2024-2025学年新教材高中数学课时检测20函数的单调性含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE5函数的单调性[A级基础巩固]1．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是()A．(－∞，－1) B．(－3，－1)C．(0，1) D．(1，3)解析：选BC因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满意－2<|x|<3，所以－3<x<3.又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，0≤x<3，,－x2－2x＋1，－3<x<0，))且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1)．故选B、C.2．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是()解析：选B对于A，函数分别在(－∞，1)及[1，＋∞)上单调递增，但存在x1∈(0，1)，使f(x1)>f(1)，故A不符合题意；对于C，函数分别在(－∞，1)及(1，＋∞)上单调递增，但存在x1>1，使f(x1)<f(1)，故C不符合题意；对于D，函数分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但存在x1＝－1，x2＝1，使f(x1)<f(x2)，故D不符合题意；只有B符合题意，故选B.3．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上()A．单调递减 B．单调递增C．先减后增 D．先增后减解析：选C作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f(x)在[－3，0]上先减后增．4．(2024·山东烟台高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，A(0，1)，B(2，－1)是其图象上的两点，则不等式|f(x－1)|>1的解集为()A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选D据题意可知f(0)＝1，f(2)＝－1.∵f(x)是R上的单调函数，∴f(x)在R上单调递减．由|f(x－1)|>1得，f(x－1)<f(2)或f(x－1)>f(0)．∴x－1>2或x－1<0，解得x>3或x<1.∴原不等式的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选D.5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则()A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1)C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2)解析：选D二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)．6．已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图所示．依据图象写出y＝f(x)的单调递减区间为________．解析：由题图可知f(x)在[－2，6]上的单调递减区间为[－1，2]．答案：[－1，2]7．函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝eq\f(a（x＋2）－2a＋1,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，依题意有1－2a<0，即a>eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))8．函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________．解析：由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<2m<2，,－2<－m＋1<2，,2m>－m＋1，))解得eq\f(1,3)<m<1.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))9．推断并证明函数f(x)＝－eq\f(1,x)＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f(x)＝－eq\f(1,x)＋1在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的随意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x1)＋1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)＋1))＝eq\f(x1－x2,x1x2)，由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，又由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝－eq\f(1,x)＋1在(0，＋∞)上单调递增．10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x∈[0，2]，,\f(4,x)，x∈（2，4].))(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的单调递减区间．解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示．(2)由函数f(x)的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4]．[B级综合运用]11．(多选)定义[x]为不大于x的最大整数，对于函数f(x)＝x－[x]有以下四个结论，其中正确的是()A．f(2021.67)＝0.67B．在每一个区间[k，k＋1)(k∈Z)上，函数f(x)都是增函数C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))D．y＝f(x)的定义域是R，值域是[0，1)解析：选ABD在A中，f(2021.67)＝2021.67－2021＝0.67，故选项A正确；在B中，任取x∈[k，k＋1)，则x＝k＋t，0≤t<1，因此f(x)＝k＋t－k＝t＝x－k是增函数，故选项B正确；在C中，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝－eq\f(1,5)－(－1)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(1,5)－0＝eq\f(1,5)，而eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，故选项C错误；在D中，明显f(x)的定义域为R，任取x∈[k，k＋1)(k∈Z)，则f(x)＝x－k∈[0，1)，故选项D正确．故选A、B、D.12．已知函数f(x)是R上的增函数，对随意实数a，b，若a＋b>0，则有()A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)解析：选A∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选A.13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋5，x≤1，,－2x＋a，x>1))是减函数，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.故实数a的取值范围为(－∞，5]．答案：(－∞，5]14．已知函数f(x)＝eq\f(3x＋7,x＋2).(1)推断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满意f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝eq\f(3x＋7,x＋2)＝3＋eq\f(1,x＋2)，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1>x2>－2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,x1＋2)－eq\f(1,x2＋2)＝eq\f(x2－x1,（x1＋2）（x2＋2）)，因为x1>x2>－2，所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递减．(2)由(1)可知，当x∈(－2，2)时，函数f(x)单调递减，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<－2m＋3<2，,－2<m2<2，,－2m＋3<m2，))解得1<m<eq\r(2)，所以m的取值范围为(1，eq\r(2))．[C级拓展探究]15．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围．解：(1)证明：由题意知f(x)＝eq\f(x,x＋2).∀x1，x2∈(－∞，－2)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）)∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x