教师资格认定考试高级中学数学模拟题12

教师资格认定考试高级中学数学模拟题12一、单项选择题1.

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同特征值，α，β分别为A对应于λ1，λ2的特征向量，则α，β______A.线性相关B.线性无关C.正交D.平（江南博哥）行正确答案：B[解析]属于不同特征值的特征向量线性无关。故选B。

2.

曲线(a＞0，b＞0)和两坐标轴所围成的面积是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由得，0≤x≤a。令，0≤t≤1，则dx=2atdt。曲线和两坐标轴所围成的面积，故选D。

3.

设两个相互独立的随机变量X与Y的方差分别为2和4，则随机变量2X-3Y的方差是______A.-28B.-8C.8D.44正确答案：D[解析]D(2X-3Y)=D(2X)+D(3Y)=4D(X)+9D(Y)=44，故选D。

4.

极限

A．0

B．

C．1

D．正确答案：C[解析]利用等价无穷小量，当x→0时，x～ex-1。而且，所以。所以极限，故答案选C。

5.

方程所确定的曲面的名称是______A.椭球面B.双叶双曲面C.椭圆抛物面D.双曲抛物面正确答案：C[解析]椭圆抛物面(p，q＞0)，当p=q时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的对称轴旋转而成，由此抛物面的定义可知正确答案选C。

6.

设，则有______A.I1＜I3＜I2B.I2＜I1＜I3C.I2＜I3＜I1D.I1＜I2＜I3正确答案：D[解析]将(k=1，2，3)看作以k为自变量的函数，由于Ik'=ek2sink≥0，k∈(0，π)，即可知(k=1，2，3)是关于k的在(0，π)内的单调函数，又由于1，2，3∈(0，π)，则I1＜I2＜I3，故选D。

7.

下列划分正确的是______A.有理数包括整数、分数和零B.角分为直角、角限角、对顶角和同位角C.数列分为等比数列、等差数列、无限数列和递减数列D.平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形正确答案：D[解析]分类原则一般包括：一致性原则、互斥性原则、相称性原则等。一致性原则指分类的标准前后是一致的，只能按同一标准进行，不能出现几个不同的标准。互斥性原则是指分类或各个子项之间是不相容的。相称性原则指的是划分后各子项的外延的总和应与母项的外延相同。A项违反一致性原则和互斥性原则，零包含在整数中；B、C项违反一致性原则，故选D。

8.

新课程标准下数学教学过程的核心要素是______A.师生相互沟通和交流B.师生的充分理解和信任C.教师的组织性与原则性D.多种要素的有机结合正确答案：A[解析]新课程标准下数学教学过程的核心要素是加强师生之间相互沟通和交流，倡导教学民主，建立平等合作的师生关系，营造同学之间合作学习的良好氛围，为学生的全面发展和健康成长创造有利的条件。故选A。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：，其中0＜m＜n。正确答案：证：设f(x)=lnx，，因为函数f(x)在[m，n]上满足拉格朗日中值定理，则在(m，n)内存在一点ξ，使得。由0＜m＜n得，结论得证。

2.

设线性方程组与方程x1+x2+ax3=a-1有公共解，求a的值及所有公共解。正确答案：解：将方程联立得该方程组的解即为题干中方程组与方程的公共解。

矩阵经过线性变换得到

(1)当a=1时，，方程组有无数解，所以有公共解；

(2)当a=2时，，方程组有唯一解，所以有公共解

3.

试求通过点M0(-1，0，4)，垂直于平面π：3x-4y+z-10=0，且与直线l：平行的平面方程。正确答案：解：平面π的法向量n1=(3，-4，1)，直线l的方向向量l=(3，1，2)，所以所求平面的法向量为。平面上任一点M(x，y，z)，则由得-9(x+1)-3y+15(z-5)=0，整理得所求平面方程：3x+y-5z+23=0。

4.

简述“好”的数学问题的基本特点。正确答案：(1)一个“好”的数学问题应当具有较强的探索性；(2)具有一定的现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力；(3)具有多种不同的解法或多种可能的解法，即开放性；(4)具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各种情形；(5)具有一定的启示意义，蕴含重要的数学思想方法；(6)问题的表述应当简单易懂，容易接近。

5.

“巩固与发展相结合”是数学教学的基本原则之一。谈谈“巩固”与“发展”的关系，以及教师在教学过程中怎样做到在发展的过程中进行巩固。正确答案：数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。即所谓“温故而知新”。因此在教学中应很好地调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果。

教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传播与能力发展的关系，要求教师做到：

①将学习新知识、复习巩固旧知识贯穿于教学的全过程，既要重视阶段性复习、总结性复习，更要重视日常课堂的复习巩固，将复习巩固作为一个重要的教学环节；

②要重视对学生所学知识、技能和方法进行复习巩固工作的研究；

③在复习巩固过程中，要指导学生记忆，提高记忆能力，并通过适当途径予以检查，对数学中一些基本的概念、定理、公式、法则都必须在理解的基础上熟记。

④在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调动学生学习知识的自觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积极的态度学到的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要引起学生对学习知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课，注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。

⑤零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，学生获得有系统的知识是知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解知识，达到巩固的目的。

三、解答题(10分)1.

讨论函数的连续性。正确答案：解：因为，从而。所以函数f(x，y)在点(0，0)连续。又在y≠0的点(x，y)处，由于f(x，y)是初等函数且在这些点处有定义，故f(x，y)连续。因此，f(x，y)在D={(x，y)|y≠0}∪{(0，0)}上连续。

又函数在任一点(x0，0)≠(0，0)处，由f(x0，0)=0，，从而f在(x0，0)间断。故f仅在D={(x，y)≠0}∪{(0，0)}上连续。

四、论述题(15分)1.

结合实例说明中学生是怎样学习数学概念、数学命题的。正确答案：数学概念的学习可分为两种基本形式：概念的形成，概念的同化。

(1)概念的形成是通过概念所反映的事物的不同例子中，学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念。如学习函数的单调性的概念可采用如下的步骤：

第一，分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律。

第二，描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别对应增函数和减函数。

第三，二次函数的增减性要分段说明，提出问题：二次函数是增函数还是减函数?

第四，能否用自己的理解说说什么是增函数?什么是减函数?

第五，(以y=x2+1在(0，+∞)上的单调性为例)如何用精确的数学语言来描述函数的单调性。

第六，提问学生什么是“随着”?如何刻画“增大”?对“任取”的理解，进而得到增(减)函数的定义。

在以上几步的基础上，通过初步认识单调性再拓展探究从而抽象概括出准确定义，深入地认识单调性。

(2)概念的同化是以定义的形式给出，由学生主动地与自己认识结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。如，学习等比数列的概念：“如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。”这时学生要主动积极地与自己认知结构中原有的概念(如等差数列的概念)区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念体系之中；最后，通过例题的学习与习题的解答，加深对等比数列本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。

五、案例分析题(20分)案例：面对课堂上出现的各种各样的意外生成，教师如何正确应对，如何让这些生成为我们高效的课堂教学服务，如何把自己课前的预设和课堂上的生成有效融合，从而实现教学效果的最大化，这是教师时刻面临的问题。

在一次听课中有下面的一个教学片段：教师在介绍完正弦与余弦函数的概念后，布置了一个操作探究活动。

师：大家把手中的直角三角形纸片边长分别量出，然后运用正弦、余弦函数的计算公式计算出三个内角的正弦值与余弦值。由这个活动你可以得到对于同一个角，它的正弦值与余弦值有什么关系?学生正准备动手操作，一名学生举起了手。

生：我不计算也知道结论。

师：你知道什么结论?

生：sin2α+cos2α=1。

教师没有想到会出现这么个“程咬金”，脸冷了下来：“你怎么知道的?”

生：我昨天预习了，书上这么说的。

师：就你聪明，坐下!

后面的教学是在沉闷的气氛中进行的，学生操作完成后再也不敢举手发言了。

问题：1.

结合上面这位教师的教学过程，简要做出评析；正确答案：在课堂上，教师面对的是一群有着不同生活经历、有自己的想法，在很多方面存在差异的生命体，也正是因为有这种差异．课堂才是充满变化、丰富多彩的，教师如果不能适应这种变化，不能及时正确处理课堂的生成，那么其课堂效果将很难保证是高效的。在上面的教学片段中教师对学生直接说出同一角的正弦值与余弦值的关系式很是不满，因为这样一来教师后面设计好的精彩探索活动就没有必要再进行了，碰上这样的意外，教师采取了生硬的处理方式，让其他学生继续探索，但此时教师的不满情绪和处理这件事情的方式使得全班同学失去了探索的兴趣和发言的勇气。教师如果换一种方式，先表扬发言学生“你真是个爱学习的学生，我相信你还是个爱思考的学生!”然后让他和大家一道动手操作、探索、验证结论的正确性，课堂效果应该更好。

2.

结合你的教学经历，说明如何处理好课堂上的意外生成。正确答案：生成从性质角度来说，有积极的一面，也有消极的一面，从效果角度来说有有效的一面，也有无效的一面。教师在课堂上要充分发挥好自己组织者的角色，不断地捕捉、判断、重组课堂教学中从学生那里涌现出来的各种信息，并能快速断定哪些生成对教学是有效的，哪些生成是偏离了教学目标，一名优秀的数学教师应该能够正确应对课堂上出现的各种各样生成，使之为我们的数学教学服务，提高课堂教学的效果。

六、教学设计题(30分)下列是人教版普通高中数学教科书必修5的内容，据此回答下列问题。

问题：1.

请说明教材中引用故事的意图；正确答案：教材中用一个古老但又具体的故事，是为了让学生了解、学习“等比数列求前n项和”在解决生活中问题的必要性，这一有趣的问题能激发学生的好奇心和求知欲。

2.

写出这节课的教学重难点；正确答案：教学重点：掌握等比数列前n项和公式，及利用公式解决问题。

教学难点：数列前n项和公式的推导。

3.

在等比数列前n项和公式推导的过程用了什么方法?说明应用这种方法的条件。正确答案：在等比数列前n项和公式推导过程中用的方法是“错位相减法”。错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。比如，在教材中，等比数列前n项和公式推导过程中，表示出等比数列{an}前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，注意到Sn的各项是等差数列(a1，a1，…，a1)和等比数列(1，q，q2，…，qn-1)的形式，所以在等式两边同时乘以等比数列的项数n。

4.

请为教材中第一个思考“当q=1时，等比数列的前n项和Sn等于多少”设计一个教学片段。正确答案：教学片段：

师：从上边的推导我们知道，当公比q≠1时，等比数列前n项和，这里为什么要求q≠