2024年中考数学最值问题模型知识点梳理

2024年中考数学最值问题模型知识点梳理汇总

最值问题1-将军饮马

将军饮马：

1.标志特点：折线段和最小、差最大问题

2.基本方法：“翻折”

3.核心思想:

①在哪找点，关于谁翻折；

②翻定（点）不翻动（点）；

③异侧和最小，同侧差最大.

4.考点：①两点之间线段最短；②点到直线垂线段最短

二.和最小：

1.模型1:如图1,A、B为定点,P为1上动点,求AP+BP最小值.

分析：①折线段和最小一“将军饮马”

②在/上找点，关于/翻折

③异侧和最小，使得AP和BP在I的不同侧，翻折定点那么翻折A、B都可以

解析:①翻折AP,则AP+BP=CP+PB涧C（两点之间线段最短）

②所求P点为BC与1的交点

2.模型2:

⑴如图2,A为定点,B、C分别为k、b上的动点，求△ABC周长最小值„,

//'>

（2）如图3,A、D为定点,B、C分别为I、12上的动点，求四边形ABCD周长最小值夕/

解析：

（1）①翻》折AB、AC贝！］AB+BC+AC=BD+BC+CE>DE0,\-------h

以、\

...最小值为DE囱;'、；

囹/E

②所求B、C为DE与I1、卜的交点.

⑵①翻折AB、DC则AB+BC+CD+AD（定值）=BE+BC+CF?EF+AD（定值）

②所求B、C为EF与I1、卜的交点.

3.模型3:如图4,A为定点,B、C分别为直线1、OA上的动点，试求AB+BC最小值.

解析:①翻折AB至DB,则AB+BC=BD+BC二DE（点到直线垂线段最短）②B、C为DE与直线1、OA的交点.

4.模型4:“将军饮马有距离”

⑴如图5,A、D为定点,B、C为直线1上两动点,BC为定值.求AB+BC+CD最小值？

（2）如图6,A、D为定点,B、C为直线11、12上的动点,BClh,求AB+BC+CD最小值?

解析：

（1）①BC为定值，只需求AB+CD最小即可;②平移AB至CE,则变成求CE+CD最小，基本将军饮马.

（2）①BC为定值,只需求AB+CD最小即可;②平移CD至BE,则变成求AB+BE最小,基本将军饮马.

一差最大

1.口诀：同侧差最大

2.图形如图1所示.A、B为定点,P为1上一动点,试求IPB-PA启勺最大值与最小值.

解析1：“最大值”

①两边只差小于第三边,IPB-PA区AB,当A、B、P三点共线时,取等号

②所以连接BA并延长与1的交点即为所求点

解析2:“最小值”

①绝对值具有非负性|PB-PA|NO,当AP=PB时成立

②P为AB中垂线与1的交点.

四.费马点：

1.标志特征：“丫”线最值

2.图形:如图3,D为AABC内部一动点,试求DADB+DC的最小值.

解析：以^ABC一边（例如AB）向外作等边三角形，连接对角线CE,则CE即为.DA+DB+DC的最小值.

证明：

Stepl:将^ABD向外旋转60°,则可得

①AD=EF;②等边ABDF-BD=DF

Step2:DA+DB+DC=CD+DF+EF>CE

最值问题2一轨迹法

轨迹法：

1.标志特点：遇"动点”，找轨迹

2.考点：①两点之间线段最短；②点到直线垂线段最短

3.轨迹类型：

①直线轨迹；

②圆轨迹；

二.轨迹找法

1.直线轨迹：

①直接看出；②瓜豆原理；③夹角定位法；7（动’

（1）主要说明：“夹角定位法”-7（^）'

如图1,1为定直线，A为1上一定点，B为动点，且AB与直线1夹角为定值，则B点的轨迹为直线L图1

【示例】如图2所示，等腰△ABC中,AB=AC,NB=3（T,D为BC上一动点以AD为边在右侧作等腰△ADE,AD=AE,ZBAC=ZD

AE,则动点E的轨迹为？£

解析:①易证△ABD^AACE（SAS）

，NACE=30。,即E点轨迹为直线B。图2°

②根据瓜豆原理，E点可以看做是D点绕A点旋转120。得到的点，则E的轨迹为BC绕点A旋卷120。的线段.

2.轨迹为圆：

①一中同长（定义）；②定角对定边（一般为90。）③瓜豆原理（动点）

（1）一中同长：如图3,动点A到定点O的距离为定值，则A点的轨迹为以O为圆心的圆.//'''i

:O（定点

、/J

、、/✓

一，

图3

【示例】如图4.矩形ABCD中,AD=1,AB=5,E为AB上一动点,连接DE并将△ADE沿着DE翻折得到4DEF,则F点的轨迹为?

解析：TAD=DF=1,

•••F是以D为圆心，1为半径的圆，由于E点从A运动到B,分析起始位置和终止位置，F的轨迹不完整，是一段弧线.

D)

图4

⑵定角对定边：“一般为90。”

如图5,A为动点.满足NA=90。,且ZA所对的边BC长度一定，则A点轨迹为以BC为直径的圆，圆心为BC的中点.

三.基本模型

1.点线轨迹：“点到直线垂线段最短”一斜二垂

如图6,A为定点,C为直线1上一动点,则ACNAB（垂线）

由此可推论：“斜二垂”

2.点圆轨迹：如图1,A为定点，B为动点（轨迹为以定点O为圆心的圆）,求AB的最大值与最小值.

解析：两边之差（第三边（两边之和,.一>?（动点）

■■d-r<AB<d+r^

即AB最大值为d+r,最小值为d-r（定点）*d。；

图1

3.线线轨迹:如图2.直线〃啊,A、B分别为。上的两个动点，求AB的最小值.

解析：“斜二垂”X（动点）1}

AB>4C,即AB最小值为AC

57病c'2

图2

4.线圆轨迹：如图3,A为圆O上动点，B为直线1上动点，则.AB>CD.

:C〕d（动点）

（动点）BD

图3

最值问题3-胡不归与阿氏圆

胡不归问题（变速问题

1.问题形式:如图1,A、C为定点,B为直线CB上一动点，求AB+kBC的最小值（l<k<0）

2.特征：动点在直线上

3.解题步骤:如图2

Stepl:异侧造RtACBT,使得sinC=k

Step2:作BT±CT,则BT=kBC,系数化“1”

，AB+kBC=AB+BT>AT'

【点拨】作图时，以BC为斜边在异侧找直角边=卜1^

二邛可波罗尼斯圆

I.问题形式:如图3,A、C为定点,B为圆O上一动点，求AB+kBC的最小值（l<k<0）

2.特征:①动点在圆上;②隐含条件:r=kOC

3.解题步骤:如图4

Step）:以BC与圆心框出△CBO,并取OT=kr（T为定点）

Step2:易证△BOT^ACOB(SAS)

/.BT=kBC

AB+kBC=AB+BT>AT

最值问题4-代数法

一.代数法

1.求函数解析式:①二次函数;②like函数（均值不等式）；

2.解题思路：以主动点作为自变量，求出函数解析式进而求得最值

二.基本函数类型：

1.二次函数:y=ax2+bx+c（a*0）

利用配方法或图像法直接求解最值，这里不作详细讲解

【例1】（2019自编）如图2,等腰△ABC中,D为BC上一动点E为AC上一动点,连接AD、DE,D、E满足N1=NB=NC,若AB=

5,BC=6,则在D移动过程中,CE的最大值为.

解析:B为主动点,即自变量,设BD为x,则CD=6-x,易证：

△ABD^ACDE,则CE=史券=言竺当x=3时,CE最大值

2.Like函数y=ax+2,这里只作ax>0,bx>0时候的探索

bx

核心技巧：均值不等式"a+b>2而，

【例2】（1）求函数y=x+5（x>0）的最小值；⑵求函数旷=6乂十]（»0）的最小值；

解析M)y=x+j>2lx-[=2,即y的最小值为2

(2)y=6x+^>2J6x-^=2V2

[例3]（2018成都B27改编）如图3,已知RtAABC中高AD=3,则A4BC面积的最小值为2.解析：B点可动，设BD为x,由射影定理可

知CD=?

■-S=l(x+^42］兄9=9

ABC图3

第5讲旋转

一、基本性质：

1、性质：①对应边相等；②对应角相等；③旋转角相等(对应边的夹角，第3个用8字)

2、必记:①转60。,两个等边4;②转90。.两个等腰直;③转120。,两个1:1:V3

3、基本模型

【模型1半角模型】

如图,已知正方形ABCD中，NMAN=45。,则有：

(1)MN=BM+DN;A/口

(2)CACMN=2x,正方形边长；

222

(3)EF=BE+DF;B~

(4)AM平分NBMN,AN平分NDNM;图

(5)A到MN距离等于正方形边长；

(6)△AEN、△AFM都是等腰直角三角形(初三证);

【模型2"丫”字模型】(略一寒假已重点讲解)

【模型3费马点】“丫”字模型的特殊转法

如图,已知△ABC,I£AABC内找一点P,使得PA+PB+PC的值最小，求最小值？尔、

Step2:连接对顶点AD,则AD即为PA+PB+PC的最小值\/

【备注】暂时记住，不需要知道为什么！Y

4、一条线段的最值问题：①点到直线垂线段最短；②两边只差〈第三边(两边之和(共线可取等)

⑴如图所示，D点从△ABC中BC边的B点运动到C点，在此过程中AD的最值为？

解析:①垂直时.即ADi为AD最小值;②越远离Di,AD越长,则此图中AB即为AD最大值.

A

(2)如图所示,AB=a,BC=b,求线段AC的最值？C

解析:a-b<AC<a+b/\DB

AaB5

【备注】三角形的确定为问题线段+旋转中心众当有90。时.旋转中心一般为斜边中点

5、旋转两种方式：

⑴转条件：①找到等长共顶点以及旋转中心；②找到想要转移的条件线段确定三角形；③构造等腰三角形进行旋转.

⑵转问题：①找到等长共顶点以及旋转中心；②找到想要转移的问题线段确定三角形；③构造等腰三角形进行旋转.

【备注】两种旋转方式优先主推旋转问题，这是最简洁的方式！

【例题展示】(2018自编)点A为线段BC外一动点,BC=3,AB=2,以AC为边作等边△ACD,连接BD,则线段BD的最大值为一

(法一)“转条件”

【思路】如图所示，利用条件AB、BC以及等长线段AC确定旋转△ABC

【解析】绕点A旋转△ABC至八AED处,易证等边4ABE（转60。,两个等边）D

・•・AB=BE=AE=2,BC=DE=3

ADE-BE<BD<DE+BE

即1<BD<5

•••3013ax=5

（法二）“转问题”

【思路】如图所示，利用条件BD以及等长线段AD确定旋转八ABD

【解析】绕点D旋转△ABD至^DCE处,易证等边4DBE（转（60。,两个等边）

.,.BD=BE=DE,AB=CE=2

•.,DC-CE<BE<DC+CE

即19ES5

A3。国ax=BE曰ax=5

第6讲几何变化之旋转

一、几何变化之旋转（“手拉手”全等逆过程）

1、标志:①等线段②共端点

1,①等线段:AB=AC;②共端点:公共端点A;③旋转:将^ABD绕点A旋转至△ACE处

【警示】线段之和必先证明“三点共线”

3、作用：转移线段、角度.

4、性质：（1）角度：对应角相等、旋转角相等；（2）对应边相等：两组等腰三角形

【点拨1】“旋转角相等”

如图2所示,△ABD当△ACE

NBAC=NDAE=NBFC（其中ZBFC需使用“8”字证明相等）

[点拨2]①旋转90。,两个等腰RtA;②旋转60°,两个等边4

（1）如图3,将^ABD绕点A旋转90。至4ACE处,则

有:①等腰R3ABC、②等腰RtAADE

☆等腰RtA:AB:AC:BC=1:1:V2

（2）如图4,将4ABD绕点A旋转60。至八ACE处,贝

有:①等边△ABC、②等边R3ADE

等边△:AB:AC:BC=1:1:1

5、常见的等线段共端点：①相等线段；②等腰三角形；③正方形；④中点；⑤斜边中线

6、解决问题：(1)线段关系：和差关系(截长补短)、平方关系(勾股定理)

⑵线段的计算

⑶问题转化

二、半角模型：(90。夹45。)

如图，已知正方形ABCD中，NMAN=45。,则有：

(1)MN=BM+DN;

(2)CCMN=2x正方形边长；

(3)EF2=BE2+DF2;

图

(4)AM平分NBMN,AN平分NDNM;10

(5)A到MN距离等于正方形边长；

(6)△AEN、△AFM都是等腰直角三角形(初三证);

【示例证明1]"MN=BM+DN”

如图11,将^ADN绕点A旋转至△ABP处

・・・ND=NABP=90。，Z1=Z2

AP=AN

VZABP+ZABM=180°

图U

・・・P、B、M三点共线(旋转辅助线要证明三点共线)

•••41+42=90°-45°=45°

AZ1+Z3=45°

NPAM=NMAN

又・.・AP=AN,AM=AM

.,.△APM也△ANM(SAS)

・・・PB+BM=MN

即MN=BM+DN

【示例证明2VEF2=BE2+DF2"

如图12,将将△ADF绕点A旋转至△ABP处,连接PE

JZADF=ZABP=45°,Z1=Z2

AP=AF

，ZPBE=90°

PB2+BE2=PE2

易证△APE之AAFE(SAS)

EF2=BE2+DF2

三、“丫”字模型:

1、“丫”字：平面内一点向三角形（主要是等腰三角形）三个顶点的连线形成的“丫”字图形.其中,a、b.c称之为“丫”线,中心点O称

之为“丫”点.

2、“丫”字的分类:

①内丫：当丫点。在三角形内部时，我们称之为内丫，如图14

②线丫：当丫点。在三角形边上时，我们称之为线丫，如图15图13

③外丫：当丫点0在三角形外部时，我们称之为外丫，如图16

3、问题类型:

⑴证明a、b、c的和差关系（含系数），利用旋转截长补短；

（2）证明a、b、c的平方关系

（3）求解线段长度及角度

4、常考三类等腰三角形：

①等边三角形；②等腰直角三角形；③120。等腰三角形；

图17gIS图19

5、重要结论：

⑴“内丫”

I）等边三角形：

等边△ABC,AB=AC;D为内部一点，当b2+a2=c?时，旋转△4B0,则有结论:

①B、D、E“不”共线;

②NADB=NAEC=90°+60°=150°;

B

II)等腰直角三角形：

等腰RtAABC,AB=AC;D为内部一点,当/+(V2a)2=c?时,旋转△ABD.则有结论:

①B、D、E三点共线；

②ZADB=ZAEC=90°+45°=135°;

III)120。等腰三角形：

等腰△ABC,AB=AC;,ZBAC=120°,D为内部一点，当b2+(V3a)2=cZ时,旋转△ABD,则有结论：

①B、D、E“不”共线；

B1，

②ZADB=ZAEC=90°+30°=120°;

⑵“线丫”

I)等边三角形：

等边△ABC,D为BC上一点,旋转△ABD至&ACE,连接DE,则有结论：

A

①/DCE=60°+60°=120°;/U

②已知a、b、c中任意两条边可以求第三条边；

II)等腰直角三角形：

等腰RtAABC中,D为BC上一点,旋转△ABD至&