第10讲圆锥曲线中的离心率问题

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）第10讲圆锥曲线中的离心率问题【学习目标】1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题.离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现。关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种方法：利用圆锥曲线的定义解决；利用题中的几何关系来解决问题。另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．1.（2023·全国·高二专题练习）方程表示的曲线是（

）A．焦点为点与，离心率为的椭圆B．焦点为点与，离心率为的椭圆C．焦点为点与，离心率为的椭圆D．焦点为点与，离心率为的椭圆【答案】A【分析】由方程判断曲线为椭圆，再确定椭圆的焦点位置，再确定长半轴和短半轴，半焦距的大小，由此可得焦点坐标，离心率，并判断结论.【详解】方程表示的曲线为焦点在轴上，中心为原点的椭圆，设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，所以其焦点坐标为与，离心率为故选：A.2．（2023·全国·高二专题练习）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的方程以及离心率的概念计算求解.【详解】因为双曲线，所以，，所以，的离心率，故B，C，D错误.故选：A.3．（2023秋·高二课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】依题意可得，即可得到，从而求出离心率.【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，所以离心率.故选：A4．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：，又；故选：A.5．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率.【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，所以双曲线离心率.故选：D题型一考查离心率的几何意义例1（2023秋·高二课时练习）如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故，根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故，综上，故选：C.【对点演练1】（2022秋·河南平顶山·高二统考期末）设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（

）A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大【答案】C【分析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误；对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确；对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误.故选：C.【对点演练2】（2022秋·北京·高三校考阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程（异于两点）向长轴引垂线，垂足为，记，则（

）A．方程表示的椭圆的焦点落在轴上B．C．的值与点在椭圆上的位置有关D．M越来越小，椭圆越来越扁【答案】D【分析】分和两种情况，即可判断A；设，不妨设椭圆的长轴在轴上，分别求出，即可判断C；根据表示得意义结合离心率公式即可判断B；根据离心率与椭圆扁平程度得关系即可判断D.【详解】解：对于A，由题得，当时，，所以椭圆的焦点在轴上；当时，，所以椭圆的焦点在轴上，故A错误；对于C，设，不妨设椭圆的长轴在轴上，则，，所以（常数），所以的值与点在椭圆上的位置无关，故C错误；对于B，由方程方得，所以是椭圆的短轴长与长轴长的比值的平方，即，所以离心率，同理可得椭圆的长轴在轴上时结论一致，所以，故B错误；对于D，M越来越小，椭圆的离心率越大，椭圆越来越扁，故D正确.故选：D.题型二求圆锥曲线的离心率例2（2018年新课标Ⅱ卷11题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】【解析】设椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为.因为，，，所以，设为椭圆右焦点，为椭圆左焦点，则，所以，所以.故选D.【思维升华】一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义（主要使用椭圆和双曲线的第一定义）去考虑，会更简单！【对点演练1】（2023.广东高三一模）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．解析依题意画图，设双曲线右顶点为，由知点为线段的中点.因为，所以.设双曲线的右焦点为，连接，由点为的中点，点为的中点，得为的中位线，所以，故.在中，，则，，由双曲线定义知，即，所以.【对点演练2】（2023秋·山东临沂·高三校考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是______.【答案】3【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率【详解】设的内切圆在边上的切点分别为，则，又由，可得，则，则，又，则，即，由，可得，即，则双曲线的离心率，故答案为：3例2（1）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考期末）已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得值，然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率解决即可．【解答】因为三个数，，成等比数列，所以，则．当时，曲线方程为，表示椭圆，则长半轴长为，半焦距为，所以离心率为；当时，曲线方程为，表示双曲线，则实半轴长为，半焦距为，所以离心率为．故选：D（2）（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（

）A． B．2C． D．【答案】D【分析】首先写出直线点斜式方程并求出点，由向量线性运算的坐标表示可以求出，将其代入双曲线方程即可求解.【详解】由题意知直线的方程为，令，得，所以．又因为，不妨设，所以有，解得，所以，将其代入双曲线方程，化简得，解得或（舍去），所以的离心率．故选：D.【对点演练1】（2023秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由题可以算出圆心到双曲线其中一条渐近线的距离，设出渐近线方程再结合点到直线之间的距离公式即可列出方程解出，进一步即可求出离心率.【详解】一方面：设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为,圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，又根据题意有，因此根据垂径定理可得，另一方面：不妨设渐近线方程为（其中），又圆的圆心坐标为圆，因此根据点到直线之间的距离公式有圆.结合以上两方面有，解得，又，所以双曲线的离心率为.故选：B.【对点演练2】（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即：，所以，即.故选：D.题型三求圆锥曲线离心率的取值范围例3（1）（2023·甘肃兰州·高三期末）已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出和，再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.【详解】因点P在椭圆上，则，又，于是得，，而，当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”，即，解得，所以，椭圆的离心率取值范围是.故选：D.（2）（2023·全国·高三专题练习）若双曲线的离心率为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案.【详解】，由于，所以，所以，故选：C【对点演练1】（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可知，，依题可知，只需，而函数在上单调递减，所以最大时，最小．由椭圆的对称性可知，当是短轴的端点时，最大，不妨设，则，所以，即，即，故，即.因为，所以.故选：B【对点演练2】设a＞1，则双曲线x2a2－y2(a+1)2A.（2，2）B.（2，5）C.（2，5） D.（2，5）【答案】B【解析】e＝(a+1)2+a2a＝1a2+2a+2＝1a+12+1，因为a＞1，有0＜1a＜1，【对点演练3】已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若｜AF｜＋｜BF｜＝4，点M到直线l的距离不小于45A.0,32 B.0,34C.3【答案】A【解析】设左焦点为F1，连接AF1，BF1（图略），则四边形BF1AF是平行四边形，故｜AF1｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF1｜＝4＝2a，所以a＝2，设M（0，b），M到直线l的距离不小于45，得4b5≥45，故b≥1，即a2－c2≥1，0＜c2≤3，所以0＜e≤3题型四已知离心率求值例4（2022秋·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】讨论、，结合离心率求出对应焦距.【详解】若，则，解得，则，所以焦距是；若，则，解得，则，所以焦距是.故选：A【对点演练1】的离心率为，则该椭圆的长轴长为（

）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8【答案】D【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.【详解】因为椭圆的离心率为，易知，当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，得，满足题意，此时，所以椭圆的长轴长为.综上，该椭圆的长轴长为4或8.故选：D.【对点演练2】（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知双曲线：（，）的离心率为2，则渐近线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据离心率可表示出，从而可求出渐近线方程【详解】曲线：（，）的渐近线方程为，因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以，所以渐近线方程为，故选：D题型五已知离心率求范围例5（2023·全国·高二专题练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，，又,，，，，则，即线段的长度的取值范围是，故选：C【对点演练1】（2022·全国·高一专题练习）双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】由题意有，，则，解得：．故选：C.【对点演练2】（2023·河南濮阳·统考二模）已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出再根据(点为坐标原点)的面积为2，即得，解不等式即得解.【详解】解：取双曲线的渐近线为，即的方程为，直线的方程为，联立，解得，即，又解得的取值范围为故选：D.题型六同离心率的圆锥曲线例6（2023秋·高二课时练习）国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（

）cmA．30 B．10 C．20 D．【答案】C【分析】大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，据此即可求解．【详解】在大椭圆中，，，则，．∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，，结合，得，∴小椭圆的长轴长为20．故选：C【对点演练1】（2023·四川·校联考模拟预测）设椭圆，的离心率分别为，，若，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据离心率的关系列方程，从而求得.【详解】对于椭圆，有.因为，所以，解得．故选：B【对点演练2】（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A【对点演练3】已知双曲线C1：=1，双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【详解】双曲线的离心率为，设，双曲线一条渐近线方程为，可得，即有，由的面积为，可得，即，又，且，解得，既有双曲线的实轴长为，故选C.题型七椭圆与双曲线离心率的关系例7（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据离心率的公式即可代入求解值.【详解】由，得，当时，有，得，当时，有，得，故的所有可能取值的乘积为，故选：C【对点演练1】（2022·全国·高一专题练习）已知椭圆和双曲线的离心率之积为，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆与双曲线的方程，求出离心率，，即可得，即可求得的值，即可求得渐近线方程，结合直线的斜率与倾斜角关系，即可求解．【详解】解：设椭圆的离心率为，则，双曲线的离心率为，则，椭圆和双曲线的离心率之积为1，，解得，双曲线的两条渐近线分别为或，双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为或．故选：D．例8（2023秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解.【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，是以线段为底边的等腰三角形，且，所以设（），因为椭圆的离心率，即，解得：，由于点在第一象限，所以双曲线的离心率，因为，则，即，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：D.【对点演练1】设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.【详解】设椭圆的标准方程为，，则有已知，两式相减得，即，，因为，解得故选：A.【对点演练2】已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，则，双曲线的半实轴长为，则，又双曲线的离心率的取值范围为，所以，所以，所以，即该椭圆的焦距的取值范围是.故选：B.1．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）椭圆的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据椭圆的标准方程求出a，b，c，运用离心率的定义求解.【详解】由椭圆方程：得：；故选：A.2．（2023秋·广东湛江·高三廉江市廉江中学校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意求得，然后由公式可得.【详解】由题意得，，所以，．故选：D．3．（2023春·海南·高二统考学业考试）已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据焦距求出的范围，然后离心率的公式可得答案.【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为．因为，所以，，则，解得，此时，所以．故选：C.4．（2020秋·广东清远·高二校考期末）已知F1，F2是椭圆CP为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为10，则椭圆C的离心率e为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：，由椭圆的定义得△PF1F2的周长为：，解得：，所以离心率.故选：C.5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率，则的值为（

）A．3 B．或C． D．3或【答案】D【分析】根据题意讨论焦点所在位置，分析运算即可.【详解】当焦点在轴上，即时，则，可得，解得；同理当焦点在轴，即时，则，可得，解得；故选：D.6.（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）设双曲线，的离心率分别为，，若，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】分别求得双曲线的离心率，结合，列出方程，即可求解.【详解】由双曲线，可得其离心率为，又由双曲线，可得其离心率为，因为，可得，解得.故选：A.7．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据确定点的横坐标满足的关系式，再根据点在双曲线的右支上得到点的横坐标满足的不等式，解不等式即可.【详解】设点的横坐标为，，，即，由题可知，，得．故选：D.8.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，c为椭圆C的半焦距，过A1的直线与圆x2＋y2＝c2切于点N，与双曲线E：x2c2－y2b2＝1在第一象限交于点M，满足MA1⊥MA2，若椭圆C的离心率为e1，双曲线EA.165B.5 C.655D解析：D如图，由已知得，a2＝b2＋c2，则A1，A2分别为双曲线E：x2c2－y2b2＝1的左、右焦点.连接ON，由直线A1M与圆x2＋y2＝c2切于点N，得｜ON｜＝c，从而｜A1N｜＝b，｜A1M｜＝2b，｜A2M｜＝2｜ON｜＝2c.由双曲线的定义，得｜A1M｜－｜A2M｜＝2c，即2b－2c＝2c，b＝2c，从而椭圆的离心率e1＝ca＝15，双曲线的离心率e2＝ac＝5，所以e29．（2023·全国·高二专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据黄金双曲线的定义，结合双曲线离心率公式列方程求参数a即可.【详解】由题意，则，所以.故选：B10．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，此时，所以，解得，所以，当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.综上，解得.故选：A．11.过双曲线x2a