新高考数学一轮复习精讲精练8.1 计数原理及排列组合（提升版）（解析版）

8.1计数原理及排列组合（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一排队【例1】（2022云南）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中间；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何两个女生都不得相邻；（7）男生甲、乙、丙顺序一定．【答案】（1）A99（2）A22A77（3）A1010﹣2A99+A88（4）A22A88（5）A44A77（6）A66A74（7）SKIPIF1<0=A107【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，SKIPIF1<0=A107种【一隅三反】1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【解析】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有SKIPIF1<0种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：SKIPIF1<0种不同的排列方式.故答案为：B2．（2022·河南模拟）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（）．A．72 B．96 C．120 D．144【答案】D【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有SKIPIF1<0种情况，第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有SKIPIF1<0种情况，第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，共有SKIPIF1<0种情况，所以SKIPIF1<0。故答案为：D3.（2022·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，女生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有SKIPIF1<0（种）．（2）先排男生，有SKIPIF1<0种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有SKIPIF1<0种排法．故排法共有SKIPIF1<0（种）．（3）方法一（特殊元素优先法）

先排甲，有5种排法，其余6人有SKIPIF1<0种排法，故排法共有SKIPIF1<0（种）．方法二（特殊位置优先法）

左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有SKIPIF1<0种排法，其他位置有SKIPIF1<0种排法，故排法共有SKIPIF1<0（种）．（4）方法一

分两类：第一类，甲在最右边，有SKIPIF1<0种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有SKIPIF1<0种排法．故排法共有SKIPIF1<0（种）．方法二

7名学生全排列，有SKIPIF1<0种排法，其中甲在最左边时，有SKIPIF1<0种排法，乙在最右边时，有SKIPIF1<0种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有SKIPIF1<0种排法，故排法共有SKIPIF1<0（种）．（5）7名学生站成一排，有SKIPIF1<0种排法，其中3名男生的排法有SKIPIF1<0种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有SKIPIF1<0（种）．（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有SKIPIF1<0（种）．（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有SKIPIF1<0种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有SKIPIF1<0种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有SKIPIF1<0种排法．故排法共有SKIPIF1<0（种）．（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有SKIPIF1<0种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有SKIPIF1<0（种）．考点二排数【例2】（2021江苏）用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？【答案】（1）156（2）108（3）284【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有SKIPIF1<0个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有SKIPIF1<0种），十位和百位从余下的数字中选（有SKIPIF1<0种），于是有SKIPIF1<0个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有SKIPIF1<0个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：SKIPIF1<0个．（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有SKIPIF1<0个；个位数上的数字是5的五位数有SKIPIF1<0个．故满足条件的五位数的个数共有SKIPIF1<0个．（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共SKIPIF1<0个；第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有SKIPIF1<0个；第三类：形如124□，125□，共有SKIPIF1<0个；第四类：形如123□，共有SKIPIF1<0个由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有：SKIPIF1<0个．【一隅三反】1．（2022·西安模拟）由SKIPIF1<0组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0组成没有重复数字的五位数，基本事件总数为：SKIPIF1<0；其中是奇数的基本事件个数为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求概率SKIPIF1<0。故答案为：D.2．（2022·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；【解析】（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有SKIPIF1<0种，其余4个数全排列有SKIPIF1<0种，按照分步乘法计数原理可得有SKIPIF1<0个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有SKIPIF1<0种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有SKIPIF1<0种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有SKIPIF1<0种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有SKIPIF1<0种情况，即可以有120个五位数；则可以有SKIPIF1<0个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有SKIPIF1<0种情况，则有SKIPIF1<0个比40000大的正整数；3．（2021·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五个数字:(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【解析】(1)用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有SKIPIF1<0种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有SKIPIF1<0种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有SKIPIF1<0种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有SKIPIF1<0种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有SKIPIF1<0种情况，所以可组成SKIPIF1<0个五位数.(2)用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有SKIPIF1<0种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有SKIPIF1<0种情况，所以可组成SKIPIF1<0个无重复数字的五位数.(3)无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有SKIPIF1<0种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有SKIPIF1<0种情况；若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有SKIPIF1<0种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有SKIPIF1<0种情况；若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有SKIPIF1<0种情况;若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有SKIPIF1<0种情况.所以根据分类计数原理，共可组成SKIPIF1<0个无重复数字的且是3的倍数的三位数.(4)由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有SKIPIF1<0种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有SKIPIF1<0种情况，再对剩下的三个数字全排列，有SKIPIF1<0种情况，所以可组成SKIPIF1<0个无重复数字的五位奇数.考点三分组分配【例3】（2022·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选SKIPIF1<0本有SKIPIF1<0种选法;再从余下的SKIPIF1<0本中选SKIPIF1<0本有SKIPIF1<0种选法;最后余下的SKIPIF1<0本全选有SKIPIF1<0种选法.故共有SKIPIF1<0(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在SKIPIF1<0题的基础上,还应考虑再分配,共有SKIPIF1<0.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是SKIPIF1<0种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若第一步取了SKIPIF1<0,第二步取了SKIPIF1<0,第三步取了SKIPIF1<0,记该种分法为(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),则SKIPIF1<0种分法中还有(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),共有SKIPIF1<0种情况,而这SKIPIF1<0种情况仅是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有SKIPIF1<0.（4）有序均匀分组问题.在SKIPIF1<0题的基础上再分配给SKIPIF1<0个人,共有分配方式SKIPIF1<0(种).（5）无序部分均匀分组问题.共有SKIPIF1<0(种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在SKIPIF1<0题的基础上再分配给SKIPIF1<0个人,共有分配方式SKIPIF1<0(种).（7）直接分配问题.甲选SKIPIF1<0本有SKIPIF1<0种选法,乙从余下SKIPIF1<0本中选SKIPIF1<0本有SKIPIF1<0种选法,余下SKIPIF1<0本留给丙有SKIPIF1<0种选法,共有SKIPIF1<0(种)选法.【一隅三反】1．（2022·贵州模拟）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种【答案】A【解析】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，故不同的安排方法共有SKIPIF1<0种；故答案为：A.2．（2022·浙江模拟）为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．30种【答案】C【解析】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有SKIPIF1<0种安排方法；若甲乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组两人，则有SKIPIF1<0种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法.故答案为：C3．（2021江苏期中）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．【答案】（1）240（2）1560（3）10（4）2160【解析】（1）解：从5个不同的小球中任取SKIPIF1<0个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，共有SKIPIF1<0种（2）解：若四个盒子中小球的个数为：SKIPIF1<0，则共有SKIPIF1<0种，若四个盒子中小球的个数为：SKIPIF1<0，则共有SKIPIF1<0种，所以共有SKIPIF1<0种（3）解：等价于2个相同的元素填入四个不同的空位，共有SKIPIF1<0种（4）解：从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有SKIPIF1<0种，另外三个盒子中，小球的个数可能为：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，若为①，则共有SKIPIF1<0种；若为②，则共有SKIPIF1<0种；若为③，则共有SKIPIF1<0种，所以一共有SKIPIF1<0种.考点四涂色【例4】（2022·陈仓二模）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】A【解析】由图知：SKIPIF1<0两组颜色可以相同，若涂4种颜色：SKIPIF1<0颜色相同，则4种选一种涂SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，余下3种颜色涂3个区域有SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0种，同理SKIPIF1<0颜色相同也有24种；若涂3种颜色，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别涂相同的颜色，首先4种颜色选3种有SKIPIF1<0种，再所选3种中选一种涂5有SKIPIF1<0种，余下2种颜色涂SKIPIF1<0、SKIPIF1<0个区域有SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0种；综上，共有72种.故答案为：A【一隅三反】1．（2022·武汉模拟）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A．288 B．336 C．576 D．1680【答案】B【解析】第一步：排红车，第一列选一个位置，则第二列有三个位置可选，由于车是不相同的，故红车的停法有SKIPIF1<0种，第二步，排黑车，若红车选SKIPIF1<0，则黑车有SKIPIF1<0共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有SKIPIF1<0种，根据分步计数原理，共有SKIPIF1<0种，故答案为：B2．（2022·浙江模拟）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【答案】A【解析】要完成给图中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，则从四种颜色中取三种颜色有SKIPIF1<0种取法，三种颜色染三个区域有SKIPIF1<0种染法，共SKIPIF1<0种染法；第二类是用四种颜色染色，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中有一组不同色，则有3种方案SKIPIF1<0不同色或SKIPIF1<0不同色或SKIPIF1<0不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有SKIPIF1<0种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有SKIPIF1<0种染法．SKIPIF1<0由分类加法原理得总的染色种数为SKIPIF1<0种．故答案为：A．3．（2022·红河模拟）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（）A．96种 B．72种 C．48种 D．24种【答案】A【解析】依题意可知，将区域标号如图，用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有SKIPIF1<0种。故答案为：A8.1计数原理及排列组合（精练）（提升版）题组一题组一排队1．（2022·柳州模拟）今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．44种 B．48种 C．60种 D．50种【答案】C【解析】由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有SKIPIF1<0种方案；若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有SKIPIF1<0种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有SKIPIF1<0种方案所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有60-12-4=44不同的安排方案.故选：C2．（2022·焦作模拟）小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】C【解析】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有SKIPIF1<0种。故答案为：C3．（2022·汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（）A．36 B．24 C．18 D．42【答案】A【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有SKIPIF1<0种；第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有SKIPIF1<0种；第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有SKIPIF1<0种；依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是SKIPIF1<0，故答案为：A.4．（2022·内江模拟）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（）A．18种 B．12种 C．9种 D．6种【答案】A【解析】根据题意分2种情况讨论：（1）B去甲单位，则A，B在一起，都去甲单位，将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个单位即可，有SKIPIF1<0种安排方法；（2）B不去甲单位，则B必去丙单位，在剩下4人中选出2人安排在乙单位，再将剩下2人分别安排到甲、丙，有SKIPIF1<0种安排方法，则有SKIPIF1<0种安排方法，故答案为：A5．（2022·益阳模拟）为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为（）A．36 B．45 C．72 D．90【答案】D【解析】采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法；第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9×10＝90种排法.故答案为：D.6．（2022·佛山模拟）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有种．【答案】72【解析】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有SKIPIF1<0种排法再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有SKIPIF1<0种排法所以满足条件的情形共有SKIPIF1<0种．故答案为：727．（2022·临沂模拟）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A．72种 B．81种 C．144种 D．192种【答案】D【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为SKIPIF1<0，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为SKIPIF1<0，由间接法可知，满足条件的排法种数为SKIPIF1<0种.故答案为：D.8．（2022·全国·高三专题练习）现有8个人SKIPIF1<0男3女）站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0(5)SKIPIF1<0(6)SKIPIF1<0(7)SKIPIF1<0(8)SKIPIF1<0(9)SKIPIF1<0(10)SKIPIF1<0【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有SKIPIF1<0种情况，将这个整体与5名男生全排列，有SKIPIF1<0种情况，则女生必须排在一起的排法有SKIPIF1<0种；(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有SKIPIF1<0种情况，则甲必须站在排头有SKIPIF1<0种排法；(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有SKIPIF1<0种情况，将剩下的6人全排列，有SKIPIF1<0种情况，则甲、乙两人不能排在两端有SKIPIF1<0种排法；(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有SKIPIF1<0种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有SKIPIF1<0种情况，则甲、乙两人不相邻有SKIPIF1<0种排法；(5)根据题意，将8人全排列，有SKIPIF1<0种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有SKIPIF1<0种不同的排法；(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有SKIPIF1<0种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有SKIPIF1<0种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有SKIPIF1<0种不同排法；(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有SKIPIF1<0种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有SKIPIF1<0种情况，将男生、女生整体全排列，有SKIPIF1<0种情况，则男生在一起，女生也在一起，有SKIPIF1<0种不同排法；(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有SKIPIF1<0种情况，将剩下的6人全排列，有SKIPIF1<0种情况，则第3和第6个排男生，有SKIPIF1<0种不同排法；(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有SKIPIF1<0种情况，将剩下的6人全排列，有SKIPIF1<0种情况，甲乙不能排在前3位，有SKIPIF1<0种不同排法；(10)根据题意，将5名男生全排列，有SKIPIF1<0种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有SKIPIF1<0种情况，则女生两旁必须有男生，有SKIPIF1<0种不同排法.题组二题组二排数1．（2022·河南模拟）由数字1，2，3组成六位数（数字可以不完全使用），若每个数字最多出现三次，则这样的六位数的个数是（）A．420 B．450 C．510 D．520【答案】C【解析】所求的六位数分三类，第一类：一个数字出现0次，另外两个数字各出现3次，有SKIPIF1<0个；第二类：一个数字出现1次，一个数字出现2次，一个数字出现3次，有SKIPIF1<0个；第三类；每个数字出现2次，有SKIPIF1<0个.所以共有SKIPIF1<0个满足题意的六位数.故答案为：C.2．（2022·石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）.A．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】由题意用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或者5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，这样组成的无重复数字的三位数个数为：SKIPIF1<0．故答案为：D．3．（2022·济南模拟）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A．60个 B．48个 C．36个 D．24个【答案】C【解析】先排个位，然后排万位，再排其它位置，所以由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有SKIPIF1<0个.故答案为：C4．（2022·浙江模拟）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有种.（用数字作答）【答案】16【解析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示：然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有SKIPIF1<0种.故答案为：16.5．（2021张家港期中）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.【答案】（1）24（2）96（3）48【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位､十位，有SKIPIF1<0种情况，则有SKIPIF1<0个三位偶数，（2）根据题意，分2步进行分析：①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2､3､4､5，有4种情况，②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位､十位､个位，有SKIPIF1<0种情况，则有SKIPIF1<0个符合题意的四位数；（3）根据题意，分2步进行分析：①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有SKIPIF1<0种情况，②将这个整体与其他2个数字全排列，有SKIPIF1<0种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，则有SKIPIF1<0种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，故有SKIPIF1<0个符合题意的五位数.题组三题组三分组分配1．（2022·晋中模拟）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安装在大广场上，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，若小王和小高必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A．40 B．30 C．20 D．80【答案】A【解析】小王和小高必须安装不同的吉祥物，则有SKIPIF1<0（种）分配方案，剩下5人分两组，一组2人，一组3人，有SKIPIF1<0（种）分配方案，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有SKIPIF1<0（种）分配方案，则共有40种分配方案.故答案为：A.2．（2022·江西模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（）A．9 B．18 C．19 D．20【答案】B【解析】依题意SKIPIF1<0小组“冰墩墩”可能有1个或2个，①SKIPIF1<0小组有1个“冰墩墩”，则有SKIPIF1<0种分配方法；②SKIPIF1<0小组有2个“冰墩墩”，则有SKIPIF1<0种分配方法；综上可得一共有SKIPIF1<0种分配方法；故答案为：B3（2022·广东三模）将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种【答案】B【解析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，故有SKIPIF1<0种不同的分配方案；故答案为：B4．（2022·晋城二模）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（）A．120种 B．96种 C．48种 D．24种【答案】C【解析】若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有SKIPIF1<0种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有SKIPIF1<0种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有SKIPIF1<0种安排方案，所以符合条件的安排方案共有SKIPIF1<0.故答案为：C.5．（2022·合肥模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．8种 B．14种 C．20种 D．116种【答案】B【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有SKIPIF1<0种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有SKIPIF1<0种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故答案为：B.（2021宾县月考）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中．（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？【解析】（1）24（2）144（3）8【答案】（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有SKIPIF1<0种．答：共有24种放法．（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有SKIPIF1<0种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有SKIPIF1<0种投放方法，所以共有SKIPIF1<0（种）放法．答：共有144种放法．（3）一个球的编号与盒子编号相同的选法有SKIPIF1<0种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有SKIPIF1<0（种）放法．答：共有8种放法．7．（2022黄豆）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【答案】(1）24（2）144（3）8（4）12【解析】（1）解：根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为SKIPIF1<0（种）；（2）解：先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为SKIPIF1<0（种）；（3）解：考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为SKIPIF1<0（种）；（4）解：按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为SKIPIF1<0（种）.题组四题组四涂色1．（2022·重庆九龙坡）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，每个三角形均有SKIPIF1<0种涂法，故基本事件总数SKIPIF1<0，有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有SKIPIF1<0种涂法，这一共有SKIPIF1<0种涂法，SKIPIF1<0所求概率为SKIPIF1<0．故选：A．2．（2022·福建三明）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（

）A．180 B．192 C．300 D．420【答案】D【解析】如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有SKIPIF1<0种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有SKIPIF1<0种情况；则一共有SKIPIF1<0种情况故选：D．3．（2021·广西·钦州市大寺中学）如图所示是由一个圆､一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红､蓝两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】用两种颜色为图形涂色基本事件有：（红，蓝，蓝），（红，蓝，红），（红，红，蓝），（红，红，红），（蓝，蓝，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（蓝，红，红），共SKIPIF1<0个基本事件.相邻两个图形颜色不相同的情形为：（红，蓝，红），（蓝，红，蓝），共2个基本事件，所以所求的概率为SKIPIF1<0，故选：C.4．（2022·江西·景德镇一中）如图所示，积木拼盘由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为相邻区域，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（

）A．780 B．840 C．900 D．960【答案】D【解析】先涂SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，再涂SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相邻，所以SKIPIF1<0的颜色只要与SKIPIF1<0不同即可，有SKIPIF1<0种涂法，同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为SKIPIF1<0．故选：D.5．（2021·江西·横峰中学）如图所示的几何体由三棱锥SKIPIF1<0与三棱柱SKIPIF1<0组合而成，现用SKIPIF1<0种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面SKIPIF1<0不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（

）A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种\【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有SKIPIF1<0种不同的涂法，第二步：涂三棱柱ABC-SKIPIF1<0的三个侧面，先涂侧面SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，再涂SKIPIF1<0和SKIPIF1<0只有1种涂法，所以涂三棱柱的三个侧面共有SKIPIF1<0种涂法，所以对几何体的表面不同的涂色方案共有SKIPIF1<0种涂法，故选：C6．（2022·重庆市璧山中学校）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有SKIPIF1<0种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种 C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种【答案】C【解析】考虑SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三个区域用同一种颜色，共有方法数为SKIPIF1<0种；考虑SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三个区域用SKIPIF1<0种颜色，共有方法数为SKIPIF1<0种；考虑SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三个区域用SKIPIF1<0种颜色，共有方法数为SKIPIF1<0种．所以共有方法数为SKIPIF1<0种．故选：C．7．（2022·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（

）A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：SKIPIF1<0种.故选：D.8．（2022·全国·高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的