用样本估计总体-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第2课时用样本估计总体

［考试要求］i.会用统计图表对总体进行估计，会求〃个数据的第2百分位

数2能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.3.掌握分层随机抽样的

样本方差.

［链接教材•夯基固本】落实主干•激活技能

❶梳理•必备知识

1.众数、中位数、平均数、百分位数

样本数据频率分布直方图

众数一组数据中，出现次数最多的数据取最高的小矩形底边中点的横坐标

把一组数据按从小到大的顺序排把频率分布直方图划分为左右两个

中位

列,处在中间位置的一个数据(或最面积相等的部分,分界线与X轴交

数

中间两个数据的平均数)点的横坐标

平均每个小矩形的面积乘小矩形底边空

样本数据的算术平均数

数点的横坐标之和

一般地，一组数据的第夕百分位数

对于数据组［a,b),a以下的数据比

是这样一个值，它使得这组数据中

百分例为机％,b以下的数据比例为〃％,

至少有2％的数据小于或等于这个

位数若则第P百分位数为a+(b

值，且至少有(100—p)%的数据大

-a)'—

1九一TH

于或等于这个值

2.计算一组〃个数据的第P百分位数的步?聚

第1步，按从小到大排列原始数据:

第2步，计算i=fiXp%；

第3步，若z,不是整数，而大于z,的比邻整数为力则第夕百分位数为第工项数据;

若i是整数，则第p百分位数为第z•项与第(i+1)项数据的平均数.

3.四分位数

(1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到

大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.

⑵第组百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第五百分位数又称第三四

分位数或上四分位数.

4.总体离散程度的估计

(1)方差和标准差

假设一组数据是XI,X2,…，X”，用牙表示这组数据的平均数，称(久「无白为

ni=i1

这组数据的方差，也可以写成W=2的形式;称为这组数据的

标准差.

(2)总体方差和标准差

①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为％,力，…，自，总体平均数为

Y,则总体方差屋一9.

1=1

②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有网上W2V)个，不妨记为H,

12,…，Yk,其中匕出现的频数为九«=1,2,…，左)，则总体方差为窿=

TV*/「：总体标准差：s=V^.

Ni=l

(3)样本方差和标准差

如果一个样本中个体的变量值分别为以，芹，…，»，样本平均数为小则称?

='七(兀-为样本方差，5=行为样本标准差.

ni=i1

［常用结论］

平均数、方差的公式推广

(1)若数据xi,X2,,,,,X”的平均数为元，那么加xi+a,mxi+a,mx?,+a,,,,,mxn

+a的平均数是mx+a.

(2)数据Xl,X2,,,,,X〃的方差为$2.

①数据XI+Q,xi+a,•••,的方差也为£;

②数据an,axi,…，ax”的方差为咫记.

€＞激活-基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“，错误的打“义”)

⑴平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()

(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.()

(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越

高.()

(4)任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的.()

［答案］(1)V(2)X(3)V(4)V

二、教材经典衍生

1.(人教A版必修第二册P206探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋

势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，b,C,

d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是()

abcd

A.。为中位数，6为平均数，。为平均数，d为中位数

B.a为平均数,b为中位数，c为平均数，d为中位数

C.。为中位数，b为平均数，。为中位数，d为平均数

D.。为平均数，6为中位数，c为中位数，d为平均数

A［在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个

小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和近似代替，结合两个频率分布直

方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数.故选A.］

2.(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品的

质量(单位：kg)分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,

15.8,15.4,则所给数据的第25,50,75百分位数分别是.

13.7,14.7,15.3［将12个数据按从小到大排序：13,13.5,13.6,13.8,14,

14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8.

由z=12X25%=3,得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的

平均数，即坐詈=13.7；

由z=12X50%=6,得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的

平均数，即竺产=14.7;

由z=12X75%=9,得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的

平均数，即15.2广.4=］53］

3.(人教A版必修第二册P215练习T2改编)一组数据的平均数是28,方差是4,

若将这组数据中的每一个数据都加上20,得到一组新数据，则所得新数据的平

均数是,方差是.

484[设该组数据为Xl,X2,…，Xn,

则新数据为阳+20,X2+20,…，Xn+20,记新数据的平均数为

因为元=/+犯+-+。=28,所以元，=XI+2°+X2+20+-+.+20=20+28=48.

nn

因为^2—-[(Xl—%)2+(X2-%)2H-----\~(Xn~X)2],

222

所以{[XI+20-(X+20)]+[X2+20-(X+20)]H-----F[x„+20-(x+20)]}

=52=4.]

4.(人教A版必修第二册P198练习Ti改编)为了了解全民对足球的热爱程度，组

委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查

评分，将得到的分数分成6段：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,

95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.图中部分数据丢失，若已知

这1000名观众评分的中位数估计值为87.5,则m=.

0.02[由题可知,5(^+0.025+0.03)+(87.5-85)X0.05=0.5,解得加=0.02.]

[典例精研•核心考点]重难解惑•直击高考

□考点一总体百分位数的估计

[典例1]⑴某中学高一年级10位女生的身高(单位:cm)数据为148,155,157,

159,162,163,164,165,170,172,则数据的第50,75百分位数分别为()

A.162,165B.162.5,164.5

C.162,164.5D.162.5,165

(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理

后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是

.(结果保留两位小数)

频率/组距

0.03：-----------------------

0.02257----------------------------

0.015：-----------------

0.01—

0.005---L----------------------------I__

0.0025无T-十一卜一十一T-H~~।-----►

08090100110120130140150

(1)D(2)124.44[⑴由题意，该数据已经从小到大排列，10X50%=5,10X75%

=7.5,所以第50百分位数为空普=162.5,第75百分位数为165.故选D.

(2)由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015

+0.015+0.03)X10X100%=70%,分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01

+0.015+0.015+0.03+0.0225)X10X100%=92.5%,

因此，80%分位数一定位于[120,130)内.

因为120+"0-07°xio=i24.44,

0.925-0.70'

所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.]

【教师备选资源】

已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法正确的是()

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均

数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均

数

C[因为100X75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第

75百分位数，是9.3,则C正确，其他选项均不正确，故选C.]

名师点评

1.计算一组〃个数据的第P百分位数的一般步骤

第一步〉一按从小到大排列原始数据

第二'爰＞---计算i="Xp%

若，不是整数，而大于，的比邻整数为j,

小、「则第P百分位数为第j项数据

第三裳-------

_若，是整数，则第p百分位数为第，项与

第G+1)项数据的平均数

2.频率分布直方图中第夕百分位数的计算

(1)确定百分位数所在的区间［a,b).

(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为八%,九%,则第夕百分位数

为a-\P%—fa%X(b—a).

［跟进训练］

1.(1)(2023•山东滨州二模)某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组

样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为XI,X2,X3,则XI,X2,X3的大

小关系是(注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替)()

A.X3<X1<X2B.X2<X1<X3

C.Xl<X3<X2D.X\<X2<X3

(2)(2023•河北邯郸一模)身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是

国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.某校为了解该校学生

的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI

指数分别是15,15.3,15.6,15.9,16.2,16.6,17.5,17.8,18.2,18.7,19.3,

19.5,20.3,21.1,21.5,22.7,22.9,23.1,23.4,23.5,则这组数据的第65百

分位数是.

(1)A(2)20.7［(1)由频率分布直方图可知众数为等=2.5,即xi=2.5,平均数

X2=0.2X1.5+0.24X2.5+0.2X3.5+0.16X4.5+0.12X5.5+0.04X6.5+

0.04X7,5=3.54,

显然第一四分位数位于［2,3)之间，

则0.2+(%3—2)><0.24=0.25,解得X3心2.208,

所以.故选A.

(2)因为20X0.65=13,

所以这组数据的第65百分位数是竺出=20.7.］

考点二总体集中趋势的估计

［典例2］某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20

人，将他们的得分按照［0,20),［20,40),［40,60),［60,80),［80,100］分组,

绘成频率分布直方图(如图).

♦频率/组距

0.0150-------------

0.0125---------------------

0.0075f---,一

0.0050—

020406080100得分

⑴求X的值；

(2)分别求出抽取的20人中得分落在［0,20)和20,40)内的人数；

(3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数.

［解］(1)由频率分布直方图的性质得：

(0.0050+0.0075+x+0.0125+0.0150)X20=1,

解得x=0.0100.

(2)由频率分布直方图能求出：

得分落在［0,20)内的人数为20X0.0050X20=2,

得分落在［20,40)内的人数为20X0.0075X20=3.

(3)所有参赛选手得分的平均数为：

0.0050X20X10+0.0075X20X30+0.0150X20X50+0.0125X20X70+0.010

0X20X90=56.

设所有参赛选手得分的中位数为a,

170

则0.0050X20+0.0075X20+0.0150X(fl-40)=0.5,解得a=(.

所有参赛选手得分的众数估计值为竺罗=50.

名师点评频率分布直方图的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积

的和.

［跟进训练］

2.(1)(2023•山东济南二模)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整

数)形成的一组数据中，中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的

平均数为()

A.7.6B.7.8

C.8D.8.2

(2)有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，

共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这

13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是.(填“众数”“中位

数”或“平均数”)

(1)B(2)中位数［(1)依题意这组数据一共有5个数，中位数为8,则从小到大

排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9,则有两个9,其

余数字均只出现一次，则最大数字为9,又极差为3,所以最小数字为6,所以

这组数据为6,7,8,9,9,所以平均数为6+7+；+9+9=73.故选B.

(2)因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的

分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖.］

【教师备选资源】

一组数据XI,X2,X3,…，X”的平均数为无，现定义这组数据的平均差。=

|%1一元|+|%2一元1+1%3一元1+一元I

n

如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图：

甲组数据频率分布折线图乙组数据频率分布折线图

根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差A,。2的大小关系是()

A.Di<D?B.D\=I)2

C.DI>D2D.无法确定

C［由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.甲、乙

两图的纵坐标表示的为频率/组距，反映了各组样本数据的疏密程度，甲图中，

数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处值的区

间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小.故选C.］

口考点三总体离散程度的估计

［典例3］(2023•全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理

效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机

地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸

缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为%w(i=l,2,…，

10),试验结果如下：

试验

序号12345678910

Z

伸缩

545533551522575544541568596548

率方

伸缩

536527543530560533522550576536

率"

记©=第一yi(z,=l,2,…，10),zi,Z2,…，2io的样本平均数为N,样本方差为

(1)求Z,$2；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率

是否有显著提高如果ZN2品，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工

艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高.

［解］(1)由题意，求出的值如表所示，

试验序号Z12345678910

Zi968-8151119182012

则2=3><(9+6+8—8+15+11+19+18+20+12)=11,

^=^X[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19

-ll)2+(18-ll)2+(20-ll)2+(12-ll)2]=61.

(2)因为2《=2倔1=内4,Z=11=V12T>V244,

所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸

缩率有显著提高.

名师点评标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方

差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小.

［跟进训练］

3.⑴已知数据Xl,X2,X3,X4,X5,X6的平均数是5,方差是9,则好+《+遥+琳+

好+照=()

A.159B.204

C.231D.636

(2)已知某7个数的平均数为4,方差为2.现加入一个新数据4,此时这8个数

的平均数为总方差为则()

A.x=4,s2<2B.x=4,s2>2

C.x>4,s2<2D.x>4,s2>2

(1)B(2)A［(1)根据题意，数据XI,X2,X3,X4,X5,X6中，平均数斤=5,方差

$2=9,

则52=-1(%1+%2+%3+%4+%5+胞)一炉=9,

所以好+靖+超+琢+蛙+就=204,故选B.

(2)因为某7个数的平均数为4,所以这7个数的和为4X7=28.因为加入一个

新数据4,所以枳=竽=4.又因为这7个数的方差为2,且加入一个新数据4,

所以这8个数的方差52=7*2+；4-4).=2.故选A.］

【教师备选资源】

1.(多选)(2021•新高考n卷)下列统计量中，能度量样本XI,X2,…，x“的离散

程度的有()

A.样本Xl,X2,…，X”的标准差

B.样本XI,X2,…，X”的中位数

C.样本XI,X2,…，X”的极差

D.样本XI,X2,…，羽的平均数

AC［中位数是反应数据的变化，

标准差是反应数据与均值之间的偏离程度，

极差是反映最大值与最小值之间的差距，

平均数是反应数据的平均水平，

故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差.故选AC.]

2.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82,方差为10.2,

则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）

A.100B.85

C.65D.55

D匚、2=£（七-%）=]0.2,〃=40,

n

40

:.｛（修一元）2=10.2X40=408.

i=i

40

若存在x=55,则（x—幻2=（55—82）2=729>408=工ji）2,

i-i

导致方差必然大于10.2,不符合题意.

・・・55不可能是该班数学成绩.故选D.]

课时分层作业（七十）用样本估计总体

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（PM2.5）的观测值：

396275268225168166176173188

168141157

若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变

的是（）

A.极差B.中位数

C.众数D.平均数

C[根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大

值变为396+25=421,极差为最大值与最小值的差，会发生改变，加入数据前，

中位数为三；176=]74.5,加入数据后，中位数为176,发生改变，众数为数据中

出现次数最多的数，不会改变，平均数体现数据的整体水平，会发生改变.故选

C.]

2.（2023・临沂一模）某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进

行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是（）

件数7891011

人数37541

A.8.5B.9

C.9.5D.10

C[抽取的工人总数为20,20X75%=15,那么第75百分位数是所有数据从小

到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9,

10,所以第75百分位数是等=9.5.

故选C.]

3.（2024•山西大同开学考试）一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,5,6,

m,10,12,13,若该组数据的中位数是极差的1则该组数据的第60百分位数

O

是（）

A.7.5B.8

C.9D.9.5

C[这组数据一共8个数，中位数是学，极差为13—1=12,所以学=12X"

228

解得机=9,又8X60%=4.8,则第60百分位数是第5个数据9.故选C.]

4.（2024•天津模拟）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干

部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.如图是

该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图.则下列关于这次考试成绩的估计

错误的是（）

o707580859095100分数

A.众数为82.5

B.中位数为85

C.平均数为86

D.有一半以上干部的成绩在80〜90分

C[由频率分布直方图知，众数为82.5,A正确；

由(0.01+0.03+0.06)X5=0.5,即中位数为85,B正确；

由(0.01X72.5+0.03X77.5+0.06X82.5+0.05X87.5+0.03X92.5+

0.02X97.5)X5=85.5,C错误；

由(0.06+0.05)X5=0.55>0.5,则有一半以上干部的成绩在80〜90分之间，D正

确.

故选C.]

5.(2022•全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为

了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份

垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：

正确率/%

100-

95-

90-

85-

80-*讲座前

75-•讲座后

70-

65-

60/

456

居民编号

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

B[讲座前中位数为7°%[5%>70%,A错误；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,

所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,B正确；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于

讲座后正确率的标准差，C错误；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,D错误.

故选B.]

6.（2024•安徽合肥模拟）若一组样本数据xi,也,…，羽的平均数为10,另一

组样本数据2xi+4,2取+4,…，2x〃+4的方差为8,则两组样本数据合并为一

组样本数据后的平均数和方差分别为（）

A.17,54B.17,48

C.15,54D.15,48

n・

A[由题意可知，数据Xi,X2,…，均的平均数为10,贝I二，「，=10%

所以数据2xi+4,2改+4,…，2x〃+4的平均数为

nn

x=一):(2%j+4)=—>:无(+4=2X10+4=24,

t=li=l

nnn

方差为s2=[(2阳+4)—(2元+4)f=®_10)2=好一

i=li=li=l

itn

X102=“1[-400=8.所以2父=102〃，将两组数据合并后，新数据XI,

X2,•xn,2x1+4,2x2+4,…，2x„+4的平均数为

nnn

11V1、

XO，+W（2i）=5x_)(z3x+4)

2几乙z

-i=li=li=l

1

中咨+4）=-(3x10+4)=17,

nn

方差为s—17)2+2(2/+4—17)2

2n乙

-i=li=l

nn

(Xi—86W+458n

i=li=i<

=《(5X102〃一860〃+458〃)=54.故选A.]

二、多项选择题

7.（2023•新高考I卷）有一组样本数据xi,X2,…，X6,其中xi是最小值，■%是

最大值，则（）

A.X2,X3,X4,X5的平均数等于Xl,X2,…，X6的平均数

B.X2,X3，X4,%5的中位数等于Xl，X2,…，％6的中位数

C.%2,%3,%4,%5的标准差不小于Xl,%2,…，、6的标准差

D.X2,%3,X4,X5的极差不大于XI,XI,…，％6的极差

BD[取Xl=l,X2=X3=X4=X5=2,X6=9,则X2,X3,X4,%5的平均数等于2,

标准差为0,XI,X2,…，X6的平均数等于3,标准差为怪=孚，故A,C均不

733

正确；根据中位数的定义，将XI,X2,…，X6按从小到大的顺序进行排列，中位

数是中间两个数的算术平均数，由于XI是最小值，X6是最大值，故X2,X3,X4,

X5的中位数是将X2,X3,X4,X5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均

数，与XI,X2,…，X6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知X2,X3,

X4,X5的极差不大于XI,X2,…，X6的极差，故D正确.综上，故选BD.]

8.病毒研究所检测甲、乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频

率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（）

A.甲组数据中位数大于乙组数据中位数

B.甲组数据平均数小于乙组数据平均数

C.甲组数据平均数大于甲组数据中位数

D.乙组数据平均数小于乙组数据中位数

BCD[根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知，甲组的平均数大于中位数,

且都小于7,

同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7,

故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，A错误；

甲组数据平均数小于乙组数据平均数，B正确；

甲组数据平均数大于甲组数据中位数，C正确；

乙组数据平均数小于乙组数据中位数，D正确.

故选BCD.]

三、填空题

9.(2023•辽宁葫芦岛二模)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,

他们分别射击了5次，成绩如表(单位：环)：

甲108999

乙1010799

如果甲、乙只有1人能入选，则入选的最佳人选应是.

1

甲[甲的平均数为元甲=/10+8+9+9+9)=9,

乙的平均数为无乙=310+10+7+9+9)=9,

甲的方差为耳W[(10—9)2+(8—9)2]=|,

乙的方差为S；巧(10—9)2X2+(7—9)2]=/

：元甲=无乙，甲、乙的平均水平相同，

・•・sjVs；,...甲的成绩稳定，故甲入选.]

10.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7,6,8,9,

8,7,10,初若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(l<m<10)

的值可以是(写出一个满足条件的m值即可).

7或8或9或10(填上述4个数中任意一个均可)

[7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉切，该组数据从小到大排列为：6,7,7,8,

8,9,10,则7X0.25=1.75,故第25百分位数为第二个数即7,所以7,6,8,

9,8,7,10,m,第25百分位数为7,而8X0.25=2,所以7为第二个数与第

三个数的平均数，所以机(IWmWIO)的值可以是7或8或9或10.]

四,解答题

11.(2024•湖南永州模拟)某地旅游主管部门为了更好地为游客服务，在景区随

机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：[70,75),[75,80),

[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],绘制如图所示频率分布直方图.

频率/组距

o6

0.o5

0.O4

0.

0707580859095100分数

(1)已知样本中分数在[80,85)的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并

估计第75百分位数；

(2)已知样本中男游客与女游客比例为3：2,男游客样本的平均值为90,方差为

10,女游客样本的平均值为85,方差为12,由样本估计总体，求总体的方差.

[解](1)由频率分布直方图，可得分数在[85,100]内的频率为(0.06+0.05+

0.04)X5=0.75,

所以分数在[85,100]内的人数为100X0.75=75,

所以分数小于80分的人数为100—75—15=10,

由题意可设第75百分位数为x,其中x£[90,95),则1—(0.05X5+0.04X5)+(x

-90)X0.05=0.75,解得x=94,

故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94.

(2)由已知可得总样本平均值为-免+/Ly=&X90+--X85=88,

m+nm+n2+32+3

又由§2=扁[s&+(z-%)2]+a[S&+Q—y)2]

2c2-4242A4

22

=^[10+(88-90)]+—[12+(88-85)]=T+T=T，

所以用样本估计总体，总体的方差为费.

[B组在综合中考查关键能力]

12.(2024•云南昆明双基检测)某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清

凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制

饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数，做前期的

市场调查来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4

万人即停止预约.以下表格是160天内进入沙滩的每日人数(单位：万人)的频数

分布表.

人数/

[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]

万

频数/

881624a4832

天

(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图(用阴影表示)，并求出。

的值和这组数据的65%分位数;

频率/组距

0

1.05

1.7

10

.255

1

0

1Q

5

o.70

O.255

0020.40.60.81.0L21.4人数/万

⑵据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，x（单位：个）

为进入该沙滩的人数（X为10的整倍数.如有8006人，则X取8000）.每杯饮

品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备

1000杯饮品，记y为该店每日的利润（单位：元），求y和X的函数关系式；

（3）以频率估计概率,求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.

［解］（1）由题意，8+8+16+24+^+48+32=160,解得。=24.

e工8+8+16+24+24.-8+8+16+24+24+48.

因为一面一二°5-------荷-----=°8o

所以65%分位数在区间［L0,1.2）上，

则65%分位数为1.0+0.2X*"=l.L

0.8—0.5

画出频率分布直方图如图所示.

举频率/组距