人教版高中数学必修第二册第八章 立体几何初步达标检测试卷（含答案）

人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点2.圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?这个问题的答案为(注:1丈等于10尺)()A.29尺 B.24尺 C.26尺 D.30尺3.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β4.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n为两条不同的直线,则下列命题中为假命题的是()A.当α⊥β时,若β∥γ,则α⊥γB.当m⊥α,n⊥β时,若α∥β,则m∥nC.当m⊂α,n⊂β时,若α∥β,则m,n是异面直线D.当m∥n,n⊥β时,若m⊂α,则α⊥β5.用半径为R的半圆卷成一个无底的圆锥,则该圆锥的体积为()A.324πR3 B.38πR3 C.524πR3 D.6.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥B1C,AA1=BC=2AB,则异面直线A1B与B1C所成的角的余弦值为()A.255 B.55 C.157.已知四棱锥P-ABCD的体积是363,底面ABCD是正方形,△PAB是等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD,则四棱锥P-ABCD外接球的体积为()A.2821π B.9911C.6372π D.1088.点D是Rt△ABC斜边AB上一动点,AC=3,BC=4,将△BCD沿着CD翻折,翻折后的三角形为△B'CD,且平面B'DC⊥平面ADC,则翻折后AB'的最小值是()A.21 B.13 C.22 D.7二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,F是AB的中点,E是PB上的一点,则下列说法正确的是()A.若PB=2PE,则EF∥平面PACB.若PB=2PE,则四棱锥P-ABCD的体积是三棱锥E-ABC体积的6倍C.三棱锥P-ADC中有且只有三个面是直角三角形D.平面BCP⊥平面ACE10.已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD相交于点E,将△ABD沿BD折起,使顶点A至点M,在折起的过程中,下列结论正确的是()A.BD⊥CMB.存在一个位置,使△CDM为等边三角形C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°11.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(如图1,细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆(如图2).以下结论正确的是图1图2A.沙漏中的细沙体积为1024π81B.沙漏的体积是128πcm3C.细沙全部漏入下部后,锥形沙堆的高度约为2.4cmD.该沙漏的一个沙时大约是1985秒(π≈3.14)12.设α是给定的平面,A,B是不在α内的任意两点,则()A.在α内存在直线与直线AB异面B.在α内存在直线与直线AB相交C.在α内存在直线与直线AB平行D.存在过直线AB的平面与α垂直三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若圆锥的表面积为27π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面圆的半径为.

14.在如图所示的四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,DM⊥PA,PA=PD=AB=4,M为BC中点,则点M到平面PBD的距离是.

15.如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中点,沿AE将△DAE向上折起,使D到D'的位置,且平面AED'⊥平面ABCE,则直线AD'与平面ABC所成角的正弦值为.

16.如图,矩形ABCD中,AB=23,AD=2,Q为BC的中点,点M,N分别在线段AB,CD上运动(其中M不与A,B重合,N不与C,D重合),且MN∥AD,沿MN将△DMN折起,得到三棱锥D-MNQ,则三棱锥D-MNQ体积的最大值为;当三棱锥D-MNQ体积最大时,其外接球的表面积为.(本题第一空2分,第二空3分)

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图,在多面体ABCDE中,平面ACD⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=2AC=4,DA=DC=3,F是BC的中点,EF⊥平面ABC,EF=22.(1)证明:A、B、E、D四点共面;(2)求三棱锥的体积.

从①B-ACD;②A-BCE;③B-CDE这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,平面ABCD⊥平面ABB1A1,∠BAA1=60°,AB=AA1=2BC=3CD=6.(1)求该四棱柱的体积;(2)在线段DB1上是否存在点M,使得CM∥平面DAA1D1?若存在,求DMDB1的值;若不存在19.(本小题满分12分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AC的中点.(1)求证:AB1∥平面BEC1;(2)若BB1=BA,求异面直线AB1与EC1所成角的余弦值.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧面SBC为等边三角形,SD=2.(1)求证:SD⊥BC;(2)求点B到平面SAD的距离.21.(本小题满分12分)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.(1)证明:平面A1AC⊥平面A1BD;(2)求直线BC1与平面A1AC所成的角θ的正弦值.22.(本小题满分12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到点P的位置,且PE⊥EB,M为PB的中点,N是BC上的动点(与点B,C不重合).(1)证明:平面EMN⊥平面PBC;(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的余弦值为66?若存在,确定N点位置;若不存在,说明理由答案全解全析一、单项选择题1.D棱柱是有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体,A选项不能保证四边形的公共边平行;B选项可以是两个棱柱的组合体;C选项不能保证三角形有公共顶点;棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,因此各侧棱的延长线交于一点.故选D.2.C由题意可知,圆柱的侧面展开图是矩形,其中一条边(即圆木的高)长为24尺,其邻边长为5尺,因此葛藤长242+(5×2)23.B若l∥α,l∥β,则平面α,β还可能相交,此时交线与l平行,故A错误;若l⊥α,l⊥β,则根据垂直于同一直线的两个平面平行,可知B正确;若l⊥α,l∥β,则存在直线m⊂β,使l∥m,则m⊥α,故此时α⊥β,故C错误;若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误.故选B.4.C对于A,根据平面与平面平行、垂直的性质,可得A正确;对于B,根据平面与平面平行、线面垂直的性质,可得B正确;对于C,m,n可能异面,也可能平行,故C错误;对于D,由m∥n,n⊥β可知m⊥β,又m⊂α,所以α⊥β,故D正确.故选C.5.A设圆锥的底面半径为r,高为h,则由题得2π·r=πR,所以r=R2,则h=R2-R22=3R2,所以圆锥的体积V=13π·r6.D∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB,∵BB1∥AA1,∴BB1⊥AB,∵AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,∴AB⊥平面BB1C1C,∴三棱柱可以补成长方体ABCD-A1B1C1D1,连接CD1,B1D1,则A1B∥CD1,∴∠B1CD1是异面直线A1B与B1C所成的角(或其补角),令AB=1,则AA1=BC=2,在△B1CD1中,B1D1=CD1=5,B1C=22,∴cos∠B1CD1=B1C2CD7.A由题意可设正方形ABCD的边长为2x,在等边三角形PAB中,过点P作PE⊥AB,由于平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE⊂平面PAB,∴PE⊥平面ABCD.由△PAB是等边三角形,可得PE=3x,∴VP-ABCD=13·2x·2x·3x=363,解得∴PE=33,底面正方形ABCD的外接圆的半径为32.设外接球的球心为O,半径为R,O到底面ABCD的距离为h,则(32)2+h2=(33-h)2+622,得h=3,∴R=18+3=21.∴V球=43π·(21)3=8.B过点B'作B'E⊥CD于点E,连接AE,如图所示.设∠BCD=∠B'CD=α0<α<π2,则B'E=4sinα,CE=4cos在△AEC中,由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcosπ=9+16cos2α-24cosαsinα.∵平面B'CD⊥平面ACD,平面B'CD∩平面ACD=CD,B'E⊥CD,B'E⊂平面B'CD,∴B'E⊥平面ACD.又AE⊂平面ACD,∴B'E⊥AE.在Rt△AEB'中,由勾股定理得,AB'2=AE2+BE'2=9+16cos2α-24cosαsinα+16sin2α=25-12sin2α,∴当α=π4时,AB'取得最小值,为13故选B.二、多项选择题9.AD对于选项A,∵PB=2PE,∴E是PB的中点.∵F是AB的中点,∴EF∥PA,又PA⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,∴EF∥平面PAC,故A正确.对于选项B,∵PB=2PE,∴VP-ABCD=2VE-ABCD.∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,∴梯形ABCD的面积为12(CD+AB)·AD=12×(1+2)×1=32,S△ABC=12AB∴VE-ABCD=32VE-ABC,∴VP-ABCD=3VE-ABC,故B错误对于选项C,∵PC⊥底面ABCD,∴PC⊥AC,PC⊥CD,∴△PAC,△PCD为直角三角形.又AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD,∴△ACD为直角三角形,∴PA2=PC2+AC2=PC2+AD2+CD2,PD2=CD2+PC2,则PA2=PD2+AD2,∴△PAD是直角三角形,∴三棱锥P-ADC的四个面都是直角三角形,故C错误.对于选项D,∵PC⊥底面ABCD,∴PC⊥AC.在Rt△ACD中,AC=AD2+在直角梯形ABCD中,BC=AD2+∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.∵BC∩PC=C,∴AC⊥平面BCP.又AC⊂平面ACE,∴平面BCP⊥平面ACE,故D正确.故选AD.10.ABD对于A,在菱形ABCD中,易知AC⊥BD.连接ME,则ME⊥BD,∵CE⊥BD,ME∩CE=E,∴BD⊥平面MCE.又MC⊂平面MCE,∴MC⊥BD,故A正确.对于B,由题意可知,AB=BC=CD=DA=BD,∴当三棱锥M-BCD是正四面体时,△CDM为等边三角形,故B正确.对于C,当三棱锥M-BCD是正四面体时,DM与BC垂直,故C不正确.对于D,当平面BDM与平面BDC垂直时,直线DM与平面BCD所成的角最大,为60°,故D正确.11.ACDA选项,由题图可知,细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,∴细沙的底面半径r=23×4=83∴细沙的体积为13×πr2×2ℎ3=13×64π9×16B选项,沙漏的体积为2×13×π×ℎ22×h=2×13×π×42×8=2563C选项,设细沙全部漏入下部后的高度为h1,根据细沙体积不变可知1024π81=13×π×ℎ∴1024π81=16π∴h1≈2.4cm.选项D,∵细沙的体积为1024π81cm3,沙漏每秒钟漏下0.02cm3∴一个沙时为1024π810.02≈1024×3.1481×50≈1故选ACD.12.ADA、B是不在α内的任意两点,则直线AB与平面α相交或平行.若AB与平面α相交,设交点为O,则α内不过交点O的直线与AB异面,但平面α内不存在与AB平行的直线;若AB与平面α平行,则在α内存在直线b与AB平行,而在α内与b相交的直线与AB异面,但α内不存在直线与AB相交,由上知A正确,B、C均错;不论AB与平面α平行还是相交,过A作平面α的垂线,则这条垂线与直线AB所在平面与平面α垂直(如果垂线与AB重合,则过AB的任意平面都与α垂直),D正确.故选AD.三、填空题13.答案3解析设圆锥底面半径为r,母线长为l,∵侧面展开图是半圆,∴2πr=πl,∴l=2r,∴圆锥表面积S=πr2+2πr2=3πr2=27π,∴r=3.14.答案2解析∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,∴△BCD是等边三角形,又M是BC的中点,∴DM⊥BC,又BC∥AD,∴DM⊥AD,又DM⊥PA,PA∩AD=A,∴DM⊥平面PAD,又DM⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD,取AD的中点H,连接PH、BH,∵PA=PD=AB=4,AB=BD=AD=4,∴PH⊥AD,且PH=BH=23.由平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,得PH⊥平面ABCD,故PH⊥BH,∴PB=26,又PD=BD=4,∴S△BDP=12×26×42-设M到平面PBD的距离为h,则VM-PBD=13×215×h=2又VM-PBD=VP-BDM=13×12×2×23×2∴215h3=4,解得∴点M到平面PBD的距离为21515.答案2解析由题意,知△AED'为等腰直角三角形,∵平面AED'⊥平面ABCE,∴AD'在底面的射影在AE上,∴∠D'AE为直线AD'与平面ABC所成角,且∠D'AE=45°,其正弦值为22,故答案为216.答案1;253解析设MB=t(0<t<23),则AM=DN=23-t,沿MN将△DMN折起,当DN⊥平面MNQ时,三棱锥D-MNQ的体积最大,此时VD-MNQ=13×12×MN×MB×(2=13×t(23-t)=-13t2+∴当t=3时,VD-MNQ取得最大值,最大值为1,此时MB=3,DN=3,∴MQ=NQ=2,∴△MNQ为等边三角形.∴当三棱锥D-MNQ体积最大时,三棱锥D-MNQ是正三棱柱的一部分,如图所示,则三棱柱MNQ-EDF的外接球即是三棱锥D-MNQ的外接球,设点G,H分别是上、下底面正三角形的中心,连接GH,则线段GH的中点即是三棱柱MNQ-EDF的外接球的球心,设为O,连接HQ,OQ,则OH=12DN=3∵△MNQ是边长为2的等边三角形,∴HQ=23∴三棱柱MNQ-EDF的外接球的半径R=OQ=OH2+∴三棱锥D-MNQ的外接球的表面积为4πR2=25π四、解答题17.解析(1)证明:如图,取AC的中点M,连接DM、MF,∵DA=DC=3,AC=2,M为AC的中点,∴DM⊥AC,且DM=22.(2分)∵平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DM⊂平面ACD,∴DM⊥平面ABC.又EF⊥平面ABC,∴DM∥EF,且DM=EF=22,∴四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥MF,(4分)在△ABC中,∵M、F是AC、BC的中点,∴MF∥AB,∴DE∥AB,∴A、B、E、D四点共面.(5分)(2)若选①,∵平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,AC⊥BC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥平面ACD.(7分)∴VB-ACD=13S△ACD由(1)知,DM⊥AC,且DM=22,∴S△ACD=12×AC×DM=12×2×22=22.(9∴VB-ACD=13×22×4=823若选②,由题图可知,VA-BCE=VE-ABC.(6分)∵EF⊥平面ABC,∴VE-ABC=13×S△ABC×EF.(8分∵AC⊥BC,∴S△ABC=12×AC×BC=1∴VE-ABC=13×4×22=8即VA-BCE=823.(10若选③,由(1)知DM∥EF,∵DM⊄平面BCE,EF⊂平面BCE,∴DM∥平面BCE,∴点D到平面BCE的距离等于点M到平面BCE的距离,则三棱锥D-BCE与三棱锥M-BCE的体积相等,(7分)∵AC⊥BC,AC=2,BC=4,M为AC的中点,∴S△BCM=12CM·BC=2,(8分又EF⊥平面ABC,且EF=22,∴VB-CDE=VD-BCE=VM-BCE=VE-BCM=13S△BCM·EF=42318.解析(1)过A1作A1H⊥AB于点H,(2分)由平面ABCD⊥平面ABB1A1,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,A1H⊥AB,A1H⊂平面ABB1A1,知A1H⊥平面ABCD,易得A1H=33,(4分)∴VABCD-A1B1C1D1=S梯形ABCD·A(2)存在.当DMDB1=13时,CM∥平面DAA1D连接DA1,在DB1上取点M,使DMDB1=13,在DA1上取点N,使DNDA1则MN∥A1B1,且MN=2,则MN=DC,又CD∥AB∥A1B1,∴MN∥CD,∴四边形CMND为平行四边形,∴CM∥DN,又CM⊄平面DAA1D1,DN⊂平面DAA1D1,∴CM∥平面DAA1D1.(12分)19.解析(1)证明:如图所示.连接B1C,交BC1于点O,易知O为B1C的中点,连接EO,∵E为AC的中点,∴AB1∥EO,(2分)又∵AB1⊄平面BEC1,EO⊂平面BEC1,∴AB1∥平面BEC1.(4分)(2)由(1)知AB1∥EO,∴∠C1EO为异面直线AB1与EC1所成的角(或其补角).(5分)设BB1=BA=a,则C1B=2a,C1O=12C1B=22a,C1E=C1C2∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴易得BE⊥平面AA1C1C,∴BE⊥EC1.(9分)在Rt△BEC1中,EO=12C1B=2在△OEC1中,cos∠C1EO=EC12+EO2-OC122×EC20.解析(1)证明:设BC边的中点是E,连接DE、SE、BD,(2分)∵△SBC是等边三角形,∴SE⊥BC,又易知△DBC是等边三角形,∴DE⊥BC,(4分)∵DE∩SE=E,∴BC⊥平面SDE,又SD⊂平面SDE,∴BC⊥SD.(5分)(2)解法一:∵△SBC是边长为2的等边三角形,∴SE=3,同理DE=3,取SD的中点P,连接PE,(6分)∵SE=DE=3,∴PE⊥SD,∴PE=SE2-PS2=2,∴∠BDE=30°,∴∠ADE=90°,∴AD⊥DE,∵SD⊥BC,AD∥BC,∴AD⊥SD,又DE∩SD=D,∴AD⊥平面SDE,(8分)又∵AD⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面SDE.∵AD∥BC,AD⊂平面SAD,BC⊄平面SAD,∴BC∥平面SAD,∴点B到平面SAD的距离等于点E到平面SAD的距离,(10分)∵PE⊥SD,平面SAD∩平面SDE=SD,PE⊂平面SDE,∴PE⊥平面SAD,∴E到平面SAD的距离为PE=2,∴B到平面ASD的距离为2.(12分)解法二:∵△SBC是边长为2的等边三角形,∴SE=3,同理DE=3,又SD=2,∴PE=2,∴S△SDE=12×2×2=2,(7分又由(1)可知BC⊥平面SDE,∴VS-BCD=13S△SDE·BC=13×2×2=223=V易知三棱锥S-BCD是正四面体,∴S在底面BCD上的射影H为△BCD各边中线的交点,且为△BCD的重心.(9分)连接AC,易知H在AC上,由勾股定理,得SA=SH2+AH2,又CH=23OC=233(其中O为AC与BD的交点),∴SH=SC2-CH2∴SD2+AD2=SA2,∴