2024年新高考考前押题卷（新高考卷新题型结构）

2024年新高考考前押题密卷

高三数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合4=｛刈＜1＜9｝,3=[卜2，＜41,则AB=()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-3,-2)u(2,3)D.(-2,-l)u(l,2)

2.某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差

为4,宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8,人事部门有10人，平均工资为3千元，方

差为6,则该公司所有员工工资的方差为()

A.6.2B.6.4C.6.6D.6.8

3.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求

每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有()

A.72种B.48种C.36种D.24种

4.已知P是正六边形ABCD跖边上任意一点，CF=4,则尸尸.PC的取值范围为()

A.[0,1]B.[-1,0]C.[-2,0]D.[M,0]

5.已知各项均为正数的数列｛q｝的前〃项和为，4=1,\gan+\gan+l=lg2〃，,则S9=()

A.511B.61C.41D.9

6.在锐角三角形A3C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c且c-b=2bcosA,则;的取值

b

范围为()

A.(72,A/3)B.(1,A/3)C.(0,2)D.(1,2)

22

7.已知点A,B,C都在双曲线「：二-与=1(。＞0,。＞0)上，且点A,8关于原点对称，ZG4B=90°.

ab

过A作垂直于x轴的直线分别交:r,8C于点M,N.若AN=3AM，则双曲线「的离心率是()

A.&B.V3C.2D.2若

8.己知可导函数的定义域为R,/1-”为奇函数，设g(x)是/⑴的导函数，若g(2x+l)为

110

奇函数，且g⑼=彳，则£必(2左)=()

2k=i

A13n13c11n11

A.—B.------C.—D.

2222

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.已知函数〃x)=(2s加+2)(ssx+l),则()

A.的值域为『亚，后］

B.〃力是周期函数

C./(x)在［：+2所,兀+2配1,%eZ单调递减

D.小)的图像关于直线x=：对称，但不关于点1对称

10.已知圆M:(x-l)2+(y+2)2=2,直线/：x-3y+3=0,P是直线/上的动点，过点P作圆拉的切

线R4,切点为A,则当切线长|PA|取最小值时，下列结论正确的是()

A.|%=8B.点尸的坐标为(0,1)

C.PA的方程可以是y=x+iD.卓的方程可以是y=7尤+1

11.已知球。是棱长为2的正方体A8CD-AqGA的内切球，〃是A4的中点，N是CG的中点，

P是球O的球面上任意一点，则下列说法正确的是()

A.若MPLCR,则动点P的轨迹长度为伍

B.三棱锥尸-MBC的体积的最大值为1+拓

C.PM.PA的取值范围是［0,6］

D.若|PM|+|PN|=3,则/MPN的大小为定值

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若实系数一元二次方程/+分+6=0有一个虚数根的模为4,贝"的取值范围是.

(尤+l)e”,xV0

13.已知函数〃x)=出，函数8(力=产(%)—(。+2)/(0+2。，若函数g(x)恰有三个

——，龙＞0

零点，贝M的取值范围是.

14.max{%,%,&}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x,7,则max|x,2%：+；］的最小

值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理

工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数

据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果

输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.

假设每次输入的问题出现语法错误的概率为01，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互

独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽

取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.

(1)求小张能全部回答正确的概率；

(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；

(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.

16.(15分)如图所示，三棱柱ABC-A画G所有棱长都为2,ZB,BC=60,。为中点，。为

与AG交点.

⑴证明：CD//平面AO4；

(2)证明：平面3CD，平面ABC；

(3)若直线DB,与平面AO4所成角的正弦值为名叵，求二面角4--G的平面角的余弦值.

17.(15分)已知函数/(x)=3—x+asinx.

⑴当4=2时，求曲线y=〃x)在点(0,〃。))处的切线方程;

⑵当xe(O㈤时，/(x)>0,求实数。的取值范围.

18.(17分)过抛物线外一点尸作抛物线的两条切线，切点分别为4B,我们称为抛物线的

阿基米德三角形，弦与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“冏边形”，且已知“冏边形”的面积恰

为相应阿基米德三角形面积的三分之二.如图，点尸是圆。:无2+(y+5)2=4上的动点，是抛

物线「：必=2加5>0)的阿基米德三角形，P是抛物线「的焦点，且IP产11mli=6.

(1)求抛物线「的方程；

(2)利用题给的结论，求图中“冏边形”面积的取值范围；

(3)设。是“圆边形”的抛物线弧AS上的任意一动点(异于42两点)，过。作抛物线的切线/交阿

基米德三角形的两切线边B4,尸8于/,N,证明：|AMHBN|=|尸

19.(17分)已知上eN*,集合X«={x|x=26+24+…+2%,0“<不<气，其中.;，…％eN}.

(1)求X2中最小的元素；

(2)设a=2,+2*eX],b&Xx,且“+6eX],求b的值；

k+1卜

(3)记4=Xm(2*+i,2&+[,〃eN*,若集合Z中的元素个数为2,求Z请?.

m=\乙

2024年新高考考前押题密卷

数学全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、单选题

1.已知集合A=31</<9:,B=L|<2A<4L则AB=()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-3,-2)u(2,3)D.(-2,-l)u(l,2)

【答案】D

【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】4={无卜<尤2<9}={%卜3cx<—1或l<x<3},

所以A3=(—2,-1)51,2).

故选：D.

2.某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差

为4,宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8,人事部门有10人，平均工资为3千元，方

差为6,则该公司所有员工工资的方差为()

A.6.2B.6.4C.6.6D.6.8

【答案】D

【分析】先求出总的平均工资，再根据分层抽样的方差公式求解即可.

50x5+40x3+10x3

【详解】所有人的平均工资为=4千元,

100

故该公司所有员工工资的方差为Wb0x[4+（5-4）2]+40x[8+（3-4）1+10x[6+（3-4）2]]=6.8.

故选：D

3.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求

每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）

A.72种B.48种C.36种D.24种

【答案】A

【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成A；组，然后分给剩余2个不同

学校有A；种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.

【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有C；C；种不同的方法，

剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有A；种，

这2组分配到2个不同学校有A；种不同分法，

所以由分步乘法计数原理知，共有C；・C：・A；.A；=3x6x2x2=72种不同的分法.

故选：A

4.已知尸是正六边形A38EF边上任意一点，CF=4,则尸曰PC的取值范围为（）

A.[0,1]B.[-1,0]C.[-2,0]D.[T,。]

【答案】B

【分析】利用向量的线性运算，将向量P&PC转化为PQOGOC进行数量积运算.

【详解】设正六边形ABCDEF的中心为。，

PFPC=^PO+OFy^PO+OC^=\PC^+PO\OF+OC^+OFOC=|PO|2-4.

根据正六边形的对称性，以点P在边AB上为例，

当点尸在与顶点重合时，|尸0|最大为2,

当时，|尸。|最小为2sin巴=2x立=道，

1132

则|po|e[6,2],所以IP。『Te[-1,0].

D

o

wc

ApB

故选:B

5.已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，4=1,lg«„+lga„+1=lg2","eN*,则品=()

A.9B.41C.61D.511

【答案】C

【分析】利用对数运算法则可求得向=2,,即可知数列｛%｝的奇数项与偶数项分别成等比数列,

再由分组求和可得结果.

【详解】由1g%+lgan+l=lg2"可得1ganan+l=1g2",

即anan+l=2",所以an+lan+2=2向,两式相除可得&隹=2；

an

即幺=马,=...=幺=组=2,

由4=1可得，=2,因此数列｛/｝的奇数项是以4=1为首项，公比为2的等比数列，

偶数项是以。2=2为首项，公比为2的等比数列，

所以Sg=q+%+/HF%=(q+q1■佝)+(a,+%4)

lx(l-25)2x0—2”)

1-2+-1^2~=61•

故选：C

6.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c且。-匕=2bcosA,则，的取值

b

范围为()

A.(0,若)B.(1,6)C.(四,2)D.(1,2)

【答案】A

【分析】利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到4=23,从而利用锐

角三角形的性质得到B的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解.

【详解】因为c-b=2bcosA,则由正弦定理得sinC-sin5=2sin5cosA,

又sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsin5-sinB=2sinBcosA,

则sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

TVTVTT

因为一MC是锐角三角形，贝衣则-片A-2<万，

所以B=A—B,即A=23,贝1］。=兀-4-3=兀-33,

71

0<2B<-

2解得弃Y，则%cosB<*

所以

71

0<兀一33<—

12

sinAsin2B

所以/==2cosBG(0,有).

bsin5sin3

故选：A.

22

7.已知点A,B,C都在双曲线「：鼻-2=l（a>0,6>0）上，且点A,8关于原点对称，ZCAB=90°.

ab

过A作垂直于X轴的直线分别交：r,BC于点M,N.若AN=3AM，则双曲线「的离心率是（）

A.72B.73C.2D.273

【答案】B

【分析】设A（x0,%）,3（-与,-%）,由AN=3AM且AM_Lx轴得N（%,-5%）,注意到kCB.噎=与,

a

也就是原N•'?—]=!，而施'=-2血，3%,即与=2,由此结合离心率公式即可求解.

IkABJa-%%/

【详解】

不妨设人(尤0，%),3(-%,-%),由AN^3AM'S.AM_Lx轴，

所以“(%—％),所以(芍-不，B-％)=3(0,-2%)=(0,-6%),

从而%=-5%,即N(95%),

设点。（尤,y）,且它在双曲线上,

y+y0

x+x0

1

b廿上7k=^

BPkBN*~~T~=/，其中2AB

\KAB%

故选：B.

b2%BN=-生，心B=&,由此即可顺利得解.

【点睛】关键点点睛：关键是得到-~^29

【kABaX。X。

8.已知可导函数“X）的定义域为R,唱-1J为奇函数，设g（x）是的导函数，若g（2x+l）为

110

奇函数，且g（O）=7,则Z依（2左）=（）

2k=i

13

An^11门11

A.—B.-----C.—D.----

2222

【答案】D

【分析】由/、为奇函数，结合导数运算可得g（x-l）=g（r-l）,由g（2x+l）为奇函数，可得

g(x+l)+g(—x+1)=0,整理可得g(x+4)=-g(x),进而分析可得

g（8左+2）=g（次+4）=-g,g（次+6）=g（8Z+8）=g/eZ,即可得结果.

【详解】因为/为奇函数，则/（（一。-71>”，

即,两边求导得r（x—i）=r（-x-i），

贝ljg（x—l）=g（r-l）,可知g（无）关于直线x=—1对称,

又因为g(2x+l)为奇函数，则g(2x+l)+g(-2尤+1)=0,

即g(x+l)+g(r+l)=0,可知g(x)关于点(LO)对称，

令x=l,可得g(2)+g(0)=0,即g⑵=_g(O)=_:,

由g(l)=g(-1)可得g(x)=g(-x-2),

由g(x+l)+g(—尤+1)=0,可得g(x)+g(r+2)=0,即g(x)=-g(-尤+2),

可得g(-x—2)=—g(-尤+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g（4）=_g（0）=_；

令x=2,可得g（6）=-g（2）=g；

且g（尤+8）=-g（x+4）=-［-g（无）］=g（x）,可知8为g（x）的周期，

可知g（8左+2）=g（8左+4）=_；,g（8左+6）=g（8左+8）=；,此Z,

101111

所以2侬（2左）=一一（1+2+5+6+9+10）+-（3+4+7+8）=一一.

y222

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在

解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的

性质解决问题.

二、多选题

9.已知函数=则（）

A.的值域为卜友，后］

B.””是周期函数

C.在（：+2配兀+2版）,々eZ单调递减

D.的图像关于直线若对称，但不关于点对称

【答案】BCD

【分析】对于A,利用三角恒等变换化简函数表达式为=sinx+cosx+1=拒sin+：）+1（尤eR）,

但是注意至!Jsinx+cosx+1w0,由此即可判断；对于B,在定义域内，由诱导公式可得

/（x+2兀）=/（尤），由此即可判断；对于C,在函数有意义的前提下，由正弦函数单调性、复合函数

单调性即可判断；对于D,利用代入检验法，并注意定义域是否相应的关于直线或点对称即可判断.

(2sinx+2)(cosx+1)_2sinxcosx+2sinx+2cosx+2

【详解】对于A,〃x）=

sinx+cosx+1sinx+cosx+1

(sin%+cosx+1产.1

-----------------------=sinx+cosx+1.

sinx+cosx+1

因为sinx+cosx+lwO,且sinx+cosx=J5sin

所以“X）的值域是口-应,。（0,1+应],A错误.

对于B,/（%）的定义域£）={尤|》*-：+2E且天片兀+2杭上€Z},

对任意xeD恒有/（x+2兀）=>/^sin]x+27t+E）+l=0sin（x+：）+l=/（x）,B正确.

对于C,〃x）在（；+2氏兀+2E）AeZ有意义，

（兀।兀（兀5兀]

当XGF2471,71+24兀|,左£Z日寸，XHGF2kjl,F2%兀|%WZ,

【4）4124J

所以y=0sin]x+T在g+2E,兀+2E）/eZ单调递减，C正确.

对于D，/4=而山值+3+1=应+1=小）2，

y=血sin[x+；]+1的图象关于直线x4对称，且〃x）的定义域关于x=]对称，

所以〃x）的图像关于直线x=：称.

y=0sin[x+：J+l的图象关于点y』J对称，

但〃力的定义域不关于点对称，

所以“力的图象不关于点对称，D正确.

故选：BCD.

10.已知圆M:（x-l）2+（y+2）2=2,直线/：x-3y+3=0,P是直线/上的动点，过点P作圆M的切

线P4,切点为A,则当切线长1PAi取最小值时，下列结论正确的是（）

A.|上4|=8B.点P的坐标为（0,1）

C.P4的方程可以是y=-冗+1D._E4的方程可以是y=7x+l

【答案】BCD

【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心时到直线/的距离d,即可求出|心向「再求出过点

M（L-2）与直线/垂直的直线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即为P点坐标，再设切线方程为

y=kx+\,利用圆心到直线的距离等于半径，求出左,即可得解.

【详解】圆M:（x-l）2+（y+2）2=2圆心为M（l,-2）,半径7=0，

一”一2)+力厢,

则圆心M到直线/的距离1=

"+(-3)2

因为尸是直线/上的动点，过点尸作圆M的切线PA,切点为A,

则切线长I帖I的最小值为1PH.=山2_4=20,故A错误；

IIrmn

设过点〃(1,-2)与直线/垂直的直线方程为3x+y+〃=0,则3-2+九=0,解得“=-1,

fx-3y+3=0fx=0,、

所以3x+y-1=0,由•,八，解得，，所以尸0』，故B正确；

[3尤+>-1=0\y=l

显然过点尸(0,1)的切线的斜率存在，

设切线上4的方程为>=区+1,则而=«2,解得％=_1或左=7,

所以切线丛的方程为y=-x+l或y=7尤+1,故CD正确.

11.已知球。是棱长为2的正方体ABCD-A耳G。的内切球，”是AA的中点，N是CG的中点,

P是球。的球面上任意一点，则下列说法正确的是()

A.若则动点尸的轨迹长度为应乃

B.三棱锥尸-MBC的体积的最大值为1+如

C.PA/.PA的取值范围是[0,6]

D.若|PM|+|PN|=3,则/MPN的大小为定值

【答案】ACD

【分析】对于A项，先证得CA，面MGEF可得点P轨迹为平面MGEF与内切球。的交线，由。到

面MG砂的距离为面MG班与面ADCe的距离可得d,结合厂=而彳求解即可，对于B项，当

三棱锥的体高经过球心时体积取得最大值，结合空间向量坐标法求得球心。到平面MBC距离，进

而由匕缄=；%必^3+r）计算即可，对于C项，运用极化恒等式可得=则将问

题转化为求1尸修1的范围，作出平面ACG4截球。的截面，将空间问题转化为平面问题可得

|G>E|-r<|PH|<|O£|+r,进而可求得结果，对于D项，作出平面ACGA截球。与椭球的截面图,

结合椭圆与圆的对称性可判断D项.

【详解】对于A项，由正方体性质得面AOC4,且内切球半径R=l,

分别取44、CR、中点G、E、F,如图所示,

易知面MGEFH面ADC^,

故CQ，面MGEF,则点P轨迹为平面MGEF与内切球。的交线，即为截面圆的周长，

易知球心Oe面ADQB,,则。到面MGEF的距离为面MGEF与面ADCXBX的距离d=02=正，

42

所以截面圆半径为r=JR2T2=

故点尸轨迹长度为2兀厂=缶，故A项正确;

对于B项，以。为原点，分别以ZM、DC、所在直线为尤轴、，轴、z轴建立空间直角坐标系,

如图所示,

则8(2,2,0),C(0,2,0),M(2,0,l),0(1,1,1),

所以3M=(0,-2,1),3c=(—2,0,0),OM=(1,—1,0),

设平面MBC的一个法向量为〃=(%,y,z),

n-BM=0f-2y+z=0fx=0

则<=><n1，

n-BC=0[-2x=0[z=2y

取y=l,则z=2,所以“=(0,1,2),

所以。到平面M3C距离为d=\0M-n\=3=李，

\n\755

因为BC上面创/匚面48与4，所以8cl.

又3知=,钻2+7yl2=后,

所以三棱锥尸-又5c的体积的最大值为V=gSaMBc,(d+R)=gxgx2x6x(*+l)=W区,故B

项错误；

对于C项，取AM中点H,连接PM、PH、PA,如图所示，

一一，----------2——-2-21

所以PM•PA=(PH+HM)•(PH+HA)=(PH+HM)•(PH—HM)=PH-HM=PH一一,

4

平面ACGA截球。的截面图如图所示,

又|OM|=0,\MH\=\HA\=^,则|O8|=J|OML|2=1,

31

所以当尸位于片时，1//京=|041-r=5-1=5

35

所以当尸位于2时，i/wia=iom+r=5+i=］，

15-21

则54|尸引<5,所以0WP8--<6,即尸M.PA的范围为［0,6］,故C项正确;

对于D项，

由题意知，\MN\=2也,

又|PW|+1PN|=3>|MN|=272,

所以点尸在以V、N为焦点，长轴长为3的椭球面上，

又因为点尸在以。为球心，1为半径的球面上，

所以点尸在椭球面与球面的交线处，

则平面ACC,A,截球O与椭球的截面图如图所示，

由椭圆与圆的对称性可知，点尸位于4、鸟、鸟、与时，NMPN为定恒,故D项正确.

故选：ACD.

【点睛】与球截面有关的方法点睛：

①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.

第n卷（非选择题）

三、填空题

12.若实系数一元二次方程/+依+6=0有一个虚数根的模为4,贝ij“的取值范围是.

【答案】（-8,8）

【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共辗，可设两根分别为〃2+4和〃L〃i,

则疗+”2=］6，又6=（m+叫==16,再由A<0可求。的取值范围.

2

［详解】设实系数一元二次方程x+aX+b=0的两个虚数根为m+m和m-ni,

则m2+n2=16.

所以人=(机+所)(根一〃i)=机2+n2=16.

由△<()=>々2—4x16<0=>—8va<8.

故答案为：(-8,8)

(x+l)ex,x<0

13.已知函数〃尤)=hnx,函数g(x)=/2(x)_(a+2)，a)+2a,若函数g(元)恰有三个

——,x>0

、x

零点，则。的取值范围是.

【答案】陷

【分析】利用导数分析函数“X)的单调性，作出函数“尤)的大致图象，令g(x)=O可得，/(x)=2

或/1(Hua,由条件结合图象可得。的取值范围.

【详解】当xVO时，/(x)=(x+l)e\所以/(元)=/+(尤+1)炉=(了+2户,

当x<—2时，/'(龙)<0,函数f(x)在(-8,-2)上单调递减，

当-2<妇0时，/'(尤)>0,函数〃x)在(-2,0］上单调递增，

且〃0)=1，/(-2)=-e-\/(-1)=0,

当》<一1时，f(x)<0,当一l<x40时，/(x)>0,

当xf-8时，与一次函数y=x+l相比，函数>增长速度更快，

从而〃无)="一。，

当x>0时，〃x)=F，所以/'(x)=±F，

当0<x<e时，/(力>0,函数/(x)在(0,e)上单调递增,

当e<x<*»时，r(x)<0,函数〃x)在(e,+“)上单调递减，

且〃e)=：,/(1)=0,

当兀>1时，/(x)>0,当Ovxvl时，/(x)<0,

当％f+oo时，与对数函数y=lnx相比，一次函数丁=%增长速度更快，

从而〃彳)=皿一。，

X

Inx

当x>0,且x—>0时，f(x]=—:——>-oo,

尤

根据以上信息，可作出函数f(x)的大致图象如下:

函数g(尤)=/(力-(4+2)“力+2”的零点个数与方程/(同_(°+2)〃力+24=0的解的个数一致,

方程产(x)-(a+2)/(x)+2a=0,可化为(〃%)一2乂〃尤)一4)=0,

所以/(x)=a或/(x)=2,

由图象可得/(x)=2没有解,

所以方程产(x)-(a+2)〃x)+2a=0的解的个数与方程〃x)=a解的个数相等,

而方程了(尤)=。的解的个数与函数y=/(x)的图象与函数y=。的图象的交点个数相等，

由图可知：当j时，函数y=〃x)的图象与函数y="的图象有3个交点.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，利用数形结合的方法求解.

y,贝ljmax卜,2y,二H—的最小

14.max表示三个数中的最大值，对任意的正实数x,

值是.

【答案】2

【分析】设N=max卜+因x>0,y>0,可得+VV,借助于基本不等式

41

可得解>8,验证等号成立的条件欠=2尸=+==2,即得N*.

%y

x,2y,[+；j,则x<N,2y<N,

【详解】设N=max—炉+—厂<N，

413414

因工〉0,y>0,贝！］得2孙L3<N.又因2町・by22町•一=8,所以"28,

孙

41=2,即x=2,y=l时等号成立，故max|x,2y，wd--

当且仅当x=2y=-y+=的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】思路点睛:本题解题的思路在于,先根据max的含义,设出N=

即得2孙］［+；JwN3,将问题转化为求2盯的最小值，而这可以利用基本不等式求得,

同时需验证等号成立的条件.

四、解答题

15.ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，

它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息

的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的

问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假

设每次输入的问题出现语法错误的概率为01，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独

立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取

9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.

(1)求小张能全部回答正确的概率；

(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；

(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.

【答案】⑴：；(2)0.9；(3)小张答对题数的的期望为8.1,方差为0.09,ChatGPT答对题数的期望

为8.1,方差为0.81.

【分析】(1)根据古典概型的概率公式，即可求得答案；

(2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件5表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，

确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案；

(3)根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案;

C91

【详解】(1)设小张答对的题数为X,则尸(X=9)=片=63分

jo1U

(2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”,

由题意知尸（a=0.1,尸（叫A）=0.98,P（B|A）=0.18,

则尸（A）=l-P（'）=0.9,............................................................................................................................5分

P（B）=P（BnA）+P（BnA）=P（B|A）P（A）+P（B|A）P（A）

=0.98x0.9+0.18x0.1=0.9；................................................................................................................7分

（3）设小张答对的题数为X,则X的可能取值是8,9,

C8cl9C91

且尸（X=8）=^^=N,P（X=9）=T=—，..............................................................................9分

c：。10'C：010'

设ChatGPT答对的题数为y,则y服从二项分布8(9,—)

91

则石（X）=8x——+9x——=8.1,石（y）=〃〃=9x0.9=8.1,11分

1010

r＞（X）=（8-—）2x—+（9-—）2x—=0.09,

10101010

O（Y）=即4=9x0.9x0.1=0.81.13分

16.如图所示，三棱柱ABC-A与G所有棱长都为2,N用BC=60,。为3C中点，。为与AQ

交点.

(1)证明：CD〃平面AO反；

(2)证明：平面3CD_L平面ABG；

(3)若直线。耳与平面AOB,所成角的正弦值为名叵,求二面角4-Cq的平面角的余弦值.

13

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)反

【分析】(1)取4片中点£,连接OE,BE,OE,证明四边形DEOC为平行四边形，得出CD//OE,

从而证明CDII平面AOBt.

(2)由题意证明OE_LA2[,BE±AB1,得出AB】L平面3CZ),即可证明平面BCZJL平面AB。.

(3)依题意可得/DgE为直线。片与平面A。片所成角，由直线。片与平面AO用所成的角的正弦值

求出。耳，从而求出再由余弦定理求出乙4。与，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，

计算二面角A-c^-Q的余弦值.

【详解】(1)取A与中点E,连接DE,BE,OE-

因为。，E分别为AG和AB1的中点，所以OE〃用G且=....................1分

又OC//2G且OC=；BC,所以DE//CO且DE=CO,即四边形DEOC为平行四边形，所以CDHOE,

.....................................................................................................................................................................3分

又因为OEu平面404，。0(^平面40片，所以C£>〃平面AOB]............................................4分

(2)因为三棱柱ABC-A与G所有棱长都为2,NBIBC=60,

所以AO=4O=JLAB=BBl,£为A片的中点，民C,RE四点共面，................5分

所以。E_LAB],且2E_LAB|,BE,BE,OEu平面BCD,OEcBE=E,所以A与，平面BCD,

又AB】u平面ABg,所以平面BCD_L平面AB6...............................................................................7分

(3)由题意知，BCLAO,且BC_L。耳，AO,。与u平面AOg,OB,AO=O,

所以BC/平面又DEHBC,所以。E人平面4。旦，

所以NDB^E为直线DBt与平面AOBt所成角,....................................................................................8分

又s"D&E嘴=总=噜,所以亚=半

因为BC//4C],所以平面AO4，AB|U平面AO4，所以用弓工人片,

所以△A8iG为直角三角形，所以AG=2DB,=而，所以做=/4穹_耳。；=3,

3-I-3-Q1

在.49月中，cosZAOBl"=」,所以ZAO耳=120。，...........................9分

2x32

以。为原点，作Oz,平面BCC4