C是常数，则Var(CX)=C2

Var(X);(3).若X与Y独立，则Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y);可推广为：若X1,X2,…,Xn互相独立，则例4：设随机变量X的盼望和方差分别为E(X)和Var(X)，且Var(X)>0，求解：例5:X服从两点分布，求E(X)及Var(X).解:

X的分布律为4.2.4六个常见分布的盼望和方差例6：X～P()，求E(X)及Var(X).解：

X的分布律为因此X的方差为结论：若X～P（），则解：例7：设X～U(a，b)，求E(X)及Var(X).解：X的密度函数为例8：

设X～E(),求E(X)及Var(X).解:

令例9:求E(X)及Var(X).则

Z～N（0，1）,其概率密度为记住正态分布的特性:例如，X～N（1，3），Y～N（2，4），X与Y独立,则Z=2X－3Y服从正态分布N（？，？）E(Z)=2E(X)－3E(Y)因此Z~N(－4，48).解:这是n次贝努里实验问题，视p为每一次实验事件A出现的概率，则X即是n次实验中A出现的次数.～(0－1)分布，例10:

设X~B(n，p)，求E(X)及Var(X).互相独立，令记住六个常见分布的概率密