湖南省长沙县市级2024年中考数学最后冲刺模拟试卷（含解析）

湖南省长沙县市级名校2024年中考数学最后冲刺模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.二次函数y=-（x-1）2+5,当mWxWn且mn<0时，y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为（）

*31

A.-B.2C.-D.-

2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点，EC=4,AABC的周长为23,则△ABD的

周长为（）

A.13B.15C.17D.19

3.下列各组数中，互为相反数的是（)

-1

A.-1与(T)2B.(-1)2与1C.2与一D.2与|-2|

2

5.已知直线y=ax+b（a/））经过第一•，二，四象限，那么直线y=bx-a一定不经过（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

6.如图，AB/7CD,点E在CA的延长线上.若NBAE=40。，则NACD的大小为（）

E

B

D

A.150°B.140°C.130°D.120°

7.下列各组数中，互为相反数的是（）

一一1

A.-2与2B.2与2C.3与一D.3与3

3

c

8.二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=—在同一

x

平面直角一坐标系中的图象可能是（）

A.二.一二米B.x.二米

C.二刀•一米D.二二.「米

10.某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且

经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元.

A.3B.2.5C.2D.5

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.三个小伙伴各出资a元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱，则剩余金额为一元（用含a、b的

代数式表示）

12.从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡

片上面恰好写着“加”字的概率是.

13.若正多边形的一个外角是45。，则该正多边形的边数是.

14.已知一元二次方程2x2-5x+l=0的两根为m,n,则m2+n2=.

15.如图，点M、N分别在NAOB的边OA、OB上，将NAOB沿直线MN翻折，设点O落在点P处，如果当OM=4,

ON=3时，点O、P的距离为4,那么折痕MN的长为.

16.已知一个多边形的每一个外角都等于一：,则这个多边形的边数是

k

17.如图，点A在双曲线丁=一上，ABLx轴于B,且△AOB的面积SAAOB=2,则k=

x

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，已知NAO5=45。，AB1OB,OB=1.

（1）利用尺规作图：过点M作直线MN〃OB交AB于点N（不写作法，保留作图痕迹）;

（1）若M为AO的中点，求AM的长.

19.（5分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题:

他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的

一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在AABC中，AD是边上的中线，若AO==CD,

求证：44c=90°.如图②，已知矩形ABC。，如果在矩形外存在一点E,使得AELCE,求证：BELDE.（可

以直接用第（1）问的结论）在第（2）间的条件下，如果AAED恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边A3

与的数量关系.

20.（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏.全校学生都

选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的

统计图.

请结合统计图，回答下列问题：

（1）本次调查学生共人，a=,并将条形图补充完整；

（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？

（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取

的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率.

21.（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD,ZADB=ZCDE,DE交边AC于点E,DE交BA延

长线于点F,且AD2=DE・DF.

（1）求证：△BFD-^ACAD；

⑵求证：BF»DE=AB«AD.

22.（10分）（1）问题发现：

如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC

与AB的位置关系为；

（2）深入探究：

如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使

ZABC=ZAMN,AM=MN,连接CN,试探究/ABC与NACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图③，在正方形ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF,点N为正

方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10,CN=0,试求EF的长.

23.（12分）甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.若确定甲打第一场,

再从其余三位同学中随机选取一位，恰好选中乙同学的概率是—.若随机抽取两位同学，请用画树状图法-或列表

法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

13

24.（14分）如图，已知抛物线、=5/-5彳-"（〃>0）与》轴交于48两点H点在8点的左边），与y轴交于点C.

（1）如图1,若AABC为直角三角形，求"的值；

（2）如图1,在（1）的条件下，点尸在抛物线上，点。在抛物线的对称轴上，若以为边，以点3、C、P、Q

为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；

（3）如图2,过点A作直线的平行线交抛物线于另一点。，交V轴于点E，若AE:ED=1:1.求〃的值.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

由mgxWn和mnVO知m<0,n>0,据此得最小值为1m为负数，最大值为In为正数.将最大值为In分两种情况，

①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出.②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由

x=n求出，最小值只能由x=m求出.

【详解】

①当m<O<x<n<l时，当x=m时y取最小值，即lm=-(m-1)x+5,

解得：m=-1.

当x=n时y取最大值，即ln=-(n-1)】+5,解得：n=l或n=-1(均不合题意，舍去);

②当m<0<x<l<n时，当x=m时y取最小值，即lm=-(m-1)1+5,

解得：m=-1.

当x=l时y取最大值，即ln=-(IT)]+5,解得：n=^-,

或x=n时y取最小值，x=l时y取最大值，

/x15

lm=-(n-1)J+5,n=—,

2

•11

/.m=——，

8

Vm<0,

・,・此种情形不合题意，

所以m+n=-1+—=—.

22

2、B

【解析】

VDE垂直平分AC,

AAD=CD,AC=2EC=8,

■:CAABC=AC+BC+AB=23,

.\AB+BC=23-8=15,

:.CAABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.

故选B.

3、A

【解析】

根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可.

【详解】

解：A、（-1）2=1,1与-1互为相反数，正确；

B、（-1）2=1,故错误；

C、2与,互为倒数，故错误；

2

D、2=|-2|,故错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义.

4、D

【解析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出N1,再根据两直线平行，同位角相等可得N2=NL

【详解】

如图，由三角形的外角性质得：Zl=90o+Zl=90°+58°=148°.

,/直尺的两边互相平行，,Z2=Z1=148°.

故选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

5、D

【解析】

根据直线y=ax+b（a邦）经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限,

不经过哪个象限，本题得以解决.

【详解】

•.•直线y=ax+b（a邦）经过第一，二，四象限，

.".a<0,b>0,

.•.直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选D.

【点睛】

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

6、B

【解析】

试题分析：如图，延长DC到F,则

VAB/7CD,NBAE=40。，/.ZECF=ZBAE=40°.

:.ZACD=180°-ZECF=140°.

故选B.

考点：1.平行线的性质；2.平角性质.

7、A

【解析】

根据只有符号不同的两数互为相反数，可直接判断.

【详解】

-2与2互为相反数，故正确；

2与2相等，符号相同，故不是相反数；

3与工互为倒数，故不正确；

3

3与3相同，故不是相反数.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了相反数，关键是观察特点是否只有符号不同，比较简单.

8、C

【解析】

b

试题分析：•・•二次函数图象开口方向向下，・・・aVO,•・,对称轴为直线X=-丁>0,・・・b>0,・・,与y轴的正半轴相交,

2a

c

.•.c>0,二y=ox+人的图象经过第一、二、四象限，反比例函数>=一图象在第一三象限，只有C选项图象符合.故

x

选C.

考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象；3.反比例函数的图象.

9,D

【解析】

先将25100用科学记数法表示为2.51X104,再和10-9相乘，等于2.51x10-5米.

故选D

10>A

【解析】

设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为(x-40),原来售价为每件60元时，每星期可卖出300件，

所以现在可以卖出[300+20(60-x)]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题.

【详解】

解：设售价为x元时，每星期盈利为6120元，

由题意得(x-40)[300+20(60-x)]=6120,

解得：xi=57,X2=l,

由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去X2=l.

,每件商品应降价60-57=3元.

故选：A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用.此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.此题要注

意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11,(3a-b)

【解析】解：由题意可得，剩余金额为：(3a而元，故答案为：(3“力).

点睛：本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

12、1

【解析】

根据概率的公式进行计算即可.

【详解】

从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率

是I

故答案为：..

【点睛】

考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.

13、1；

【解析】

根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360。+45。可求得边数.

【详解】

•••多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45。，

.•.360°-r45°=l

即该正多边形的边数是1.

【点睛】

本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质(正多边形的各个内角相等，各个外角也相等).

14、—

4

【解析】

先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可.

【详解】

由根与系数的关系得：m+n=—,mn=—,

22

5121

m2+n2=(m+n)2-2mn=(—)2-2x—=—,

224

21

故答案为：

4

【点睛】

本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求

式子进行变形；如■'-+-1-、XF+X22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化.

X]x2

15、2百-石

【解析】

由折叠的性质可得MNLOP,EO=EP=2,由勾股定理可求ME,NE的长，即可求MN的长.

【详解】

•••点O、P的距离为4,

AOP=4

•••折叠

.\MN±OP,EO=EP=2,

在RtAOME中，ME=y]oM2-OE2=273

在RtAONE中，NEZOM-OE，=6

MN=ME-NE=2班-小

故答案为26-君

【点睛】

本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键.

16、5

【解析】

•••多边形的每个外角都等于72°,

•••多边形的外角和为360。，

.\36004-72°=5,

这个多边形的边数为5.

故答案为5.

17、-4

【解析】

:由反比例函数解析式可知：系数同=国似，

SAAOB—2即|^|=—|x|,|y|=2,|Z^|=xy—2x2=4；

又由双曲线在二、四象限kVO,；.k=-4

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)详见解析；(1)0.

【解析】

(1)以点”为顶点，作NAMN=NO即可；

(1)由NAO5=45。，ABLOB,可知△AOB为等腰为等腰直角三角形，根据勾股定理求出。4的长，即可求出AM

的值.

【详解】

(1)作图如图所示；

(1)由题知△AOB为等腰RtAAOB,且OB=1,

所以，AO=0OB=1正

又M为OA的中点，

所以，AM=-xlA/2=72

【点睛】

本题考查了尺规作图，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握作一个角等于已知角是解(1)的关键，证

明△A08为等腰为等腰直角三角形是解(1)的关键.

19、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)BC=&B

【解析】

(1)利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；

(2)先判断出OE=，AC,即可得出OE=，BD,即可得出结论；

22

(3)先判断出△ABE是底角是30。的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论.

【详解】

(1)VAD=BD,

/.ZB=ZBAD,

VAD=CD,

/.ZC=ZCAD,

在4ABC中，ZB+ZC+ZBAC=180°,

.•.ZB+ZC+ZBAD+ZCAD=ZB+ZC+ZB+ZC=180°

.,.ZB+ZC=90°,

/.ZBAC=90°,

(2)如图②，连接AC与BD,交点为。，连接OE

四边形ABC。是矩形

OA=OB=OC=OD=-AC=-BD

22

AELCE

:.ZAEC^90°

:.OE=-AC

2

:.OE=-BD

2

ZBED=9Q°

:.BE±DE

(3)如图3,过点3做5尸，AE于点产

四边形ABC。是矩形

：.AD=BC,ZBAD=90'

AADE是等边三角形

:.AE=AD=BC,ZDAE=ZAED=60°

由（2）知，/BED=90。

:.ZBAE=ZBEA=30°

:.AE=2AF

在WAABE中，ZBAE=3Q°

:.AB=2AF,AF=6BF

AE=也AB

AE=BC

BC=6AB

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30。角的直角三角形的性质，三角形的

内角和公式，解(1)的关键是判断出NB=NBAD,解(2)的关键是判断出OE=-AC,解(3)的关键是判断出小ABE

2

是底角为30。的等腰三角形，进而构造直角三角形.

20、(1)300,10；(2)有800人；(3)-.

6

【解析】试题分析：

试题解析：(1)120X0%=300,

a%=l-40%-30%-20%=10%,

:.a=10,

10%x300=30,

图形如下：

(2)2000x40%=800(人)

答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人;

(3)画树状图为:

ABCD

小A\Zl\

BCDACDABpABC

共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2,

91

所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=-.

126

考点：1.用样本估计总体；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.列表法与树状图法.

21、见解析

【解析】

试题分析：(1)AD2=DEDF.NADF=NEDA,可得AADFs^EDA,从而得NF=NDAE,

再根据NBDF=NCDA即可证;

RFOPRFAD

(2)由ABFDsACAD,可得——=——，从而可得——=——，再由ABFDSACAD,可得/B=/C从而得

ACADACDE

BFAD

AB=AC,继而可得=，得到BF・DE=AB-AD.

ABDE

试题解析：(D•：W=DE・DF，.・嚏嗯

VZADF=ZEDA,AAADFA£ZM，

：.ZF=ZDAE,

又；NADB=NCDE,：.ZA£)B+ZADF=ZC£)E+ZADF,

即NBOG/aM,

：.ABFDsACAD；

,、BFDF

(2)/\BFDsACAD,-----=------>

ACAD

..AD_DF.BF_AD

-DE-AD'**AC-DE?

,/ABFDACAD,：.ZB=ZC,：.AB=AC,

.BFAD

：

''~AB~~DE,BFDE=ABAD.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，能结合图形以及已知条件灵活选择恰当的方法进行证明是关键.

22、(1)NC/7AB；理由见解析；(2)ZABC=ZACN；理由见解析；(3)2MI;

【解析】

(1)根据△ABC,AAMN为等边三角形，得至!]AB=AC,AM=AN且NBAC=NMAN=60。从而得到

ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM,即NBAM=NCAN,证明△BAMgZkCAN,即可得到BM=CN.

(2)根据△ABC,AAMN为等腰三角形，得至!]AB：BC=1：1且NABC=NAMN,根据相似三角形的性质得到

ADAr

—,利用等腰三角形的性质得到NBAC=NMAN,根据相似三角形的性质即可得到结论；

AMAN

(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到NABC=NBAC=45。，NMAN=45。，根据相似三角形的性质得出

也=空，得到BM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案.

CNAC

【详解】

(1)NC〃AB,理由如下：

VAABC与4MN是等边三角形，

/.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMANJ=60°,

/.ZBAM=ZCAN,

在△48乂与小ACN中，

AB=AC

<ZBAM=ACAN,

AM=AN

/.△ABM^AACN(SAS),

，/B=NACN=60。，

VZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60o+ZCAN=180°,

.,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60°+ZCAN=ZBAN+ZANC=180°,

ACN//AB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下：

ABAM

'：——=------=1且NABC=NAMN,

BCMN

：.AABC-△AMN

.ABAC

AMAN"

VAB=BC,

.•.ZBAC=-(1800-ZABC),

2

VAM=MN

.\ZMAN=-(180°-ZAMN),

2

■:ZABC=ZAMN,

ZBAC=ZMAN,

...NBAM=NCAN,

.'.△ABM〜△ACN,

,.ZABC=ZACN；

(3)如图3,连接AB,AN,

.,四边形ADBC,AMEF为正方形，

,.ZABC=ZBAC=45°,NMAN=45°,

*.ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC

即NBAM=NCAN,

BCAN

.ABAC

AMAN'

.'.△ABM〜AACN

.BMAB

"GVAC"

.CNACV2

=-----=cos45°=-----,

,而AB2

.V2V2

•------=-----，

BM2

\BM=2,

\CM=BC-BM=8,

在RtAAMC,

AM=7AC2+MC2=A/102+82=2A/41，

EF=AM=2.

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判

定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解

决问题的关键.

23、(1),;(2).

Ii

【解析】

1)由题意可得共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，则可利用概率公式求解即可求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率

公式求解即可求得答案.

【详解】

解:(1)\•甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场,再从其余的三位同学中随机选取一位,...恰

好选到丙的概率是：.；

⑵画树状图得：

甲乙丙丁

/1\/N/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•.•共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有2种情况，

•••恰好选中甲、乙两人的概率为：

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适

合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

113953927

24、(1)n=2；(2)(彳,m)和G彳，胃)；⑶n=~

2o2o8

【解析】

2

(1)设Aa,0),B(X2,0),再根据根与系数的关系得到%々=-2〃，根据勾股定理得到：AC=xf+n\

BC2=xl+n2,根据列出方程，解方程即可；(2)求出A、B坐标，设出点Q坐标，利用平行四

边形的性质，分类讨论点P坐标，利用全等的性质得出P点的横坐标后，分别代入抛物线解析式，求出P点坐标；

(3)过点。作轴于点H,由AE：ED=1：4,可得A0:07/=1:4.设OA=a(a＞。),可得A点坐标为(一a0),

可得OH=4a,AH=5a.设。点坐标为(4a,86-6a-a).可证△eg。,利用相似性质列出方程整理可得

13

到116-12a—2〃=0①，将A-①。)代入抛物线上，可得”=5片+5。②，联立①②解方程组，即可解答.

【详解】

193

解：⑴设A(/0),B(X2,0),则和%是方程5%-21一〃二0的两根，

/.玉元2--2".

13

已知抛物线y=^x2--x~