2024年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学二模试卷（含详细答案解析）

2024年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学二模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.实数-：的倒数是（）

2.下列运算中，结果正确的是（）

A.x3-x3=xB.=±2

C.(%-3)2=%2-9D.6x2+3%2=9%4

3.下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）

递

4.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

正面

5.如图，△48。的三个顶点在。。上，A5是直径，点。在。。上，且乙48。=52。，贝lj

乙BCD等于（）I

A.32°

B.38°

C.52°

D.66°

6.反比例函数y=三的图象，当久＞0时，y随x的增大而增大，则左的取值范围是（）

A.k<3B.fc<3C.k>3D.fc>3

7.方程］=2:1的解为（

A.x=1B.%=2C.x=4D.%=3

8.用※定义一种新运算：对于任意实数机和“规定机※n=62—4?1,如：1X2=1?—4x2=-7,则

门※（—2）的结果是（）

9.如图，在△&BC中，D、E分别为A3、AC边上的点，DE//BC,BE与CO相交

于点F,若A。：BD=3：2,DF=2,则b的长是（）

3

D.4

10.现有两段长度相等的公路隔离护栏清洗任务，分别交给甲、乙两个环卫小组同时进行清洗.甲、乙两组

清洗的长度y（米）与清洗时间％（时）之间的函数关系的部分图象如图所示.下列说法不正确的是（）

A.甲组清洗速度每小时10米B.清洗4小时，甲、乙两组施工的长度相同

C.乙组工作5小时共清洗护栏46米D.清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

11.将数字5290000用科学记数法表示为.

12.函数y=户;■中，自变量x的取值范围是.

13.计算：-5^1=.

14.把多项式a/一9ay2分解因式的结果是.

15.不等式组的解集为.

16.在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个

球记下颜色放回.再随机地摸出一个球.则两次都摸到白球的概率为.

17.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有1个圆，第2个图形有3个圆，

第3个图形中一共有6个圆，第4个图形中一共有10个圆…按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是

个.

O&

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

18.一个扇形的圆心角为120。，弧长为6兀，则此扇形的半径为.

19.矩形ABC。中，CE平分乙BCD,交直线于点E,若CD=3,AE=1,则的长为.

20.如图，在矩形ABC。中，BC=8,E是A8上一点，连接CE,将△BCE沿

CE翻折，使8落到F处，延长EGCD交于点G.若taMBEC=2,贝UFG的

长为.

三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.（本小题7分）

先化简，再求代数式纥|-9+1-三）的值，其中a=2sin60--2tan45。.

a—1、a—r

22.（本小题7分）

如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段4B.点A、8都在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出钝角△ABC,且力B=4C；

（2）在方格纸中将线段AB绕点A逆时针旋转90。得到线段AF,连接CF,直接写出线段CF的长.

23.(本小题8分)

某校九年级一班开展以“我最喜爱的体育项目”为主题的调查活动，调查围绕“篮球、排球、羽毛球和乒

乓球，你最喜欢哪一项？(必选且只能选一项)”的问题，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条

形统计图，其中喜欢篮球运动的学生人数占所调查人数的40%.根据图中提供的信息，请解答以下问题:

(1)九年级一班共有多少名学生？

(2)计算喜欢乒乓球项目的人数；并补全条形统计图.

(3)若全校有3000人，请你估计全校喜欢排球项目的人数.

24.(本小题8分)

如图1,在口A8CD中，点E是CD中点，连接AE并延长与延长线相交于点尸，连接8。，DF.

(1)求证：BC=CF；

(2)如图2,若BD1DF,在不添加辅助线的情况下，请直接写出与线段。相等的线段.

25.(本小题10分)

某商店准备购进A、B两种纪念品.若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要94元；若购进A种纪念

品5件，8种纪念品6件，需要100元.

(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店本次购进8种纪念品的数量比购进A种纪念品的数量的3倍还少5个，购进两种纪念品的总

金额不超过710元，则该商店本次最多购进A种纪念品多少个？

26.(本小题10分)

已知四边形A8C。为O。的内接四边形，AC为直径，弦AF、8。相交于点E,连接PC,乙BAC=LDCF.

(1)如图1,求证：^DEA=90".

(2)如图2,作。HlBA,与BA的延长线交于点G,与E4的延长线交于点“，。“交O。于点N.求证：

HG=GN.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接交出)于点K,tanND”E=$EK=2ED,BC=/34,求O。的半

27.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=爪/一6znx-277n与x轴交于A、8两点，与

》轴交于点C,0C=0B.

(1)求机的值；

(2)抛物线第一象限对称轴右侧上的点，连接D4交y轴于点E,连接CD,设△CDE的面积为S,点。的

横坐标为3求S与f之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，分别过点。、点C作y轴、尤轴的平行线相交于点凡过点E作无轴平行线交抛物线于

点G,在EG的延长线上截取G”=GE,在y轴上截取CK=GE,连接KG、FH相交于点N,当

3tan/KNF=lltan/GKE时，求直线FH的解析式.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：实数V的倒数是一3,

故选：C.

根据倒数的定义进行解答即可.

本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：婷•/=/,则A符合题意；

74=2,则8不符合题意；

(x-3)2=*2-6x+9,则C不符合题意；

6%2+3%2=9久2,则D不符合题意；

故选：A.

利用同底数幕乘法法则，算术平方根的定义，完全平方公式，合并同类项法则逐项判断即可.

本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：4是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

区既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合图形的形状求解.①如果一个图形沿着一条直线对折后两部分

完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.②如果一个图形绕某一点旋转180。后能够

与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后

可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4.【答案】B

【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形.

故选：B.

根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到

的用虚线表示.

5.【答案】B

【解析】解：•.T8是。。的直径，

4ADB=90°,

•••UBD=52°,

•••Z4=90°-^ABD=38°；

•••4BCD=N4=38°.

故选：B.

由是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得NADB的度数，继而求得乙4的度数，又由

圆周角定理，即可求得答案.

此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

6.【答案】A

【解析】解：•••当》>0时，y随x的增大而增大，

・•・函数图象必在第四象限，

k—3<0,

・•.々<3,

故选：A.

根据反比例函数的性质解题.

对于反比例函数y=5(k力0),(l)fc>0,反比例函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增

大而减小；(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随尤的增大而增大.

7.【答案】B

【解析】解：±=W，

x2x—1

方程两边都乘工(2%-1),得4(2%-1)=6x,

8%—4=6x,

8x-6x=4,

2x=4,

x=2,

检验：当x=2时，x（2x—1）0,

所以分式方程的解是x=2.

故选：B.

方程两边都乘x（2x-1）得出4（2久-1）=6久，求出方程的解，再进行检验即可.

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：由题意得：门※（一2）

=）2-4x（-2）

=3+8

=11,

故选：B.

按照定义的新运算进行计算，即可解答.

本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：•••DE〃BB,

••.AADE^LABC,

.AD__DE___3__3

"'BA~~BC~3+2—丁

•••DE//BC,

DEfs匕CBF,

.DE__DF__3

••丽—而一『

C“F=­10j

故选：B.

根据DE〃BC,可得△ADESAABC,ADEFACBF,再利用相似三角形对应边成比例即可得出答案.

本题主要考查了相似三角形的判断与性质，熟练掌握相似的基本图形是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：由函数图象可知，甲组6小时清洗了60米，

甲组清洗速度每小时60+6=10（米），故A正确，不符合题意；

清洗4小时，甲组施工的长度为10X4=40（米），乙组施工的长度为30+X（4—2）=40（米），

O-Z

.•・甲、乙两组施工的长度相同，故2正确，不符合题意；

乙组工作5小时共清洗护栏30+3等x（5-2）=45（米），故C不正确，符合题意；

由函数图象可知，清洗6小时时，甲组完成60米，乙组完成50米，

・•・甲组比乙组多完成了10米，故。正确，不符合题意；

故选：C.

由函数图象可知，甲组6小时清洗了60米，故甲组清洗速度每小时10米，判断A正确；求出清洗4小

时，甲组施工的长度和乙组施工的长度，可判断8正确；求出乙组工作5小时共清洗护栏45（米），判断C

不正确；由函数图象可知，清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米，判断O正确.

本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息.

11.【答案】5.29X106

【解析】【分析】

此题考查了运用科学记数法表示较大数的能力，关键是能准确理解并运用该知识.

运用科学记数法的定义进行求解.

【解答】

解：5290000=5.29X106.

12.【答案】

【解析】解：由题意，得2%-1W0,

解得％丰

故答案为：

根据分母不为零是分式有意义的条件，可得答案.

本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式是解题关键.

13.【答案】YIU

【解析】解：原式=2，IU—YIU

=Tio.

故答案为：/To.

先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可.

本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开

方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键.

14.【答案】a(x+3y)(x-3y)

【解析】解：ax2-9ay2

—a(x2—9y2)

=a(x+3y)(x-3y),

故答案为：a(x+3y)(x-3y).

先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因

式.

15.【答案】一2<久<1

【解析】解：•.•解不等式x+2<3得：%<1,

解不等式一2%<4得：x>-2

・•.不等式组的解集是一

故答案为：—2<工<1.

先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可.

本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不

等式组的解集.

16.【答案】J

【解析】解：

红红白

红红白白红红白白红红白白

共有16种结果，两次都摸到白球的有4种结果，则概率是白=)

lo4

故答案是：J

4

先利用树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出球的颜色不同的结果数，然后根据概率公

式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件

A或B的结果数目加，然后根据概率公式求解.

17.【答案】36

【解析】解：因为第1个图形中一共有1(个)圆,

第2个图形中一共有1+2=3(个)圆，

第3个图形中一共有1+2+3=6（个）圆，

第4个图形中一共有1+2+3+4=10（个）圆；

可得第〃个图形中圆的个数是1+2+3…+几=当由（个）；

所以第8个图形中圆的个数竽=36（个）.

故答案为：36.

根据图形得出第n个图形中圆的个数是+1）+2进行解答即可.

_几）目

本题考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到第”个图形中圆的个数是1+2+3…+n5+1

~2

解决本题的关键.

18.【答案】9

【解析】解：.4=黑，

loU

180Z180x6TT

...T—-------=--------------=9

TOT120TT

故答案为：9.

根据弧长公式1=黑，可得r=幽，再将数据代入计算即可.

180H7T

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：1=黑（弧长为/,圆心角度数为”,圆的半径

为「）.

19.【答案】4或2

【解析】解：如图，

•••四边形A8CD是矩形,

AD//BC,BC=AD,

•••乙DEC=乙BCE,

•・•CE平分NBC。，

・•.Z.DCE=Z-BCE,

Z.DCE=乙DEC,

DE=CD=3,

•••AE=1,

AD=3+1=4,

・•.BC=AD=4；

,•・四边形ABCD是矩形，

:・AD“BC,BC=AD,

•••乙DEC=/-BCE,

•・•CE平分NBC。，

•••Z-DCE=Z.BCE,

•••Z-DCE=乙DEC,

DE=CD=3,

•••AE=1,

AD=3-1=2,

BC=AD=2,

BC的长是4或2.

故答案为：4或2.

分两种情况，由矩形的性质，角平分线定义推出DE=CD,求出的长，即可得到BC长.

本题考查矩形的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定，关键是要分两种情况讨论.

20.【答案】6

【解析】解：由折叠得：乙FEC=4BEC,

•••四边形ABC。是矩形，

AB//CD,

・•.Z.BEC=Z-ECG,

Z.ECG=Z.FEC,

EG=CG,

Z-B=90°,tanZ.BEC=2,

BC。

••・一=2,

BE

•••BC=8,

・•.BE=4,

由折叠得：EF=BE=4,FC=BC=8,

设FG=x,则CG=EG=4+汽，

在Rt△GFC中，

由勾股定理，得CG?=改；2+。产，

(4+%)2=%2+82,

解得％=6,

・•.FG=6.

故答案为：6.

证明=根据等角对等边可得EG=CG,设GF=%,贝1JCG=EG=4+%,在中，由

勾股定理列方程可得％的值.

本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质和勾股定理的应用，证明出EG=CG是解题的关键.

21.【答案】解：容+(a+l—三)

a—1a—r

CL-2(a+1)[CL—1)—3

CL—1a—1

ct—2CL—1

a—1a2—1—3

CL—2

(a+2)(a—2)

—a+2J

当a=2sin60°-2tan45°=2X空—2*1=质-2时，原式=-^――=£

2V3-2+23

【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值的代入化简后的式子计算即可.

本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

22.【答案】解：(1)由勾股定理得，4B=V32+42=5.

如图，钝角△ABC即为所求.

(2)画出AF如图所示，

由勾股定理得，CF=V12+32=/10.

【解析】(1)由勾股定理得AB=5,结合钝角三角形的定义画图即可.

(2)根据旋转的性质作图，再利用勾股定理计算即可.

本题考查作图-旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、钝角三角形的定义是解答本题的关

键.

23.【答案】解(1)20+40%=50(人)，

答：九年级一班共有50名学生.

(2)50-20-12-8=10(人)，

补全条形统计图如下：

12

(3)3000x1^=720(A)-

答：估计全校喜欢排球项目的人数约有720人.

【解析】(1)由“篮球”人数及其所占百分比可得总人

数；

(2)根据各项目人数之和等于总人数求出“乒乓球”人数即可补全图形；

(3)总人数乘以样本中喜欢排球项目的人数所占比例即可.

本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形

统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

24.【答案】(1)证明：•.•四边形A8CZ)是平行四边形,

AD=BC,ADIIBC,

•••4ADE=Z.FCE,Z.DAE=Z.CFE,

・••点E是CO中点,

DE=CE,

在AZDE和AFCE中,

Z-DAE=Z-CFE

乙ADE=乙FCE,

、DE=CE

•••△ADE丝△FCE(A4S),

・•.AD=CF,

・•.BC=CF；

(2)解：与线段CO相等的线段有8C、CF、AD.AB,理由如下：

••・四边形ABCD是平行四边形，

•••AB=CD,AD=BC,

由(1)知，BC=CF,

•・,BD1DF,

1

CD=^BF=BC=CF,

.・.BC=CF=AD=AB=CD,

••・线段a)相等的线段有BC、CF,AD,AB.

【解析】(1)根据平行四边形的性质得出力。=BC,ADI/BC,结合平行线的性质利用AAS证明△力

FCE,根据全等三角形的性质即可得证；

(2)根据平行四边形的性质得出力B=CD,AD=BC,再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

求解即可.

此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行四边形的性质、全等三角形的判

定与性质是解题的关键.

25.【答案】解：(1)设购进A种纪念品每件需尤元，8种纪念品每件需y元，

根据题意得:朦需。

解得宿。，

答：购进A种纪念品每件需8元，8种纪念品每件需10元；

(2)该商店本次购进A种纪念品a个，

根据题意得：8a+10(3a-5)<710,

解得a<20,

答：该商店本次最多购进A种纪念品20个.

【解析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，8种纪念品每件需y元，根据购进A种纪念品8件，8种纪念

品3件，需要94元；购进A种纪念品5件，2种纪念品6件，需要100元得：朦:北二;;0，即可解得

答案；

(2)该商店本次购进A种纪念品。个，根据购进两种纪念品的总金额不超过710元得：8a+10(3a-5)<

710,解得。的范围，即可得到答案.

本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和一元一

次不等式.

26•【答案】(1)证明：:AC为直径,

/-AFC=90",

•••ZXDC+BDC=90°.

Z.BAC=Z.BDC,Z-BAC=Z.DCF,

Z.BDC=Z.DCF,

・•.BD//CF,

Z.AEB=Z.AFC=90°,

・•・2LDEA=90°；

(2)证明：连接AN、DF,如图，

DG1AB,

AAGH=90°,

设zJ/=a,

Z.GAH=90°一乙H=90°-a,

・•.Z.FAB=乙FDB=乙GAH=90°—a,

•・•乙DEA=90°,

・••乙DEF=180°-/-DEA=90°,

•••Z-DFA=90°—Z-FDB=a.

•••Z.H=Z.DFA=a,

•••四边形ANDb为。。的内接四边形,

・•・^DNA+Z.DFA=180°,

•・•乙DNA+乙HNA=180°,

•••乙HNA=Z.DFA—a.

・••乙HNA=乙H,

・•.AN=AH,

-AG1DH,

・•.HG=GN；

(3)解：连接ORCF,如图，

由(2)得：乙DHF=ZJ)FH,

DH=DF,

•••ADEA=90°,

DE1HF,

・•.HE=FE,

・・•AC为直径，

•••Z-AFC=90°,

作CR1DB于点R,

•••乙REF=乙EFC=乙ERC=90°,

・•・四边形/以。为矩形，

・•.ER=FC,EF=RC=EH,

在和△KRC中，

2HEK=乙CRK=90°

乙HKE=Z.RKC,

、HE=CR

.•山HEK义工KRC(AAS),

・•.EK=KR.

•••四边形。尸C8为。。的内接四边形,

・•・^LBDF+^FCB=180°,

•・•FC//BD,

・•・乙FCB+乙DBC=180°,

Z-DBC=Z-BDF,

在△DEF和△CRB中，

2BDF=乙CBD

乙DEF=乙CRB=90°,

£F=RC

.♦心DEF会二CR8Q4AS),

•••DE—RB,

・,・设DE=RB=a,

DE1

•・•乙DEH=90°,tanzDHE=

HE。3

HE=3a,

CR=HE—3a,

•・•EK=2ED=2a,

.・.KR=EK=2a,

DR=DE+EK+KR=5a,

•・•Z.DRC=90°,

,nvRC3

t3nz.7?DC=UK=—5»

•••AABC=90°,

nr

・・=器,

•tan^BACAB

Z-RDC=Z.BAC,

3

•••tanZ-BAC=tanZ-RDC—

tanZ.BAC=洛

AB

AB=1734,

--------------44

•••AC=yjAB2+BC2=y,

117

•••℃=/=T

【解析】(1)利用圆周角定理，平行线的判定与性质解答即可;

(2)连接AMDF,设N”=a,利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的判定与性质解答

即可；

(3)连接。F、CF,作CR1DB于点R,利用圆周角定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得

到。E=RB,设DE=RB=a,则HE=3a,DR=5a,利用直角三角形的边角关系定理求得tan乙RDC=

落=,，在直角三角形中，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可得出结论.

本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性

质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，恰当的添加

辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键.

27.【答案】解：(1)对于抛物线y=mx2—6mx—27m,

当y=0时，mx2-6mx—27m=0,

•••znW0,

•••%2—6x—27=0,

解得：=-3,冷=9,

・・・/(一3,0)、8(9,0),

OB=904=3,

•••OC=OB,

OC=OB=9,

・•・C(0,9),

将点C(0,9)代入抛物线y=mx