考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷2（共256题）

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷2（共9套）（共256题）考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为()A、1+sinx。B、1一sinx。C、1+cosx。D、1一cosx。标准答案：B知识点解析：由F’(x)=sinx，得F(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=一cosx+C1，所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数。令C1=0，C2=1得F(x)=1一sinx。故选B。2、定积分I==()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：这是无界函数的反常积分，x=±1为瑕点，与求定积分一样，作变量替换x=sint，则I=。故选B。3、设f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt，则()A、F(x)在x=0处不连续。B、F(x)在(一∞，+∞)内连续，但在x=0处不可导。C、F(x)在(一∞，+∞)内可导，且满足F’(x)=f(x)。D、F(x)在(一∞，+∞)内可导，但不一定满足F’(x)=f(x)。标准答案：B知识点解析：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外的其他点都连续，且x=c为f(x)的跳跃间断点。又设F(x)=∫cxf(t)dt，则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]且x≠c时，F’(x)=f(x)；③F’(c)必不存在，且F＋’(c)=f(c＋)，F－’(c)=f(c－)。直接利用上述结论(本题中的c=0)，可知选项B正确。4、设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性()A、仅与m的取值有关。B、仅与n的取值有关。C、与m，n的取值都有关。D、与m，n的取值都无关。标准答案：D知识点解析：显然x=0，x=1是该积分可能的两个瑕点，因此有5、由曲线y=(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由曲线y=f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得Vx=∫0ππf2(x)dx=∫0ππ()2=π∫0πsin3xdx=一π∫0π(1一cos2x)dcosx=－π(cosx一cos3x)｜0π=π。故选B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、已知∫f’(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=_________。标准答案：+C知识点解析：对等式∫f’(x3)dx=x3+C两边求导得f’(x3)=3x2。令t=x3，等式两边积分，故f(x)=+C。7、=_________。标准答案：知识点解析：8、=_________。标准答案：secx—tanx+x+C知识点解析：=∫tanxsecxdx一∫(sec2x一1)dx=secx一tanx+x+C。9、=________。标准答案：知识点解析：令x=tant，则dx=sec2tdt，于是10、=________。标准答案：0知识点解析：令In=∫e－xsinnxdx=一e－xsinnx+n∫e－xcosnxdx=一e－xsinnx—ne－xcosnx—n2In。所以In=+C。则11、=__________。标准答案：知识点解析：12、∫1＋∞=_________。标准答案：知识点解析：令x=，则有13、已知∫－∞＋∞ek｜x｜=1，则k=________。标准答案：一2知识点解析：1=∫－∞＋∞ek｜x｜dx=2∫0＋∞ekxdx=2ekx｜0b，已知要求极限存在，所以k＜0。那么1=0一，所以k=一2。14、曲线y=，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为________。标准答案：知识点解析：直接利用旋转体的体积公式可得，如图1-3-10所示，x的积分从1到2。V=π∫12(x2一1)dx=π[｜12一x｜12]=)=。15、曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=________。标准答案：知识点解析：由已知可得。则三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)16、求不定积分ln(1+x2)dx。标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)=。17、证明f(x)是以π为周期的周期函数；标准答案：由题设条件可得f(x+π)=，设t=μ+π，则有f(x+π)==f(x)，因此f(x)是以，π为周期的周期函数。知识点解析：暂无解析18、求f(x)的值域。标准答案：因为｜sinx｜周期为π，故只需在[0，π]上讨论值域。因为f’(x)=｜sin(x+)｜—｜sinx｜=｜cosx｜—｜sinx｜，知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[一π，π]上连续，且有f(x)=+∫－ππf(x)sinxdx，求f(x)。标准答案：由于∫－ππf(x)sinxdx存在，且记为A，于是可得，f(x)=+A，对等式右边积分作积分变量变换：x=π—t，当x=0时，t=π；当x=π时，t=0。于是知识点解析：暂无解析20、已知f(2)=，f’(2)=0及∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx。标准答案：知识点解析：暂无解析21、(I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。(Ⅱ)计算∫02πdx。标准答案：(I)证明：必要性：设φ(a)=∫aa＋lf(x)dx一∫0lf(x)dx，由题设φ’(a)=f(a+l)一f(a)=0，则φ(a)=c(常数)。设a=0，则c=φ(0)=0，那么∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。充分性：在∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期。(Ⅱ)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是在上式第2项中作变量替换x=π一t，即可化为第1项，故知识点解析：暂无解析22、设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足f(b)．cosb=．cosxdx。证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．tanξ。标准答案：由f(x)在区间[a，b]上可导，知f(x)在区间[a，b]上连续，从而F(x)=f(x)．cosx在[a，]上连续，由积分中值定理，知存在一点c∈[a，]使得F(b)=f(b)cosb=f(x)．cosxdx==F(c)。在[c，b]上，由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(c，b)(a，b)，使F’(ξ)=f’(ξ)cosξ一f(ξ)sinξ=0，即得f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。知识点解析：暂无解析23、设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。标准答案：设F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且F’(x)=g(x)f’(x)－f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]，由于x∈[0，1]时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。注意到F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(1)g(1)，而又因为∫01g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t)=g(t)f(t)｜01—∫01f(t)g’(t)dt=f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt，故F(1)=0。因此x∈[0，1]时，F(x)≥F(1)=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。知识点解析：暂无解析24、设f(x)=∫－1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。标准答案：因为t｜t｜为奇函数，可知其原函数f(x)=∫－1xt｜t｜dt=∫－10t｜t｜dt+∫0xt｜t｜dt为偶函数，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。又由f’(x)=x｜x｜，可知x＜0时，f’(x)＜0，故f(x)单调减少，因此f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。当x＞0时，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，所以当x＞0时，y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积A=∫－11｜f(x)｜dx=2∫－10｜f(x)｜dx。当x＜0时，f(x)=∫－1xt｜t｜dt=∫－1x一t2dt=一(1+x3)，因此A=2∫－10(1+x3)dx=。知识点解析：暂无解析25、设曲线y=ax2+bx+c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，并与x轴所围成的图形的面积为，试确定a、b、c的值，使该图形绕x轴旋转一周所得立体的体积最小。标准答案：已知该曲线过原点，因而c=0，又当0≤x≤1时，y≥0，可知a＜0，a+b≥0，于是该曲线在0≤x≤1上与x轴所围成的面积为∫01(ax2+bx)dx=，即a=1一b。该图形绕x轴旋转一周所得立体的体积为V=∫01πy2dx=∫01π(ax2+bx)2dx=，可知，要使该图形绕x轴旋转一周所得立体的体积最小，a，b的值应分别是知识点解析：暂无解析函数y=与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)。26、求的值；标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算极限。标准答案：知识点解析：暂无解析一容器的内侧是由图中(如图1—3—6)曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成。28、求容器的容积；标准答案：曲线可表示为x=f(y)=则其容积为知识点解析：暂无解析29、若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg／m3。)标准答案：利用微元法，所做功的计算分为两部分：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设一元函数f(x)有下列四条性质：①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]存在原函数；④f(x)在[a，b]可导。若用“”表示可由性质P推出性质Q，则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是讨论函数f(x)在区间[a，b]上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由f(x)在[a，b]可导，则f(x)在[a，b]连续，那么f(x)在[a，b]可积且存在原函数。故选C。2、设，则I，J，K的大小关系为()A、I＜J＜K。B、I＜K＜J。C、J＜I＜K。D、K＜J＜I。标准答案：B知识点解析：当0＜x＜时，因为0＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此综上可知，I，J，K的大小关系是I＜K＜J。3、设g(x)=∫0xf(μ)dμ，其中f(x)=则g(x)在区间(0，2)内()A、无界。B、递减。C、不连续。D、连续。标准答案：D知识点解析：因为f(x)在区间[0，2]上只有一个第一类间断点(x=1为f(x)的跳跃间断点)，所以f(x)在该区间上可积，因而g(x)=∫0xf(μ)dμ在该区间内必连续，故选D。4、如图1一3一I，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：结合定积分的几何意义，可知F(3)=，F(2)=，F(一2)=∫0－2f(x)dx=一∫－20f(x)dx=∫02f(x)dx=。所以F(3)=F(一3)=F(一2)，故选C。5、曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的平面图形的面积可表示为()A、一∫02x(x一1)(2一x)dx。B、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2一x)dx。C、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。D、∫02x(x—1)(2一x)dx。标准答案：C知识点解析：由于所求平面图形在x轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查B、C选项中的每一部分是否均为正即可，显然C正确。事实上，S=∫02｜y｜dx=∫02｜x(x一1)(2一x)｜dx=∫01｜x(x一1)(2一x)｜dx+∫12｜x(x一1)(2一x)｜dx=一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。6、曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选A。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、=_________。标准答案：知识点解析：8、=_________。标准答案：cos2x一2cosx+3ln(cosx+2)+C知识点解析：令t=cosx，则=cos2x一2cosx+3ln(cosx+2)+C。9、=_________。标准答案：x一ln(1+e2x)+C知识点解析：暂无解析10、=__________。标准答案：一4π知识点解析：令=t，原式为∫0π2=2∫0πt2costdt=2(t2sint｜0π－∫0π2tsintdt)=一4∫0πtsintdt=4(tcost｜0π－∫0πcostdt)=一4π。11、设=__________。标准答案：知识点解析：已知函数可化为12、设f(x)==__________。标准答案：知识点解析：令x一1=t，13、∫1＋∞=__________。标准答案：ln2知识点解析：14、设封闭曲线L的极坐标方程为r=，则L所围平面图形的面积是________。标准答案：知识点解析：直接利用封闭曲线图形的面积公式可得15、当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为_________。标准答案：(eπ—1)知识点解析：利用极坐标的弧长公式：∫ds=∫0π(eπ一1)。16、设有摆线x=a(t一sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=_______。标准答案：πa2知识点解析：根据旋转面面积公式可得s=2π∫02πy(t)=2π∫02πa(1－cost)=2πa2∫02π=8πa2∫02π｜sin｜3dt=16πa2∫0πsin3tdt=32πa2πa2。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)17、计算不定积分。标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3，f(1)=1，求∫12f(x)dx。标准答案：令2x—t=μ，则原等式变为∫x2x(2x一μ)f(μ)dμ=arctanx3，即2x∫x2xf(μ)dμ—∫x2xμf(μ)dμ=arctan(x3)，两边同时对x求导，可得2∫x2xf(μ)dμ—xf(x)=。令x=1，则上面的等式可以化为2∫12f(μ)dμ一f(1)=，根据已知条件f(1)=1可知∫12f(x)dx=。知识点解析：暂无解析19、设f(x)=∫x－12e－y2dy，计算I=∫13f(x)dx。标准答案：f’(x)=一e－(x－1)2，由分部积分公式可得I=x．f(x)｜13一∫13x．f’(x)dx=3f(3)一f(1)+∫13xe－(x－1)2dx=∫13xe－(x－1)2一∫02e－y2dy(在第一个积分式中令x一1=y)=∫02(y+1)e－y2dy—∫02e－y2dy=∫02ye－y2dy=。知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x－a)(x－b)dx。标准答案：连续利用分部积分法有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫abf’(x)(x一b)d(x一a)=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f’(x)(x一b)]=f(0)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx=f(a)(b一a)＋f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx，移项并整理得∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx。知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0，+∞]连续，且=0。证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。标准答案：作函数F(x)=f(x)+x，有∫01F(x)dx=∫01[f(x)＋x]dx=∫01f(x)dx+＜0。所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因为＋1=1，所以，由极限的保号性，存在b＞a，使＞0，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一个ξ∈[a，b](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。知识点解析：暂无解析23．证明：22、若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；标准答案：设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即m≤f(x)≤M,x∈[a，b]。根据定积分性质，有m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b—a)，即m≤≤M。根据连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]，使得f(η)=，即∫abf(x)dx=f(η)(b一a)。知识点解析：暂无解析23、若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。标准答案：由(I)的结论可知至少存在一点η∈[2，3]，使∫23φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η)，又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，知2＜η≤3。对φ(x)在[1，2]，[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并结合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)可得φ’(ξ1)=＞0，1＜ξ1＜2，φ’(ξ2)=＜0，2＜ξ1＜η≤3，在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有φ’’(ξ)=＜0，ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)。知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明+∫ab｜f’(x)｜dx。标准答案：可设{｜f(x)｜}=｜f(x0)｜，即证(b一a)｜f(x0)≤｜∫abf(x)dx｜＋(b－a)∫ab｜f’(x)｜dx，即｜∫abf(x0dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤(b－a)∫ab｜f’(x)｜dx。事实上，｜∫abf(x0)dx｜－｜∫abf(x)dx｜≤｜∫ab[f(x0)一f(x)]dx｜=｜∫ab[∫xx0f’(t)dt]dx｜≤∫ab[∫ab｜f’(t)｜dt]dx=(b—a)∫ab｜f’(x)｜dx。的得证。知识点解析：暂无解析25、设D是由曲线y=，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy=10Vx，求a的值。标准答案：由微元法可知Vx=π∫0ay2dx=，Vx=2π∫0axf(x)dx=，由已知条件10Vx=Vy，解得a=。知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：2、设f(x)在[a，b]上非负，在(a，b)内f"(x)＞0，f’(x)＜0．I3=(b-a)f(b)，则I1，I2，I3的大小关系为()A、I1≤I2≤I3B、I2≤I3≤I1C、I1≤I3≤I2D、I3≤I2≤I1标准答案：D知识点解析：由于f’(x)＜0，f"(x)＞0，故y=f(x)单调递减且图形为凹．如图1．3—1所示，I1是梯形ABCD的面积，I2是曲边梯形ABCD的面积，I3是长方形A1BCD的面积．由图可知I3≤I2≤I1．3、函数的最小值为()A、B、一1C、0D、标准答案：A知识点解析：令得唯一驻点知f(x)在处取最小值4、设f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：奇函数的原函数是偶函数(但要注意，偶函数f(x)的原函数只有为奇函数，因为其他原函数与此原函数相差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)中被积函数都是偶函数，选项(D)中仅能确定为非负函数，故变上限积分不一定是偶函数．应选(A)．5、设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有()A、0个B、1个C、2个D、无穷多个标准答案：B知识点解析：令则F(x)在[a，b]上连续，而且故F(x)在(a，b)内有根．又所以F(x)单调递增，它在(a，b)内最多只有一个根．应选(B)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、定积分标准答案：知识点解析：因为x2sinx是奇函数，故在上的定积分为0．所以7、设f(x)连续，f(0)=1，则曲线在(0，0)处的切线方程是___________．标准答案：y=x知识点解析：曲线在(0，0)处的切线斜率所以曲线在(0，0)处的切线方程为y=x．8、设则标准答案：知识点解析：作定积分换元x+1=t，则9、标准答案：0知识点解析：被积函数是奇函数，在对称区间[一2，2]上积分为零．10、设f(x)为连续函数，且则F’(x)=____________．标准答案：知识点解析：由变限积分求导公式即知．11、标准答案：1知识点解析：12、设f(x)是连续函数，且则f(7)=____________．标准答案：知识点解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得f(x3-1)·3x2=1，令x=2，即得13、标准答案：ln3知识点解析：因是奇函数，因此所以三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)14、判别积分的敛散性．标准答案：而发散，所以发散．知识点解析：暂无解析15、计算标准答案：根据k的取值，分情况讨论：当k＞1时，即积分收敛；当k=1时，即积分发散；当k＜1时，即积分发散．知识点解析：暂无解析16、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析17、设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算曲线yln(1一x2)上相应于的一段弧的长度．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0且是常数．标准答案：r’(θ)=一asinθ，由对称性得知识点解析：暂无解析20、设求标准答案：当x＞1时，当0≤x≤1时，当x＜0时，因为f(x)在(一∞，1)内连续，所以在(一∞，1)内存在，因而在x=0处可导、连续，因此有即C2=一1+C3，C3=1+C2．又因x=1为f(x)的第一类间断点，所以在包含x=1的区间内f(x)的原函数不存在，故此处的C1和C2是两个相互独立的常数．知识点解析：暂无解析21、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算标准答案：方法一方法二令则所以知识点解析：暂无解析23、求标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：方法一因为x2+1一(x2+1)2一2x2=(x2++1)(x2一+1)，所以可令比较系数得方法二知识点解析：暂无解析25、求标准答案：方法一方法二于是所以知识点解析：暂无解析26、计算标准答案：令于是知识点解析：暂无解析27、求标准答案：方法一方法二用万能代换知识点解析：暂无解析28、求标准答案：方法一令则所以方法二知识点解析：暂无解析设曲线y=ax2(a≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．求29、D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；标准答案：由的交点为直线OA的方程为旋转体的体积知识点解析：暂无解析30、a的值，使V(a)为最大．标准答案：当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4；当0＜a＜4时，V’(a)＞0；当a＞4时，V’(a)＜0．故a=4为V(a)的唯一极大值点，为最大值点．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(χ)，g(χ)是连续函数，当χ→0时，f(χ)与g(χ)是等价无穷小，令F(χ)＝∫0χf(χ－t)dt，G(χ)＝∫χgχg(χt)dt，则当χ→0时，F(χ)是G(χ)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：D知识点解析：F(χ)＝∫0χf(χ－t)dt＝－∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝∫0χf(u)du，G(χ)＝∫01χg(χt)dt＝∫0χg(u)du，则＝1．故选D．2、设F(χ)＝∫χχ+2πesintsintdt，则F(χ)()．A、为正常数B、为负常数C、为零D、取值与χ有关标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)3、设f(sin2χ)＝，则＝_______．标准答案：arcsin2＋C知识点解析：4、f(lnχ)＝，则∫f(χ)dχ＝_______．标准答案：－－ln(1＋e－χ)＋C知识点解析：5、设∫χf(χ)dχ＝arcsinχ＋C，则＝_______．标准答案：知识点解析：6、设F(χ)为连续函数，且满足∫01f(χt)dt＝f(χ)＋χsinχ，则f(χ)＝_______．标准答案：cosχ－χsinχ＋C知识点解析：由∫01f(χt)dt＝f(χ)＋χsinχ，得∫01(χt)d(χt)＝χf(χ)＋χ2sinχ即∫0χf(t)dt＝χf(χ)＋χ2sinχ，两边求导得f′(χ)＝－2sinχ－χcosχ，积分得f(χ)＝cosχ－χsinχ＋C．7、求＝_______．标准答案：知识点解析：8、求＝_______．标准答案：知识点解析：9、求＝_______．标准答案：知识点解析：10、求＝_______．标准答案：＋arctan(sinχ)＋C知识点解析：11、求＝_______．标准答案：知识点解析：12、求：∫χarctandχ＝_______．标准答案：知识点解析：13、求arcsinχdχ＝_______．标准答案：知识点解析：14、求＝_______．标准答案：知识点解析：15、＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)16、设f(χ)＝，求∫01χ2f(χ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(χ)连续，且f(χ)＝2∫0χf(χ－t)dt＋eχ，求f(χ)．标准答案：∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)－(du)＝∫0χf(u)du，f(χ)＝2∫0χf(u)du＋eχ两边求导数得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，则f(χ)＝(∫eχ.e∫－2dχdχ＋C)e－∫－2dχ＝Ce2χ－eχ，因为f(0)＝1，所以C＝2，故f(χ)＝2e2χ－eχ．知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：因为(χ2eχ)′＝(χ2＋2χ)eχ，知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、设F(χ)为f(χ)的原函数，且当χ≥0时，f(χ)F(χ)＝，又F(0)＝1，F(χ)＞0，求f(χ)．标准答案：两边积分得F2(χ)＝，解得F2(χ)＝＋C，由F(0)＝1，F(χ)＞0，得F(χ)＝，于是f(χ)＝知识点解析：暂无解析26、设f′(lnχ)＝，求f(χ)．标准答案：令lnχ＝t，则f′(t)＝，当t≤0时，f(t)＝t＋C1；当t＞0时，f(t)＝et＋C2．显然f′(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1＝1＋C2，故f(χ)＝知识点解析：暂无解析27、∫-22(χ＋3χ＋4)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：令χ＝tant，则知识点解析：暂无解析29、标准答案：令f(χ)＝，当0≤χ≤1时，当1＜χ≤2时，知识点解析：暂无解析30、设f(χ)连续，∫0χtf(χ－t)dt＝1－cosχ，求f(χ)dχ．标准答案：由∫1χtf(χ－t)dt∫χ0(χ－u)f(u)(－du)＝∫0χ(χ－u)f(u)du＝χ∫0χfj(u)du－∫0χuf(u)du得χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du＝1－cosχ，两边求导得∫f(u)du＝sinχ，令χ＝得f(χ)dχ＝1．知识点解析：暂无解析31、设S(χ)＝∫0χ｜cost｜dt．(1)证明：当nπ≤χ＜(n＋1)π时，2n≤S(χ)＜2(n＋1)；(2)求．标准答案：(1)当nπ≤χ＜(n＋1)π时，(2)由nπ≤χ＜(n＋1)π，得根据迫敛定理得知识点解析：暂无解析32、设f(χ)在[0，＋∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：标准答案：对充分大的χ，存在自然数n，使得nT≤χ<(n＋1)T，因为f(χ)≥0，所以注意到当χ→＋∞时，n→＋∞，且知识点解析：暂无解析33、设f(χ)在[0，1]上连续，f(0)＝0，∫01f(χ)dχ＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ＝f(χ)dχ＝ξf(ξ)．标准答案：令φ(χ)＝因为f(χ)在[0，1]上连续，所以φ(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)＝0，φ(1)＝∫01f(χ)dχ＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(φ)＝，所以∫0ξf(χ)dχ＝ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第5套一、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、＝_______．标准答案：知识点解析：2、＝_______．标准答案：－χ3－χ＋arctanχ＋c知识点解析：3、设f(χ)＝χ＋∫0af(χ)dχ，a≠1，则∫0af(χ)dχ＝_______．标准答案：知识点解析：令A＝∫0af(χ)dχ，则f(χ)＝χ＋A，两边积分得A＝＋aA，解得A＝．二、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)4、计算定积分∫01χarcsinχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析5、计算定积分∫-aa(χ－a)．标准答案：知识点解析：暂无解析6、计算定积分(χ＋cosχ2)sinχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析7、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析9、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析10、设连续非负函数f(χ)满足f(χ)f(－χ)＝1，求标准答案：知识点解析：暂无解析11、计算定积分∫-12χe－｜χ｜dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析12、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算积分∫0πχln(sinχ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(χ)＝F(χ)＝∫0χf(t)dt∈[0，2])，则()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：当0≤χ≤1时，F(χ)＝；当1＜χ≤2时，故选B．2、下列广义积分发散的是()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、＝_______．标准答案：知识点解析：4、＝_______．标准答案：tan＋C知识点解析：5、＝_______．标准答案：χ－tan()＋C知识点解析：6、∫sin3χcosχdχ＝_______．标准答案：－cos4χ－cos2χ＋C知识点解析：因为sin3χcosχ＝(sin4χ＋sin2χ)，所以∫sin3χcosχdχ＝(∫sin4χdχ＋∫sin2χdχ)＝－cos4χ－cos2χ＋C．7、＝_______．标准答案：＋C知识点解析：8、＝_______．标准答案：＋C知识点解析：9、＝_______．标准答案：eχtan＋C知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)10、设f(χ2－1)＝，且f[φ(χ)]＝lnχ，求∫φ(χ)dχ．标准答案：由f(χ2－1)＝，得f(χ)＝ln再由f[φ(χ)＝ln＝lnχ，得φ(χ)＝，所以∫φ(χ)dχ＝＝χ＋2ln｜χ－1｜＋C．知识点解析：暂无解析11、设f(lnχ)＝求∫f(χ)dχ．标准答案：由C1＝1＋C2，取C2＝C得知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、∫χ2arctanχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析16、∫(arccosχ)2dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设χ≥－1，求∫-1χ(1－｜t｜)dt标准答案：当－1≤χ≤0时，∫-1χ(1－｜t｜)dt＝∫-1χ(1＋t)dt＝(1＋χ)2当χ＞0时，∫-1χ(1－｜t｜)dt＝∫-10(1＋t)dt＋∫0χ(1－t)dt＝1－(1－χ)2，因此知识点解析：暂无解析18、设f(χ)＝，求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、当χ≥0时，f(χ)＝χ，设g(χ)＝当χ≥0时，求∫0χf(t)g(χ－t)dt．标准答案：∫0χf(t)g(χ－t)dt∫χ0f(χ－u)g(u)(－du)＝∫0χf(χ－u)g(u)du，(1)当0≤χ≤时，∫0χf(t)g(χ－t)dt＝∫0χ(χ－u)sinudu＝χ－sinχ；(2)当χ＞时，∫0χf(t)g(χ－t)dt＝(χ－u)sinudu＝χ－1，于是∫0χf(t)g(χ－t)dt＝知识点解析：暂无解析20、φ(χ)＝∫sinχcos2χln(1＋t2)，求φ′(χ)．标准答案：φ′(χ)＝－2ln(1＋cos22χ)sin2χ～ln(1＋sin2χ)cosχ知识点解析：暂无解析21、设φ(χ)＝∫0χ(χ－t)2f(t)dt，求φ″′(χ)，其中f(χ)为连续函数．标准答案：φ(χ)＝χ2∫0χf(t)dt－2χ∫0χtf(t)dt＋∫0χt2f(t)dt，φ′(χ)＝2χ∫0χf(t)dt＋χ2f(χ)－2∫0χtf(t)dt－2χ2f(χ)＋χ2f(χ)＝2χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt，φ〞(χ)＝2∫0χf(t)dt＋2χf(χ)－2χf(χ)＝2∫0χf(t)dt，φ″′(χ)＝2f(χ)．知识点解析：暂无解析22、设φ(χ)＝∫abln(χ2＋t)dt，求φ′(χ)，其中a＞0，b＞0．标准答案：φ(χ)＝∫abln(χ2＋t)＝lnuduφ′(χ)＝2χln(χ2＋b)－2χln(χ2＋a)＝2χln．知识点解析：暂无解析23、设f(χ)连续，且F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt．证明：(1)若f(χ)是偶函数，则F(χ)为偶函数；(2)若f(χ)单调不增，则F(χ)单调不减．标准答案：(1)设f(－χ)＝f(χ)，因为F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt∫0χ(－χ＋2u)f(－u)(－du)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du＝F(χ)所以F(χ)为偶函数．(2)F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt＝χ∫0χf(t)dt＝2∫0χtf(t)dt，F′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]，其中ξ介于0与χ之间，当χ＜0时，χ≤ξ≤0，因为f(χ)单调不增，所以F′(χ)≥0，当χ≥0时，0≤ξ≤χ，因为f(χ)单调不增，所以F′(χ)≥0，从而F(χ)单调不减．知识点解析：暂无解析24、设f(χ)＝求∫02f(χ－1)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、∫0nπ｜cosχ｜dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析27、∫0nπχ｜cosχ｜dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析28、∫02π｜sinχ－cosχ｜dχ标准答案：知识点解析：暂无解析29、设f(χ)∈C[－π，π]，且f(χ)＝＋∫-ππf(χ)sinχdχ求f(χ)．标准答案：令∫-ππf(χ)sinχdχ＝A，则f(χ)＝＋A，于是f(χ)sinχ＝＋Asinχ，两边从－π到π积分得知识点解析：暂无解析30、设f(χ)＝∫1χdt，求∫01χ2f(χ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)=下述命题成立的是()A、f(x)在[一1，1]上存在原函数。B、令F(x)=∫－1xf(t)dt，则f’(0)存在。C、g(x)在[一1，1]上存在原函数。D、g’(0)存在。标准答案：C知识点解析：由=0=g(0)可知，g(x)在x=0处连续，所以g(x)在[一1，1]上存在原函数。故选C。以下说明选项A、B、D均不正确的原因：A项，=0可知，x=0是f(x)的跳跃间断点，所以在包含x=0的区间上f(x)不存在原函数。B项，由F－’(0)==1，可知F’(0)不存在。D项，由不存在，可知g’(0)不存在。2、设F(x)=∫xx＋2πesintsintdt，则F(x)()A、为正常数。B、为负常数。C、恒为零。D、不为常数。标准答案：A知识点解析：由分析可知，F(x)=F(0)，而F(0)=∫02πesintsintdt=一∫02πesintdcost=一esintcost｜02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0故选A。3、设f(x)=F(x)=∫－1xf(t)dt，则F(x)在x=0处()A、极限存在但不连续。B、连续但不可导。C、可导。D、可导性与a有关。标准答案：D知识点解析：当x≤0时，F(x)=∫－1xf(t)dt=ex一e－1；当x＞0时，F(x)=∫－10f(t)dt＋∫0xf(t)dt=1－e－1＋＋ax。因为=1一e－1=F(0)，所以F(x)在x=0处连续。而=a，即F(x)在x=0处的可导性与a有关。所以选D。4、设函数f(x)=若反常积分∫1＋∞f(x)dx收敛，则()A、α＜一2。B、α＞2。C、一2＜α＜0。D、0＜α＜2。标准答案：D知识点解析：根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为∫1＋∞f(x)dx=，其中当且仅当α一1＜1时才收敛；，当且仅当α＞0才收敛。从而仅当0＜α＜2时，反常积分∫1＋∞f(x)dx才收敛，故应选D。5、如图1-3—2，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf’(x)dx等于()A、曲边梯形ABOD面积。B、梯形ABOD面积。C、曲边三角形ACD面积。D、三角形ACD面积。标准答案：C知识点解析：因为∫0axf’(x)dx=∫0axf(x)=xf(x)｜0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x)dx，其中af(a)是矩形ABOC的面积，∫0af(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以∫0axf’(x)dx为曲边三角形ACD的面积。6、半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1。若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：如图1—3—7所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相应的小横条所受压力微元dP=ρ．x．2ydx=2xdx，于是闸门所受压力P=∫0R2xdx。故选C。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)7、=_________。标准答案：4ln｜x｜+2ln｜x一1｜++C知识点解析：所以计算可得A=4，B=2，C=一1。8、=_________。标准答案：+C知识点解析：9、当a＞0时，=________。标准答案：知识点解析：令x=asint，则10、=__________。标准答案：知识点解析：令x一1=sint，则11、=_________。标准答案：知识点解析：12、∫01=__________。标准答案：知识点解析：令x=sint，则13、设函数f(x)=且λ＞0，则∫－∞＋∞xf(x)dx=________。标准答案：知识点解析：已知x≤0时，函数f(x)值恒为0，因此可得∫－∞＋∞xf(x)dx=∫0＋∞λxe－λxdx=－∫0＋∞xd(e－λx)=－x－λx｜0＋∞＋∫0＋∞e－λxdx=。14、在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取________时，A=A1+A2取最小值。标准答案：知识点解析：如图1—3—9所示，A1=∫0t(t2一x2)dx，A2=∫t1(x2一t2)dx，A(t)=A1(t)+A2(t)=2∫0t(t2一x2)dx+∫01(x2一t2)dx=(0＜t＜1)，A’(t)=2t(2t一1)所以，当t=时，A=A1+A2取最小值。15、曲线y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧长s=________。标准答案：ln(1+)知识点解析：三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)16、求。标准答案：原式知识点解析：暂无解析17、证明I=sinx2dx＞0。标准答案：令x2=t，则I==I1+I2。对于I2，令t=s+π，则I2=，于是I=I1+I2=。上述积分中被积函数f(t)==0，若补充定义f(0)=0，则f(t)在[0，π]上连续，且f(t)＞0。根据定积分的性质可得I＞0。知识点解析：暂无解析18、计算∫01。标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx。标准答案：由题意∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x一1)=(x一1)f(x)｜01一∫01(x一1)f’(x)dx=f(0)一∫01(x一1)f’(x)dx=一∫01(x一1)arcsin(x一1)2dx=∫01arcsin(x一1)2d(x一1)2，令(x一1)2=t，则上式可化为知识点解析：暂无解析计算下列反常积分(广义积分)。20、∫3＋∞；标准答案：由于x2一2x=(x一1)2—1，因此为去掉被积函数中的根号，可令x一1=sect则有知识点解析：暂无解析21、∫0＋∞dx。标准答案：采用分解法与分部积分法，由于，故可将被积函数分解，并用分部积分法有知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。标准答案：由已知∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x－a)=[(x一a)f(x)]｜0a一∫0a(x一a)f’(x)dx=af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx。因为f’(x)连续，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则m(a一x)≤(a一x)f’(x)≤M(a一x)，故≤∫0a(a一x)f’(x)dx≤，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0a(a－x)f’(x)dx=f’(x)，于是∫0af(x)dx=af(0)＋f’(ξ)。知识点解析：暂无解析23、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。标准答案：令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫axF(t)dt，由题设G(x)≥0，x∈[a，b]，且G(a)=G(b)=0，G’(x)=F(x)。从而∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)｜ab一∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx。由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有－∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。因此可得∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。知识点解析：暂无解析24、设f(x)=，证明曲线y=f(x)在区间(ln2，+∞)上与x轴围成的区域有面积存在，并求此面积。标准答案：考虑广义积分I=的收敛性。因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在。取变换ex=sect，则x=ln(sect)，exdx=secttantdt，知识点解析：暂无解析25、设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求(I)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；(Ⅱ)a的值，使V(a)为最大。标准答案：由题意知y=ax2与y=1一x2的交点为1060，直线OA的方程为V=x。(I)旋转体的体积V(a)=。(Ⅱ)。当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V’(a)＞0；当a＞4时，V’(a)＜0。故a=4为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。知识点解析：暂无解析26、一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度b时(如图1—3—4)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)标准答案：如图1—3—11，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为=1。图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。记S1为下半椭圆面积，则S1=πab，记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则S2=，记y=bsint，则dy=bcostdt，则因此可知油的质量为知识点解析：暂无解析27、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图1—3—5所示)。已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：①1N×1m=1J，m，N，s，J分别表示米，牛，秒，焦。②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)标准答案：作x轴如图1—3—12所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包括抓斗的自重400N，缆绳的重力50(30一x)N，污泥的重力2000一x．20(N)，即f(x)=400+50(30一x)+2000一，于是W=∫030(3900一x)dx=3900x－x2｜030=91500(J)。知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh标准答案：A知识点解析：取[χ，χ＋dχ][0，h]，dF＝ρg×χ×a×dχ＝ρgaχdχ，则F＝ρg∫0haχdχ＝ρg∫0hahdh，选A．2、在曲线y＝(χ－1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕χ轴旋转一周所成的几何体的体积为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：过曲线y＝(χ－1)2上点(2，1)的法线方程为y＝－χ＋2，该法线与χ轴的交点为(4，0)，则由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域D绕χ轴旋转一周所得的几何体的体积为V＝，选D．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、＝_______．标准答案：知识点解析：4、＝_______．标准答案：1知识点解析：5、＝_______．标准答案：知识点解析：6、设f(χ)连续，则χf(χ－t)dt＝_______．标准答案：∫0χf(u)du＋χf(χ)知识点解析：∫0χχf(χ－t)dt＝－χ∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－χ∫0χf(u)du＝χ∫0χf(u)du，则＝∫0χf(u)du＋χf(χ)．7、曲线y＝χ4(χ≥0)与χ轴围成的区域面积为_______．标准答案：知识点解析：8、＝_______．标准答案：知识点解析：9、∫01χarctanχdχ＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)10、求曲线y＝与χ轴围成的区域绕χ轴、y轴形成的几何体体积．标准答案：Vχ＝取[χ，χ＋dχ][0，]，dVy＝2πχcosχdχ，故知识点解析：暂无解析11、求曲线y＝χ2－2χ、y＝0、χ＝1、χ＝3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．标准答案：区域面积为知识点解析：暂无解析12、设L：y＝e－χ(χ≥0)．(1)求由y＝e-χ、χ轴、y轴及χ＝a(a＞0)所围成平面区域绕χ轴一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设V(c)＝V(a)，求c．标准答案：(1)V(a)＝π∫0ae－2χdχ＝(1－e－2a)．(2)解得c＝ln2．知识点解析：暂无解析13、设y＝f(χ)为区间[0，1]上的非负连续函数．(1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(χ)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设f(χ)在(0，1)内可导，且f′(χ)＞－，证明(1)中的c是唯一的．标准答案：(1)S1(c)＝cf(c)，S2(c)＝∫c1f(t)dt－∫1cf(t)dt即证明S1(c)＝S2(c)或cf(c)＋∫c1f(t)dt＝0．令φ(χ)＝χ∫1χf(t)dt，φ(0)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ′(c)＝0，即cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0，所以S1(c)＝S2(c)，命题得证．(2)令h(χ)＝χf(χ)－∫χ1f(t)dt，因为h′(χ)＝2f(χ)＋f′(χ)＞0，所以h(χ)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．知识点解析：暂无解析14、求圆χ2＋y2＝2y内位于抛物线y＝χ2上方部分的面积．标准答案：由所围成的面积为知识点解析：暂无解析15、求双纽线(χ2＋y2)2＝a2(χ2－y2)所围成的面积．标准答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的4倍，令则双纽线的极坐标形式为r＝acos2θ(0≤θ≤)，第一卦限的面积为所求面积为A＝4A1＝a2．知识点解析：暂无解析16、抛物线y2＝2χ把圆χ2＋y2＝8分成两个部分，求左右两个部分的面积之比．标准答案：设左边的面积为S1，右边的面积为S2，知识点解析：暂无解析17、设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于35轴和Y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B有相等的面积，设C的方程是y＝χ2，C1的方程是y＝χ2，求曲线C2的方程．标准答案：由题设C：y＝χ2，C1：y＝χ2，令C2：χ＝(y)，P点坐标为(χ，y)，则所以，因为P∈C，所以有∫0yf(y)dy＝，即，两边对χ求导，得2χ.f(χ3)＝χ2，即f(χ2)＝χ．从而C2的方程为χ＝f(y)＝，即y＝χ2．知识点解析：暂无解析18、设曲线y＝a＋χ－χ3，其中a＜0．当χ＞0时，该曲线在χ轴下方与y轴、χ轴所围成图形的面积和在χ轴上方与χ轴所围成图形的面积相等，求a．标准答案：设曲线y＝a＋χ－χ3与χ轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得－∫0α(a＋χ－χ3)dχ＝∫αβ(a＋χ－χ3)dχ，移项得∫0α(a＋χ－χ3)dχ＋∫αβ(a＋χ－χ3)dχ＝∫0β(a＋χ－χ3)dχ－0β(4a＋2β－β3)＝0，因为β＞0，所以4α＋2β－β3＝0．又因为(β，0)为曲线y＝a＋χ－χ3与χ轴的交点，所以有a＋β－β3＝0，从而有β＝－3aa－3a＋27a3＝0a＝－．知识点解析：暂无解析19、曲线y＝(χ－1)(χ－2)和χ轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．标准答案：取[χ，χ＋dχ][1，2]，dv＝2πχ｜(χ－1)(χ－2)｜dχ＝－2πχ(χ－1)(χ－2)dχ，V＝∫12dv＝－2π∫12(χ3－3χ2＋2χ)dχ＝．知识点解析：暂无解析20、设平面图形D由χ2＋y2≤2χ与y≥χ围成，求图形D绕直线χ＝2旋转一周所成的旋转体的体积．标准答案：取[χ，χ＋dχ][0，1]，则dv＝2π(2－χ)(－χ)dχ，知识点解析：暂无解析21、求曲线y＝3－｜χ2－1｜与χ轴围成的封闭图形绕y＝3旋转所得的旋转体的体积．标准答案：取[χ，χ＋dχ][0，1]，dv1＝π[32－(χ2－1)2]dχ＝π(8＋2χ2－χ4)dχ，V1＝∫01dv1＝π∫01(8＋2χ2－χ4)dχ，[χ，χ＋dχ][1，2]，dv2＝π[32－(1－χ2)2]dχ＝π(8＋2χ2－χ4)dχ，V2＝∫12dv2＝π∫12(8＋2χ2－χ4)dχ，则所求体积为V＝2(V1＋V2)＝2π∫02(8＋2χ2－χ4)dχ＝．知识点解析：暂无解析22、求由曲线y＝4－χ与χ轴围成的部分绕直线χ＝3旋转一周所成的几何体的体积．标准答案：取[y，y＋dy][0，4]，则知识点解析：暂无解析23、曲线y＝χ2(χ≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与χ轴所围成的面积为，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕χ轴旋转一周所成立体的体积．标准答案：设切点坐标为(a，a2)(a＞0)，则切线方程为y－a2＝2a(χ－a)．即y＝2aχ－a2．由题意得S＝，解得a＝1，则切线方程为y＝2χ－1，旋转体的体积为V＝．知识点解析：暂无解析24、求摆线L：(a＞0)的第一拱绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设曲线＝1(0＜a＜4)与χ轴、y轴所围成的图形绕z轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)＋V2(a)最大，并求最大值．标准答案：曲线与χ轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b＝4－a．曲线可化为y＝，对任意的[χ，χ＋dχ][0，a]，dV2＝2πχ.ydχ＝2πχ.dχ．于是V2＝，根据对称性，有V1＝ab2．于是V(a)＝V1(a)＋V2(a)＝(4－a)．令V′(a)＝(4－2a)＝0a＝2，又V〞(2)＜0，所以a＝2时，两体积之和最大，且最大值为V(2)＝π．知识点解析：暂无解析26、设一抛物线y＝aχ2＋bχ＋c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与χ轴所围图形的面积最小．标准答案：因为曲线过原点，所以c＝0，又曲线过点(1，2)，所以a＋b＝2，b＝2－a．因为a＜0，所以b＞0，抛物线与z轴的两个交点为0，－，所以令S′(a)＝0，得a＝－4，从而b＝6，所以当a＝－4，b＝6，c＝0时，抛物线与χ轴所围成的面积最小．知识点解析：暂无解析27、设直线y＝kχ与曲线y＝所围平面图形为D1，它们与直线χ＝1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕χ轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求此时的D1＋D2．标准答案：(1)由方程组得直线与曲线交点为k≥1．因为V〞(k)＞0，所以函数V(k)当k＝时取最小值，且最小值为．(2)因为S(k)＝，所以此时S＝知识点解析：暂无解析28、求摆线(0≤t≤2π)的长度．标准答案：知识点解析：暂无解析29、设曲线y＝，过原点作切线，求此曲线、切线及χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所成的旋转体的表面积．标准答案：设切点为(a，)，则过原点的切线方程为y＝，将(a，)代入切线方程，得a＝2，＝1，故切线方程为y＝χ，由曲线y＝在区间[1，2]上的一段绕χ轴一周所得旋转面的面积为切线y＝χ在区间[0，2]上一段绕χ轴一周所得旋转曲面面积为所求旋转曲面的表面积为S＝S1＋S2＝．知识点解析：暂无解析30、一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．标准答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，χ轴铅直向下，取[χ，χ＋dχ][0，2R]，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，dw＝(2R－χ)×π[R2－(R－χ)2]×1×gdχ－πχ(2R－χ)2gdχ，W＝知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设，则()A、I1＞I1＞。B、I1＞＞I2。C、I2＞I1＞。D、I2＞＞I1。标准答案：B知识点解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有，从而可见有I1＞I2，又由，I2＜知，故选B。2、设f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，则()A、f(x)=f(x+2π)。B、f(x)＞f(x+2π)。C、f(x)＜f(x+2π)。D、当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。标准答案：A知识点解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost—e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。故选A。3、设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是()A、∫0xtf(t)一f(一t)dtB、∫0xtf(t)+f(一t)dt。C、∫0xf(t2)dt。D、∫0x[f(t)]2dt。标准答案：B知识点解析：取f(x)=x，则相应的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均为奇函数，故选B。4、曲线y=e—x