2023九年级数学上册 第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程第2课时 一元二次方程的根及近似解教案 （新版）北师大版

2023九年级数学上册第二章一元二次方程1认识一元二次方程第2课时一元二次方程的根及近似解教案（新版）北师大版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容是北师大版2023九年级数学上册第二章第一课时“一元二次方程的根及近似解”。具体内容包括：

1.让学生掌握一元二次方程的根的判别式，理解其含义及应用。

2.引导学生掌握一元二次方程的求根公式，并能灵活运用求解一元二次方程。

3.让学生了解近似解的概念，学习用近似解法求解一元二次方程。

4.通过实例分析，让学生学会判断一元二次方程有无实数根、有无实数近似解，并会选择合适的方法求解。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生需要掌握实数的性质，如平方根、算术平方根等。

2.学生应具备代数式的运算能力，如合并同类项、分解因式等。

3.学生需了解实验操作的基本方法，如观察、实验、分析等。

4.学生应具备一定的解决问题的能力，能在实际问题中运用一元二次方程的根及近似解。二、核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养，主要包括：

1.逻辑推理：使学生能够通过观察、实验、分析等方法，推理出一元二次方程的根的判别式的含义及应用，理解一元二次方程的求根公式，并能够运用近似解法求解实际问题。

2.数学建模：培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力，学会从实际问题中建立数学模型，并通过计算得到合理的解答。

3.直观想象：通过图示、实例等方式，帮助学生直观地理解一元二次方程的根的判别式、求根公式及近似解法，提高学生对数学概念的理解。

4.数据分析：使学生能够运用数据分析的方法，判断一元二次方程有无实数根、有无实数近似解，并选择合适的方法求解。三、学习者分析1.学生已经掌握了的相关知识：

学生在之前的学习中，已经掌握了实数的性质，如平方根、算术平方根等；具备代数式的运算能力，如合并同类项、分解因式等；同时，学生也有一定的解决问题的能力，能在实际问题中运用一元二次方程。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级的学生对数学有着较为浓厚的兴趣，尤其是在解决实际问题时，他们表现出较强的学习动力。在学习能力方面，学生已经具备一定的逻辑推理、数学建模、直观想象和数据分析的能力。在学习风格上，学生偏好通过实例、图示等方式直观地理解数学概念，喜欢通过合作交流来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习一元二次方程的根及近似解时，学生可能对判别式的含义及应用、求根公式的记忆和运用、近似解法的操作等方面感到困惑。特别是在理解一元二次方程有无实数根、有无实数近似解的判断方法，以及选择合适的方法求解实际问题时，学生可能会遇到一定的困难。此外，如何将实际问题转化为数学模型，以及如何在复杂情境中运用一元二次方程的根及近似解，也是学生需要克服的挑战。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《2023九年级数学上册第二章一元二次方程1认识一元二次方程第2课时一元二次方程的根及近似解教案（新版）北师大版》的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的一系列图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些有关一元二次方程实际应用的案例图片，以及展示一元二次方程求根过程的动画或视频。此外，还可以准备一些有关判别式、求根公式和近似解法的图示或示意图，以便在教学过程中进行直观展示和解释。

3.实验器材：如果本节课涉及实验操作，需要提前准备实验所需的器材，并确保其完整性和安全性。例如，可以准备一些实际问题情境的实验材料，如物理实验器材、几何模型等，让学生通过实验操作来更好地理解和应用一元二次方程的根及近似解。

4.教室布置：根据教学需要，对教室环境进行布置。可以设置分组讨论区，供学生进行小组讨论和合作交流；设置实验操作台，供学生进行实验操作和观察。此外，还可以在教室内布置一些与本节课相关的问题情境或实际应用案例，以激发学生的学习兴趣和思考。

除了以上教学资源，还可以考虑利用网络资源，如在线数学教育平台、数学学习网站等，为学生提供更多学习资料和练习题库，以便学生能够在课后进行自主学习和巩固知识。同时，鼓励学生利用数学软件或计算器等工具，进行一元二次方程的求解和实验操作，提高他们的实践能力和解决问题的能力。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，如PPT、视频、文档等，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“一元二次方程的根及近似解”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解一元二次方程的根及近似解的知识点。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出一元二次方程的根及近似解课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解一元二次方程的根的判别式、求根公式和近似解法，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、实验等活动，让学生在实践中掌握一元二次方程的根及近似解技能。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、实验等活动，体验一元二次方程的根及近似解的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解一元二次方程的根及近似解的知识点。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握一元二次方程的根及近似解技能。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解一元二次方程的根及近似解的知识点，掌握相关技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与一元二次方程的根及近似解相关的拓展资源，如书籍、网站、视频等，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的关于一元二次方程的根及近似解的知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。六、知识点梳理本节课的主要教学内容是北师大版2023九年级数学上册第二章第一课时“一元二次方程的根及近似解”。以下是本节课需要掌握的知识点：

1.一元二次方程的根的判别式：

-了解一元二次方程的根的判别式的定义和表达式。

-掌握如何利用判别式判断一元二次方程的根的情况，包括判断有无实数根、有无实数近似根。

2.一元二次方程的求根公式：

-掌握一元二次方程的求根公式的推导过程。

-能够运用求根公式求解一元二次方程，并理解其应用范围和限制。

3.一元二次方程的近似解法：

-了解近似解法的概念和原理。

-掌握利用近似解法求解一元二次方程的方法，并能够判断近似解的准确性。

4.一元二次方程的实际应用：

-能够将一元二次方程应用于实际问题中，建立数学模型，并通过计算得到合理的解答。

5.一元二次方程的根与系数的关系：

-掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够根据根的情况判断方程的系数。

6.一元二次方程的图像解析：

-了解一元二次方程的图像特点，包括开口方向、对称轴、顶点等。

-能够通过观察图像来判断一元二次方程的根的情况。七、典型例题讲解1.例题1：求解一元二次方程的根

已知方程：x^2-4x+3=0

（1）求解方程的根。

（2）判断方程的根的情况，有无实数根、有无实数近似根。

解：

（1）利用求根公式：

x=(4±√(4^2-4*1*3))/(2*1)

x=(4±√(16-12))/2

x=(4±√4)/2

x=(4±2)/2

x=2±1

所以，方程的根为x1=2,x2=1。

（2）判别式：Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4*1*3=16-12=4

因为Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根。

答案：方程的根为x1=2,x2=1，有两个不相等的实数根。

2.例题2：求解一元二次方程的近似解

已知方程：x^2-5x+6=0

（1）求解方程的近似根。

（2）判断方程的根的情况，有无实数根、有无实数近似根。

解：

（1）利用求根公式：

x=(5±√(5^2-4*1*6))/(2*1)

x=(5±√(25-24))/2

x=(5±√1)/2

x=(5±1)/2

所以，方程的近似根为x1≈2.5,x2≈1.5。

（2）判别式：Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4*1*6=25-24=1

因为Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根。

答案：方程的近似根为x1≈2.5,x2≈1.5，有两个不相等的实数根。

3.例题3：应用一元二次方程解决实际问题

某商品的进价为每件80元，销售价为每件100元。若销售10件，则总利润为300元。求销售量与总利润之间的关系。

解：

设销售量为x件，总利润为y元。

根据题意，销售价为100元，进价为80元，所以每件商品的利润为100-80=20元。

销售10件的总利润为300元，所以有：

10*20=y

200=y

又因为销售量与总利润之间的关系为：

y=20x-8000

将y=200代入上式，得到：

200=20x-8000

解得：

x=(200+8000)/20

x=8200/20

x=410

所以，销售量与总利润之间的关系为：当销售量大于410件时，总利润将增加。

答案：销售量与总利润之间的关系为：当销售量大于410件时，总利润将增加。

4.例题4：求解一元二次方程的根与系数的关系

已知方程：x^2-4x+3=0

（1）求解方程的根与系数的关系。

解：

根据一元二次方程的根与系数的关系，有：

x1+x2=4

x1*x2=3

将方程的根代入上式，得到：

2+1=4

2*1=3

解得：

x1=2,x2=1

答案：方程的根与系数的关系为：x1+x2=4,x1*x2=3。

5.例题5：求解一元二次方程的图像解析

已知方程：x^2-5x+6=0

（1）求解方程的图像解析。

解：

根据一元二次方程的图像特点，有：

开口向上，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(h,k)。

其中，h=-b/2a，k=f(h)=4h-6。

将方程的系数代入上式，得到：

h=-(-5)/2*1=2.5

k=4*2.5-6=-0.5

所以，方程的图像解析为：开口向上，对称轴为x=2.5，顶点坐标为(2.5,-0.5)。

答案：方程的图像解析为：开口向上，对称轴为x=2.5，顶点坐标为(2.5,-0.5)。八、内容逻辑关系1.知识点之间的逻辑关系

-一元二次方程的根的判别式与求根公式之间的关系：判别式用于判断方程的根的情况，而求根公式用于求解方程的具体根。

-一元二次方程的根与系数之间的关系：方程的根与系数之间存在特定的关系，即根的和等于系数的相反数除以系数的和，根的积等于常数项。

-一元二次方程的图像解析与根的关系：方程的图像解析可以帮助我们更好地理解方程的根的情况，反之，方程的根也可以帮助我们更好地理解方程的图像解析。

2.词之间的逻辑关系

-“判别式”与“求根公式”：判别式用于判断方程的根的情况，而求根公式用于求解方程的具体根。

-“根与系数”：方程的根与系数之间存在特定的关系，即根的和等于系数的相反数除以系数的和，根的积等于常数项。

-“图像解析”与“根”：方程的图像解析可以帮助我们更好地理解方程的根的情况，反之，方程的根也可以帮助我们更好地理解方程的图像解析。

3.句之间的逻辑关系

-“一元二次方程的根的判别式用于判断方程的根的情况，而求根公式用于求解方程的具体根。”这句话说明了判别式和求根公式之间的关系。

-“方程的根与系数之间存在特定的关系，即根的和等于系数的相反数除以系数的和，根的积等于常数项。”这句话说明了根与系数之间的关系。

-“方程的图像解析可以帮助我们更好地理解方程的根的情况，反之，方程的根也可以帮助我们更好地理解方程的图像解析。”这句话说明了图像解析与根之间的关系。

板书设计：

1.一元二次方程的根的判别式与求根公式之间的关系：

判别式：Δ=b^2-4ac

求根公式：x=(b±√Δ)/(2a)

2.一元二次方程的根与系数之间的关系：

根的和：x1+x2=-b/a

根的积：x1*x2=c/a

3.一元二次方程的图像解析与根的关系：

图像解析：开口方向、对称轴、顶点

根的情况：实数根、近似根作业布置与反馈-请学生利用所学知识，求解以下一元二次方程的根及近似根：

-方程1：x^2-5x+6=0

-方程2：x^2-7x+8=0

-请学生利用一元二次方程的根与系数的关系，求解以下方程的根与系数的关系：

-方程3：x^2-4x+3=0

-方程4：x^2-6x+5=0

-请学生利用一元二次方程的图像解析，求解以下方程的图像解析：

-方程5：x^2-5x+6=0

-方程6：x^2-7x+8=0

2.作业反馈：

-对于方程求根的作业，及时批改并反馈，指出学生在解方程过程中的错误，如判别式的计算错误、求根公式的应用错误等，并给出改进建议。

-对于方程根与系数关系的作业，及时批改并反馈，指出学生在理解和应用根与系数关系时的错误，如错误的根的求解、错误的系数的关系应用等，并给出改进建议。

-对于方程图像解析的作业，及时批改并反馈，指出学生在理解和应用图像解析时的错误，如错误的图像开口方向判断、错误的图像对称轴和顶点计算等，并给出改进建议。

-对于学生的作业，及时批改并反馈，指出学生在理解和应用一元二次方程的根及近似解时