山东省日照市2023-2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题（解析版）

参照秘密级管理★启用前2023级高一下学期期中校际联合考试数学试题2024.05考生注意：1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在内，与角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由终边相同的角的定义计算即可得.【详解】，而其它项对应角都不满足.故选：B.2.半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由弧长公式计算即可得.【详解】由弧长公式得.故选：B.3.函数的最小正周期是（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得.【详解】函数的最小正周期是.故选：D4.已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由共线向量基本定理即得.【详解】∵､､三点共线，∴，解得.故选：A.5.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，结合解出即可得.【详解】由题意可得，即，又，故，即定义域为.故选：C.6.已知向量，，若，则（）A.或 B.或 C.或3 D.或【答案】A【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示计算可得，结合三角函数基本关系将弦化切后计算即可得.【详解】由，则有，即，则，即有，解得或.故选：A.7.的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影数量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题设中的向量关系可得是以为斜边的直角三角形，结合半径及可求，根据投影数量的定义可计算投影数量，从而可得正确的选项.【详解】由题意可得：，即：，即外接圆的圆心为边的中点，则是以为斜边的直角三角形，结合有为等边三角形，故，故，则向量在向量方向上的投影数量为.故选：D.8.已知函数，若存在，满足，，且，，则满足条件的实数的最小值为（）A.506 B.507 C.508 D.509【答案】B【解析】【分析】结合函数性质可得要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，则当取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，计算即可得.【详解】函数，对，，都有，要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，，，且，在一个周期上的最大值为4，且，取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，，，，，，，，所以的最小值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列命题正确的是（）A. B.可以作为平面向量的一组基底C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项计算判断即得.【详解】对于A，，A正确；对于B，不共线，可以作为平面向量的一组基底，B正确；对于C，，因此，C错误；对于D，，D错误.故选：AB10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于直线对称C.函数是偶函数D.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得.【详解】由图可得，，，解得，故A正确；又函数图象经过点，则，即，因，故，解得，故.对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确；对于C，，是奇函数，故C错误；对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数的图象，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是以为周期的函数B.函数存在无穷多个零点CD.至少存在三个不同的实数，使得为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】A：计算是否等于即可得；对B：结合函数的周期性，将研究在上的零点转化为研究在上的零点个数，从而可分与讨论即可得；对C：借助诱导公式计算是否等于即可得；对D：结合函数性质，可得至少存在、、三个值，使得为偶函数.【详解】对A：，故是以为周期的函数，故A正确；对B：因为的周期为，所以只需研究在区间上的正负，当时，，由且，故在上恒成立；当时，，设，则，当时，有最大值，当时，，当时，，故的最小值为，综上所述，在上的取值均大于，没有零点，故在上没有实数根，即在上没有零点，故B错误；对C：，，故，故C正确；对D：由可得的图象关于直线对称，当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，结合的周期为，可知时，为偶函数，又因为，所以的图象关于直线对称，可知当时，为偶函数，综上所述，当时，至少存在、、三个值，使得偶函数，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B选项中关键点在于结合函数的周期性，将研究在上的零点转化为研究在上的零点个数，从而可分与讨论即可得.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若角的终边与单位圆相交于点，则______．【答案】##【解析】【分析】由三角函数定义可知等于角的终边与单位圆交点的纵坐标.【详解】由三角函数定义，及已知点坐标知.故答案为：.13.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则______．【答案】3【解析】【分析】借助平面向量基本定理结合可得，再利用数量积公式计算即可得.【详解】根据题意，可得，由，则，设，则，，结合，可得，故，所以，故.故答案为：.14.已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围.【详解】如图，设,则,因对任意实数都有，成立，即对任意实数都有，成立，因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，,即点在以为直径的圆上，设圆心为.则，而为向量在上的射影的长.过点作，交于点，交圆于点，因则，则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值）则,不妨设,则于是，，因，则，而，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题.解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，．（1）若，求实数的值；（2）求向量与夹角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由向量的坐标计算向量的模长和数量积，再由向量垂直的充要条件化简，代入解方程即得；（2）利用向量的夹角公式求得，再由同角的三角函数关系计算.【小问1详解】因，，则有由可得，，解得，；【小问2详解】因，又，故.16.已知向量，，函数．（1）求函数在区间上的最值；（2）求函数在区间上的单调递增区间．【答案】（1）最大值为，最小值为（2）、.【解析】【分析】（1）借助向量数量积公式与辅助角公式可得，结合正弦型函数的性质即可得解；（2）借助正弦型函数单调性可得的单调递增区间，即可得其在上的单调递增区间.【小问1详解】，当时，，可得，故当时，有最小值，当时，有最大值，综上所述，的最大值为，最小值为；【小问2详解】由，令，解得，所以在上的增区间为，故在区间上的单调递增区间为与.17.将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数．（1）求函数的解析式和对称中心；（2）若对，当时，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1），对称中心为（2）【解析】【分析】（1）借助函数平移与偶函数的性质计算即可得，即可得的解析式，结合余弦型函数的对称性即可得解；（2）由题意可得在上单调递增，结合三角恒等变换与正弦型函数的单调性计算即可得解.【小问1详解】将向左平移后得，由偶函数，故，又，故，即，，令，解得，即的对称中心为；【小问2详解】由，故，即，即，令，由题意可知在上为增函数，当时，，则有，解得.18.如图，已知是的外心，，，，，．（1）判断形状，且求时的值；（2）当时，①求的值（用含的式子表示）；②若，求集合中的最小元素．【答案】（1）为等边三角形；（2）①②【解析】【分析】（1）借助向量的数量积公式计算即可得其夹角，即可得其形状，由题意可得的中点为，即可结合向量的线性运算得解；（2）①由题意可得、、分别为，，的等分点，借助向量的线性运算与数量积公式计算即可得；②借助一次函数的单调性逐步计算即可得.【小问1详解】，，则，即，故为等边三角形，由题意知的中点为，且，，，故；【小问2详解】①由为等边三角形，为外接圆的圆心，故，，，，，，，，，又，故、、分别为，，的等分点，；同理，故；②令，由，故，可以看为自变量为的一次函数，在时取得最小值，同理，由，在时取得最小值，，在时取得最小值，，故的最小值为，即集合中的最小元素为.19.已知函数，其中为常数．（1）当，时，若，求的值；（2）设函数在上有两个零点，①求t取值范围；②证明：．【答案】（1）（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解；（2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得