专题7.4二项分布超几何分布

专题7.4二项分布、超几何分布专题7.4二项分布、超几何分布知识点一知识点一二项分布若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)于是得到X的分布列X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0由于表中第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Ceq\o\al(0,n)p0qn＋Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p）知识点知识点二二项分布的均值、方差二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).知识点知识点三超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，称分布列X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．知识点知识点四超几何分布的均值、方差X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)时，E(X)＝np，D(X)＝eq\f(nM,N)(1－eq\f(M,N))eq\f(N－n,N－1)．考点01利用二项分布求分布列【典例01】（2324高三上·云南·阶段练习）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.

(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；(2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）先求出灯泡亮的概率，再求出灯泡亮了，并且质检员犯错误的概率，结合条件概率即可得解；（2）求出图甲中小灯泡亮的概率，再由得到相应的概率，得到分布列.【详解】（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件是合格的，前面的AB至少有一个是合格的，概率，小灯泡亮了，并且质检员犯错误的情况，对于前面的元件，分为两大类：第一类：元件合格，元件不合格，故，第二类：元件合格，元件不合格，故，所以在发现小灯泡亮了的前提下，该质检员犯错误的概率为：.（2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为，则，所以服从二项分布：，则，，，.∴的分布列为：0123【典例02】（2223高二·全国·课堂例题）如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.

【答案】答案见解析【分析】由题设分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，进而写出分布列.【详解】设“向右下落”，“向左下落”，则，因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以，的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，所以，，，，，，，，，，，所以的分布列为：012345678910【规律方法】解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．考点02服从二项分布的随机变量概率最值问题【典例03】（2014高二·全国·竞赛）已知随机变量，若使的值最大，则（

）．A．6或7 B．7或8 C．5或6 D．7【答案】A【分析】根据题意，利用二项分布的性质，以及独立重复试验的概率计算公式，结合，求得的范围，进而得到答案.【详解】因为随机变量，可得，其中，由，解得，当时，可得，所以，当时，可得，所以和的值最大.故选：A．【典例04】（2024·河北邢台·一模）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？【答案】(1)0.6(2)6【分析】（1）由独立事件的乘法概率求出即可；（2）由二项分布中最大值的计算求出即可，可设，利用组合数的性质求出即可.【详解】（1）设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为，由题意可得，所以，所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.（2）由（1）可得，设，即，所以，即，解得，又，所以时，最大.【规律方法】1.一般地，若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，其中0<p<1，则有eq\f(PX＝k,PX＝k－1)＝eq\f(n－k＋1p,k1－p)＝1＋eq\f(n＋1p－k,k1－p)(1≤k≤n)，当且仅当k≤(n＋1)p时，P(X＝k)≥P(X＝k－1)，所以P(X＝k)在(n＋1)p的左侧严格递增，右侧严格递减，故有：(1)如果(n＋1)p>n，则当k取n时，P(X＝k)最大．(2)如果(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值．(3)如果(n＋1)p是不超过n的非整数，那么当k＝[(n＋1)p]时([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，P(X＝k)最大．2.求二项分布的最值的方法：①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n.②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小．③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间．④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值．考点03二项分布的实际应用【典例05】（2024·山东·一模）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．(1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由．【答案】(1)(2)不会超过预算，理由见解析【分析】（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出和，然后利用条件概率公式求解即可；（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，50，100，200，利用二项分布求出期望，即可得结论.【详解】（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，则，，故；（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，50，100，200，则，，，，则（元），于是，故该活动不会超过预算．【典例06】（2024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望；(2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数.【答案】(1)分布列见解析，(2)3【分析】（1）确定的可能值，利用独立事件的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）确定所有可能取的值为，得出，利用二项公布的概率公式计算出各概率后可得，也可以解不等式得出结论．【详解】（1）由题意知，所有可能取的值为，，的分布列如下：1230.50.30.2；（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率，方法一：所有可能取的值为，且，，，，，，所以使得取得最大值时，整数的值为3．方法二：由得，所以，所以，所以使得取得最大值时，整数的值为3．【总结提升】1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．考点04二项分布的均值【典例07】（2024·北京石景山·一模）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木层植物名称植物类型株数酸枣灌木28荆条灌木41孩儿拳头灌木22河朔荛花灌木4臭椿乔木幼苗1黑枣乔木幼苗1构树乔木幼苗2元宝槭乔木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木层植物名称植物类型株数黄栌乔木幼苗6朴树乔木幼苗7栾树乔木幼苗4鹅耳枥乔木幼苗7葎叶蛇葡萄木质藤本8毛樱桃灌木9三裂绣线菊灌木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解；（2）根据二项分布概率公式，即可求解；（3）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.【详解】（1）表1中的灌木有株，乔木幼苗有株，共有100株，所以，所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为；（2）表2中的灌木有株，乔木幼苗有株，木质藤本有8株，抽取1株是灌木的概率为，由题意可知，,，，，，分布列如下，0123；（3）表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多，所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以.【典例08】（2324高二下·河北衡水·期中）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：年龄段人数成绩31岁40岁48139641岁50岁28102218规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高.(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案；（2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可.【详解】（1）由表格中的数据可知，成绩在的人数为，所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为.（2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为，成绩在内的人数为，则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.由题意可知，则的可能取值为，则，，，，所以随机变量的分布列为0123所以的数学期望.【总结提升】解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．2.破解此类题的关键是认真读懂题意，适当把实际应用问题转化为熟悉的数学模型，如独立事件模型、古典概型模型等，问题的解决就水到渠成．考点05二项分布的方差【典例09】（2324高三上·全国·开学考试）一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数和是3的倍数，则这次抛掷得分为3，否则得分为．抛掷n次，记累计得分为，若，则．【答案】【分析】利用古典概型概率公式可得抛掷一次，出现的点数和是3的倍数的概率，记抛掷n次抛掷出现的点数是3倍关系的次数为，则，，即可判断．【详解】由题可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果，其中出现的点数和是3倍关系的有12种等可能的结果，所以抛掷一次，出现的点数和是3倍关系的概率为，记抛掷n次抛掷出现的点数和是3倍关系的次数为，则，，由得，得，于是，．故答案为：.【典例10】（2324高二上·广西桂林·期末）某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.【答案】(1)分布列答案见解析，，(2)【分析】（1）分析可知，，由二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望和方差公式可得出的期望和方差；（2）记事件第一次抽到印有“奖”字卡片，事件第三次抽到未印有“奖”字卡片，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值，即为所求.【详解】（1）解：由题意可知，，则，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，，.（2）解：记事件第一次抽到印有“奖”字卡片，事件第三次抽到未印有“奖”字卡片，则，.由条件概率公式可得，所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为.考点06根据二项分布的均值、方差求参数【典例11】（2324高二下·江西宜春·阶段练习）设随机变量服从二项分布，且，则.【答案】/【分析】根据题意，结合二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，随机变量服从二项分布，且，可得，可得，解得.故答案为：.【典例12】（2324高二下·上海·期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，求m的值．【答案】14【分析】利用二项分布的均值公式计算即可.【详解】由题意，知，则，解得.考点07超几何分布的概率、分布列【典例13】【多选题】（2324高二下·吉林长春·阶段练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（

）A．恰有3个白球的概率为B．取出的最大号码X服从超几何分布C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为【答案】ACD【分析】利用古典概型可判定A、D，利用超几何分布的定义及概率公式可判定B、C.【详解】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确；对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，其概率为，故D正确；对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，故X不服从超几何分布，故B错误，对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，易知，显然当时，概率最大，故C正确；故选：ACD【典例14】（2324高二上·辽宁·期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则.【答案】/0.5【分析】因抽取的4人中女同学的人数为，每个女同学被抽到的可能性相同，结果有限，故符合超几何分布概率模型，利用包括的情形分别求概率再求和即得.【详解】因.故答案为：.【总结提升】求超几何分布的分布列的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；(3)用表格的形式列出分布列．考点08超几何分布的均值【典例15】（2024高三·全国·专题练习）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知可取，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望.【详解】由题意知，则，，．所以．故A正确.故选：A.【典例16】（2324高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为.(1)求的值；(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）结合组合知识利用古典概型概率公式列方程求解即可；（2）由题意得到随机变量的取值为0，1，2，3，分别求出概率，写出分布列，求出的数学期望.【详解】（1）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以，所以，解得或（舍去）；（2）由题意可能的取值为0，1，2，3，则，，，，故的分布列为：0123所以的数学期望为.考点09超几何分布的方差【典例17】（2324高二下·湖南张家界·阶段练习）袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为.(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的数学期望和方差.【答案】(1)分布列见解析(2)，【分析】（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得；（2）借助分布列计算期望与方差即可得.【详解】（1）的可能取值为、、，则，，，故其分布列为：（2），.【典例18】（2324高二下·上海·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求：(1)抽到他能答对题目数的分布列；(2)求的期望和方差【答案】(1)分布列见解析(2)期望；方差【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：（2）期望；又，方差.考点10二项分布、超几何分布的综合问题【典例19】（2223高三下·湖南常德·阶段练习）一个袋子中装有大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中随机地摸出个球作为样本，用表示样本中黄球的个数.(1)若采取不放回摸球，当，，，时，求的分布列；(2)若采取有放回摸球，当，，，时，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例，求误差不超过的概率(用分数表示).【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据题意，由超几何分布的概率计算公式，即可得到结果；（2）根据题意，由条件得到随机变量的取值，再计算概率即可.【详解】（1）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，且，，则，，，则分布列为012（2）对于有放回摸球，各次试验结果相互独立，且每次摸到黄球的概率为，服从二项分布，即，且，，样本中黄球的比例为一个随机变量，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例误差不超过的概率.【典例20】（2324高二下·北京怀柔·阶段练习）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.(1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；(2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.【答案】(1)分布列见解析；(2)分布列见解析.【分析】（1）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；【详解】（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，，所以，X的分布列为：X0123P（2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，，所以，Y的分布列为：Y0123P1．（2007·天津·高考真题）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为红球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）若“取出的4个球均为红球”，则从甲、乙两个盒内各任取2个球均为红球，结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）若“取出的4个球中恰有1个红球”，则有两种可能：“甲盒内任取2个球中有1个红球，乙盒内任取2个球中没有红球”和“甲盒内任取2个球中没有红球，乙盒内任取2个球中有1个红球”，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）记“从甲盒内任取2个球中有个红球”为事件，“从乙盒内任取2个球中有个红球”为事件，则，，故取出的4个球均为红球的概率.（2）取出的4个球中恰有1个红球的概率.2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.所以，随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.3．（2018·全国·高考真题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值件产品中恰有件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为；［方法二］：【最优解】均值不等式由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为．，当且仅当，即可得所求．（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解．一、单选题1．（2324高二上·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得.【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品，从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件，故.故选：B.2．（2223高二下·宁夏石嘴山·期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据超几何分布求解分布列，即可根据期望公式求解.【详解】随机变量可取，，，，，，故选：C3．（2324高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（

）A．4 B．3 C． D．【答案】C【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值.【详解】随机变量，由得，解得.，易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，于是时取得最大值，即最大值为.故选：C.4.（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．二、多选题5．（2324高二上·河南南阳·期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（

）A．服从二项分布 B．的值最小为1C． D．【答案】BCD【分析】随机变量服从超几何分布进而否定选项A；求得随机变量的最小值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】依题意知随机变量服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误；的所有可能取值为1，2，3，所以的值最小为1，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD6．（2024·云南贵州·二模）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（

）A． B．C．的期望 D．的方差【答案】ABCD【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布列及期望公式、方差公式求解即可.【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，又每次摸到黑球的概率为，因为是有放回地取4次球，所以，故A正确；，故B正确；根据二项分布期望公式得，故C正确；根据二项分布方差公式得，故D正确.故选：ABCD三、填空题7．（2324高三下·天津·阶段练习）元旦前夕天津中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为.【答案】/【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，8．（2024·上海虹口·二模）已知随机变量，且，则.【答案】12【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可.【详解】随机变量，，，则.故答案为：129．（2023·山东·模拟预测）已知随机变量，其中，随机变量的分布列为012表中，则的最大值为．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时，．【答案】【分析】根据题意，求得和，结合二次函数的性质，求得取得最大值，再由二项分布方差，求得，进而得到，即可求解.【详解】由题意，可得，则，因为，所以当时，取得最大值，又由