新高考数学一轮复习精讲精练7.3 空间角（提升版）（解析版）

7.3空间角（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一线线角【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，∵E是BC的中点，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;在SKIPIF1<0中，由余弦定理可知SKIPIF1<0∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为SKIPIF1<0，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：D【一隅三反】1．（2022·新疆·三模（理））在正方体SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0的中点，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为l，则l与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交直线于点M，延长SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0即为交线SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为l与SKIPIF1<0所成的角，设正方体棱长为1，因为E为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即l与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角，即为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0或补角，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】以点P为坐标原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线PN和BM所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B.考点二线面角【例2-1】（2022·黑龙江）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.得证.(2)如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，设直线PB与平面ADP所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.直线PB与平面ADP所成角的正弦值为SKIPIF1<0.【例2-2】（2022·云南）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，点P在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在平面ABCD上的投影为SKIPIF1<0，故作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则AP与平面ABCD所成角为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以AP与平面ABCD所成角的正切值为SKIPIF1<0故选：D【例2-3】．（2022·河南安阳）如图，在圆锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为圆锥的底面直径，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0上一动点，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0越小，SKIPIF1<0越大，SKIPIF1<0越大，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0最大，∵SKIPIF1<0为等腰直角三角形，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，故选：C.【一隅三反】1．（2022·河南安阳）如图，在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为BD的中点，F为AC上一点.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面BDF；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．【解析】(1)在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，E为BD的中点，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)依题意不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）得，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设点B到平面ACD的距离为h，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点B到平面ACD的距离为SKIPIF1<0.设直线BF与平面ACD所成角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最短，此时SKIPIF1<0，正弦值最大为SKIPIF1<0．2．（2022·北京）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为线段SKIPIF1<0中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)取SKIPIF1<0中点F，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点O，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且梯形SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故平行四边形SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为菱形，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．(2)解析1：几何法在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故B到面SKIPIF1<0距离等于SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．解析2：向量法在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为x轴，SKIPIF1<0为y轴，SKIPIF1<0为z轴建立空间直角坐标系，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．考点三二面角【例3-1】（2022·云南师大附中）如图，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，G是SKIPIF1<0的重心，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使点A到达点P的位置，点P在平面SKIPIF1<0的射影为点G．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)连接SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影为点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线.由SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的平面角.由等边三角形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.【例3-2】（2022·青海·海东市第一中学）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是棱上一点，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)连接AC，记AC与BD的交点为H，连接MH.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面MBD，SKIPIF1<0平面MBD，∴SKIPIF1<0平面MBD.(2)记O为CD的中点，连接PO，BO.∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面ABCD＝CD，∴SKIPIF1<0平面ABCD.以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面BDM的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取x＝1得SKIPIF1<0，平面BCD的一个法向量SKIPIF1<0.设二面角M－BD－C的平面角为θ，则SKIPIF1<0.∴二面角M－BD－C的余弦值为SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0的中点，E为SKIPIF1<0的中点，F为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】（1）证明：在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的正弦值为SKIPIF1<0.（3）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.2．（2022·江西）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0上靠近A的三等分点．(1)若SKIPIF1<0，求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为D为SKIPIF1<0上靠近A的三等分点，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．解：由题意当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，有平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中点O，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0；以O点为原点，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由图可知二面角SKIPIF1<0为锐角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．3．（2022·广西玉林·模拟预测（理））如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，D，E别是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与平面ABC所成的角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，AB中点O，连SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．由（1）知，OC、OB、SKIPIF1<0两两垂直，建立如图空间直角坐标系SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0上一点M，使SKIPIF1<0，连AM，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0与平面ABC所成角为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴二面角SKIPIF1<0的平面角的正弦值为SKIPIF1<0．考点四空间角的综合运用【例4】（2022·重庆南开中学）（多选）已知正四棱锥SKIPIF1<0的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且SKIPIF1<0，点Q在底面SKIPIF1<0及其边界上运动，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．点Q的轨迹为线段B．SKIPIF1<0与CD所成角的范围为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．二面角SKIPIF1<0的正切值为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】对于A，取点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，如图，由线段成比例可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故当点SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；对于B，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0与CD所成角即为SKIPIF1<0与NE所成角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0点时，异面直线所成的角小于SKIPIF1<0，故B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0，故C正确；对于D，二面角SKIPIF1<0即平面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的锐角，连接SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，取点H，使得SKIPIF1<0，连接MH，过H作SKIPIF1<0于G，连接SKIPIF1<0，如图，由正四棱锥可知，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即为二面角的平面角，SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD【一隅三反】1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知正方体SKIPIF1<0的边长为2，M为SKIPIF1<0的中点，P为侧面SKIPIF1<0上的动点，且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0 D．动点P的轨迹长为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简可得：SKIPIF1<0，所以动点P在直线SKIPIF1<0上，对于选项A：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，所以A选项错误；对于选项B：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B选项正确；对于选项C：SKIPIF1<0，C选项正确；对于选项D：动点P在直线SKIPIF1<0上，且P为侧面SKIPIF1<0上的动点，则P在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D选项正确；故选：BCD.2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E为平面SKIPIF1<0内的动点，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则点E的轨迹所围成的面积为___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，连接SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,

SKIPIF1<0,所以四面体SKIPIF1<0为正三棱锥，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，如图所示：所以解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.7.3空间角（精练）（提升版）题组一题组一线线角1．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长都相等，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直三棱柱SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习（理））已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设该正面体的棱长为SKIPIF1<0，因为M为BC中点，N为AD中点，所以SKIPIF1<0，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选：B3．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，四边形SKIPIF1<0为圆台SKIPIF1<0的轴截面（通过圆台上、下底面两个圆心的截面，其形状为等腰梯形），SKIPIF1<0，C、D分别为OB，SKIPIF1<0的中点，点E为底面圆弧AB的中点，则CD与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】不妨设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角（或其补角）．作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接OE，HE，AE，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．故选：A．4．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E，F，G，H分别为边SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0分别沿直线SKIPIF1<0翻折形成四棱锥SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．异面直线SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0 B．异面直线SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0C．异面直线SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0 D．异面直线SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0中的投影分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上（如下图所示），因为S