5.1.1变化率问题课件高二上学期数学人教A版选择性

变化率问题第五章一元函数的导数及其应用人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并会求解平均速度和瞬时速度.2.体会抛物线上割线与切线的关系,会求解抛物线上某点处的切线斜率.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点1平均速度与瞬时速度1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为

.

若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),当Δt趋近于0时,平均速度变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同

瞬时速度

名师点睛从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.自主诊断1.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则

的值为(

)

A.-0.11 B.-1.1C.3.89 D.0.29B解析

令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,2.[北师大版教材习题]某物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s=t2-1,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度:(1)t=0;(2)t=2;(3)t=4.知识点2割线斜率与切线斜率1.割线与切线的关系如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的

.

切线

2.割线斜率与切线斜率的关系

f(x0+Δx)-f(x0)可记为Δy,并且Δy可为正数,可为负数,可为零

思考辨析如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现象出现?提示

当不断放大时,曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线,即在很小的范围内,曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想.自主诊断1.[苏教版教材习题]在下列3个图中,直线l为曲线在点P处的切线,分别求l的斜率.(1)(2)(3)2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为(

)

A.4 B.16

C.8

D.2C重难探究·能力素养速提升探究点一求物体运动的平均速度及瞬时速度角度1.平均速度【例1-1】

在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.(1)求运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2的平均速度;规律方法

求物体运动的平均速度的三个步骤第一步:求时间的改变量x2-x1;第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);变式训练1[人教B版教材例题]已知某物体运动的位移xm是时间ts的函数,而且t=0.1时,x=0.25;t=0.5时,x=2.25.(1)求这个物体在时间段[0.1,0.5]内的平均速度;(2)估计出t=0.2时物体的位移.(2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为5,且直线通过点(0.1,0.25),因此,x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即t=0.2时物体的位移可以估计为0.75

m.角度2.瞬时速度【例1-2】

某物体的运动位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.分析

变式探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.解

求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.∴物体的初速度为1

m/s.变式探究2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解

设物体在t0时刻的瞬时速度为9

m/s.则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4

s时的瞬时速度为9

m/s.规律方法

求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).探究点二求解曲线的割线、切线斜率【例2】

设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在(0,f(0))处的切线斜率为(

)A.0 B.-1 C.3

D.-6 D规律方法

求过曲线上某点(x0,f(x0))的割线的斜率或曲线上某点(x0,f(x0))处的切线斜率的步骤所以切线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.本节要点归纳1.知识清单:(1)平均速度与瞬时速度的概念和计算.(2)曲线的割线与切线及其求解.2.方法归纳:局部以直代曲法,极限的无限逼近思想,数形结合思想.3.常见误区:(1)不会用极限的思想理解瞬时速度;(2)容易忽视函数平均变化率的符号.学以致用·随堂检测促达标12341.若一质点的运动位移s与时间t的关系可用s(t)=t2+1表示,则该质点在时间段[1,2]中的平均速度是(

)A.2 B.3

C.4

D.5B12342.一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-3,则该质点在t=5s时的瞬时速度为(

)A.7m/s B.10m/sC.37m/s D.40m/sD1234A.9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的平均速度B.9.8m/s是物体从1s变到(1+Δt)s时物体的速度C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的瞬时速度D.9.8m/s是物体从1s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度C解