安徽省淮南市第一中学2024-2025学年高二数学下学期3月第一次段考试题理含解析

PAGEPAGE21安徽省淮南市第一中学2024-2025学年高二数学下学期3月第一次段考试题理（含解析）时间：120分钟满分150分一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.22.由辗转相除法得，最大公约数是（）A. B. C. D.3.欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发觉的，是数学界最闻名､最漂亮的公式之一依据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限4.某校一个课外学习小组为探讨某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽试验，由试验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回来方程类型中最相宜作为发芽率y和温度x的回来方程类型的是（）A B.C. D.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.6.甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成果统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成果分别是，则下列叙述正确的是（）A.，乙比甲成果稳定B.，甲比乙成果稳定C.，乙比甲成果稳定D.，甲比乙成果稳定7.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参与演讲竞赛，那么下列互斥但不对立的两个事务是（）A.“至少1名男生”与“全女生”B.“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C.“至少1名男生”与“全男生”D.“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”8.已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：依据上表可得回来方程，计算得，则当投入万元广告费时，销售额的预报值为（）A.万元 B.万元 C.万元 D.万元9.下列各数中，最大的数是（）A. B. C. D.10.如图是一名篮球运动员在最近6场竞赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（）A.中位数为14 B.众数为13 C.平均数为15 D.11.《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.12.设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13.设，则___________________．14.用秦九韶算法求函数，当时的值时，的结果是________.15.设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和10，若()，则，，，…，，的标准差为____________．16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．)17.求当为何实数时，复数满意：（Ⅰ）为实数；（Ⅱ）为纯虚数；（Ⅲ）位于第四象限．18.（1）已知是实数，求证：．（2）用分析法证明：．19.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，其次组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的全部男生中任取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事务，求.20.【2024年新课标I卷文】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．21.随着我国中医学的发展，药用昆虫的运用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与肯定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选择了5天进行探讨，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：日期2日7日15日22日30日温度101113128产卵数/个2325302616（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事务“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的探讨方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回来方程，再对被选取的2组数据进行检验.（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请依据3月7日、15日和22（ⅱ）若由线性回来方程得到估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回来方程是牢靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回来方程是否牢靠？附：回来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.22.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．淮南市第一中学2024级高二其次学期第一次段考数学试卷（解析版）时间：120分钟满分150分一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】依据复数的乘法化简复数即可求解.【详解】因为，所以虚部为2故选：D2.由辗转相除法得，的最大公约数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辗转相除法代入逐步计算.【详解】因为，，，所以依据辗转相除法可得，的最大公约数是.故选：D3.欧拉公式(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发觉的，是数学界最闻名､最漂亮的公式之一依据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】把复数写成代数形式，得对应点的坐标后可得所在象限．【详解】由已知，对应点，而，即，点在第一象限．故选：A．4.某校一个课外学习小组为探讨某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽试验，由试验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回来方程类型中最相宜作为发芽率y和温度x的回来方程类型的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象旁边，因此，最适合作为发芽率和温度的回来方程类型的是.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要视察散点图的分布，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简，然后代入分别计算时，输出的值，视察找寻规律，然后计算时，输出的值即可.【详解】因为，则；；；……，此时不满意，不再循环，输出.故选：B6.甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成果统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成果分别是，则下列叙述正确的是（）A.，乙比甲成果稳定B.，甲比乙成果稳定C.，乙比甲成果稳定D.，甲比乙成果稳定【答案】C【解析】【详解】甲的平均成果，甲的成果的方差；乙的平均成果，乙的成果的方差.∴，乙比甲成果稳定.故选C.7.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参与演讲竞赛，那么下列互斥但不对立的两个事务是（）A.“至少1名男生”与“全是女生”B.“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C.“至少1名男生”与“全是男生”D.“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”【答案】D【解析】【详解】从3名男生和2名女生中任选2名学生的全部结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．选项A中的两个事务为对立事务，故不正确；选项B中的两个事务不是互斥事务，故不正确；选项C中的两个事务不是互斥事务，故不正确；选项D中的两个事务为互斥但不对立事务，故正确．选D．8.已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：依据上表可得回来方程，计算得，则当投入万元广告费时，销售额预报值为（）A.万元 B.万元 C.万元 D.万元【答案】C【解析】【分析】计算，得样本中心点，然后代入回来方程，求解出，代入计算.详解】由题意得，∴样本中心为．∵回来直线过样本中心，∴，解得，∴回来直线方程为．当时，销售额的预报值为万元．故选：C.9.下列各数中，最大的数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】进位制数化为十进㓡，然后比较可得．【详解】A：，B：，C：，D：．故选：B．10.如图是一名篮球运动员在最近6场竞赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（）A.中位数为14 B.众数为13 C.平均数为15 D.方差为19【答案】D【解析】【详解】从题设中所供应的茎叶图可知六个数分别是，所以其中位数是，众数是，平均数，方差是，应选答案D．11.《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意计算阴影部分的面积与正方形的面积比即可．【详解】设正方形的边长为，则正方形内切圆的半径为，圆内接正三角形的边长为所求概率为故选B．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．12.设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后确定实数a的取值范围即可.【详解】由题意易知为定值，不妨设，则，又，故，解得：，即函数的解析式为，，由题意可知：对恒成立，即对恒成立，令，则，据此可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，结合恒成立的结论可知：的取值范围是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，导函数探讨函数的性质，恒成立问题的处理方法等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13.设，则___________________．【答案】【解析】【分析】依据复数的除法运算法则化简复数，再代入模长公式计算.【详解】，所以故答案为：14.用秦九韶算法求函数，当时的值时，的结果是________.【答案】6【解析】【分析】先计算；再计算，即得解．【详解】；，故答案为：．【点睛】本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时进行的加法和乘法运算，是一个基础题.15.设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和10，若()，则，，，…，，的标准差为____________．【答案】【解析】【分析】依据具有线性关系的两组数据的方差的关系求解．【详解】样本数据，，，…，，的方差为10，（)，则，，，…，，的方差为，标准差为．故答案为：．16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】采纳构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一整数，使得在直线的下方，对求导可推断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解【详解】设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得故答案为：．【点睛】本题考查由导数探讨函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．)17.求当为何实数时，复数满意：（Ⅰ）为实数；（Ⅱ）为纯虚数；（Ⅲ）位于第四象限．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由虚部等于0，求得值；（Ⅱ）由实部等于0且虚部不等于0求得值；（Ⅲ）由实部大于0且虚部小于0求得的范围．【详解】复数．（Ⅰ）若z为实数，则，解得或；（Ⅱ）若z为纯虚数，则，解得；（Ⅲ）若z位于第四象限，则，解得．【点睛】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，熟记复数概念和几何意义即可，属于基础题型.18.（1）已知是实数，求证：．（2）用分析法证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）依据完全平方式与，绽开后两式相加即可证明；（2）依据分析法，将不等式两边同时平方，化简后再将不等式平方即可证明.【详解】（1）证明：因为，可得，可得所以．（2）证明:要证成立只需证成立即证成立即证成立即证成立因为成立所以原不等式成立.【点睛】本题考查了综合法与分析法在不等式中的证明，属于中档题.19.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，其次组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的全部男生中任取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事务，求.【答案】（1）；（2）174.5；（3）.【解析】【分析】（1）求出第六组的频率后，依据频率和为1可求得结果；（2）依据前三组的频率和小于0.5，前四组的频率大于0.5可知中位数位于第四，再依据中位数的概念列式可求得结果；（3）将事务转化为随机抽取的两名男生在同一组，依据列举法以及古典概型的概率公式可求得结果.【详解】（1）第六组的频率为，所以第七组的频率为；（2）身高在第一组的频率为，身高在其次组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则由得所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.（3）第六组的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组的人数为2人，设为A，B，则有共15种状况，因事务发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事务E包含的基本领件为共7种状况，故.【点睛】关键点点睛：将事务转化为随机抽取的两名男生在同一组是解题关键.20.【2024年新课标I卷文】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1)a=；f（x）（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【解析】【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后视察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数探讨函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–．由题设知，f′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f′（x）=．当0<x<2时，f′（x）<0；当x>2时，f′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的学问点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后依据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，其次问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.21.随着我国中医学的发展，药用昆虫的运用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与肯定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选择了5天进行探讨，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：日期2日7日15日22日30日温度101113128产卵数/个2325302616（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事务“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的探讨方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回来方程，再对被选取的2组数据进行检验.（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请依据3月7日、15日和22（ⅱ）若由线性回来方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回来方程是牢靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回来方程是否牢靠？附：回来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）牢靠，见解析．【解析】【分析】（1）依据题意写出全部的基本领件，即可求解：“不小于25”的概率；（2）（ⅰ）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回来直线方程；（ⅱ）分别将的值代入，检验数据的误差