2008年第6届“创新杯”全国数学邀请赛试卷（初一第1试）

第1页（共1页）2008年第6届“创新杯”全国数学邀请赛试卷（初一第1试）一、选择题1．（5分）已知ab＜0，那么a2|b|﹣b2|a|+ab（|a|﹣|b|）＝（）A．0 B．2a2b C．2ab2 D．2a2b+2ab22．（5分）某班一学年共进行了n次数学测验，小红在第n次测验前对小明说：“如果我这次考试得97分，那么我的平均分数是90分，我的平均分数就只有87分”．根据小红的叙述，可推知n＝（）A．8 B．9 C．10 D．113．（5分）如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC（）A．60° B．75° C．90° D．135°4．（5分）对于有理数x，y，代数式x2+y2﹣xy﹣x+2y的最小值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣25．（5分）在直角坐标系中，已知A（1，O），B（3，3），C（0，2），则△ABC的三边长a，b（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c6．（5分）4点钟后，从时针到分针第一次成90°角，到时针与分针第二次成90°角（答案四舍五入到整数）（）A．60 B．30 C．40 D．337．（5分）平面上一组3条平行线与另一组4条平行线相交，可以构成平行四边形的个数为（）A．12 B．18 C．20 D．248．（5分）物理学定律告诉我们：光线经平面镜反射，光线与平面镜所成的角等于反射线与平面镜所成的角．现在有一束光线与水平面成60°的角照射地面，为使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成的∠DCB应为（）A．15° B．30° C．45° D．60°9．（5分）已知三角形的周长是12，其中一边是另一边2倍，则三角形的最小边长的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．2＜x＜4 C．3＜x＜4 D．4＜x＜610．（5分）对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8]＝4的整数根有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题11．（5分）已知点P（a，b）在第二象限，则Q（﹣b，a﹣1）象限．12．（5分）＝．13．（5分）若x，y都是有理数，且使得四个两两不相等的数x+2，2y﹣8，y能分成两组，则x+y的值等于．14．（5分）如图，是2008年奥运会的标志．试在上面三环中填入三个连续偶数，下面两环中填入两个连续奇数．要使这些数不小于10且不大于20．15．（5分）汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，听到回响时汽车离山谷的距离是米．16．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE＝BE＝AD，则∠C＝度．17．（5分）如图，等边三角形ABC边长为1，用折线CDEFG把它分成5个面积相等的小三角形，最长一条与最短一条线段长的差是．18．（5分）对于多项式ax3+x2+cx+1，当x＝3时，它的值是15，它的值是．19．（5分）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用个这样的砝码．20．（5分）试找出若干个正整数构成的数组，使其中的所有正整数的和是个数的5倍减去4，且倒数之和为1．（所找数组中的正整数可以只有一个，也可以有多个；可以互异，也可以相同．你找的数组越多，所得分数就越高）．

2008年第6届“创新杯”全国数学邀请赛试卷（初一第1试）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知ab＜0，那么a2|b|﹣b2|a|+ab（|a|﹣|b|）＝（）A．0 B．2a2b C．2ab2 D．2a2b+2ab2【解答】解：∵ab＜0，∴a＜0，b＞5或a＞0，当a＜0，b＞7时，a2|b|﹣b2|a|+ab（|a|﹣|b|）＝a7b﹣b2（﹣a）+ab（﹣a﹣b）＝0当a＞4，b＜0时，a2|b|﹣b6|a|+ab（|a|﹣|b|）＝a2（﹣b）﹣b2a|ab（a+b）＝6．故答案为0．故选：A．2．（5分）某班一学年共进行了n次数学测验，小红在第n次测验前对小明说：“如果我这次考试得97分，那么我的平均分数是90分，我的平均分数就只有87分”．根据小红的叙述，可推知n＝（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：小红参加了n次考试，设前（n﹣1）次考试小红的总成绩为x分，根据题意得：，解得：．即小红参加了3次考试．故选：A．3．（5分）如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC（）A．60° B．75° C．90° D．135°【解答】解：由于是正方体，那么它上面所有的正方形的对角线都是相等的，AC，正好组成一个等边三角形．故选：A．4．（5分）对于有理数x，y，代数式x2+y2﹣xy﹣x+2y的最小值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：x2+y2﹣xy﹣x+6y＝x2﹣x（y+1）+（y+6）2﹣1＝（x﹣）2+（y+1）6﹣1．∵（x﹣）2≥0，（y+1）4≥0，∴代数式x2+y4﹣xy﹣x+2y的最小值是﹣1．故选：C．5．（5分）在直角坐标系中，已知A（1，O），B（3，3），C（0，2），则△ABC的三边长a，b（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵B（3，3），6），∴a＝＝．∵A（1，O），8），∴c＝＝．∵A（8，O），2），∴b＝＝．∵＞＞，∴c＞a＞b．故选：D．6．（5分）4点钟后，从时针到分针第一次成90°角，到时针与分针第二次成90°角（答案四舍五入到整数）（）A．60 B．30 C．40 D．33【解答】解：分针的角速度是每分钟6°，时针的角速度是每分钟0.5°，故分针从“落后”时针90°到“领先“时针90°（按顺时针方向），应比时针多跑了180°，所费的时间为180°÷（6﹣0.8）≈33（分）．故选：D．7．（5分）平面上一组3条平行线与另一组4条平行线相交，可以构成平行四边形的个数为（）A．12 B．18 C．20 D．24【解答】解：从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形．而三条平行线中任选两条的方法有3种，4条平行线中任选两条的方法有7种，故平行四边形的个数为3×6＝18．故选：B．8．（5分）物理学定律告诉我们：光线经平面镜反射，光线与平面镜所成的角等于反射线与平面镜所成的角．现在有一束光线与水平面成60°的角照射地面，为使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成的∠DCB应为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠2，∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线平行，∴∠8＝∠4，又∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠3，∵光线与水平面成60°的角度照射地面，∴∠3＝60°÷7＝30°，∴∠4＝30°，即∠DCB＝30°．故选：B．9．（5分）已知三角形的周长是12，其中一边是另一边2倍，则三角形的最小边长的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．2＜x＜4 C．3＜x＜4 D．4＜x＜6【解答】解：因为最小边为a，一边为2a设周长为c，所以4a＜c＜3a，因为周长c＝12，所以三角形的最小边的范围是2＜a＜3．故选：A．10．（5分）对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8]＝4的整数根有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵[]＝4，∴4≤＜5，∴，∴，即7≤x＜，故x的正数值为7，8，2．故选：B．二、填空题11．（5分）已知点P（a，b）在第二象限，则Q（﹣b，a﹣1）三象限．【解答】解：∵点P（a，b）在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴﹣b＜2，a﹣1＜0，∴点Q（﹣b，a﹣5）在第三象限．故答案为：三．12．（5分）＝．【解答】解：设A＝（++...++）++...+）﹣7，＝AB﹣（A+1）（B﹣1）＝AB﹣（AB﹣A+B﹣4）＝A﹣B+1＝﹣1+4＝．答案为：．13．（5分）若x，y都是有理数，且使得四个两两不相等的数x+2，2y﹣8，y能分成两组，则x+y的值等于2．【解答】解：方法一、将4个数分成两组，当（x+2，2x）时则有（2y﹣8，根据条件：x+8+2x＝0，7y﹣8+y＝0，解得x＝﹣，y＝；当（x+2，2y﹣8）时，y），根据条件：x+2+2y﹣8＝0，2x+y＝6，解得：x＝﹣2，y＝4；当（x+6，y）时，2y﹣8），根据条件：x+8+y＝0，2x+3y﹣8＝0，方法二、∵x+2+2x+2y﹣3+y＝0，∴x+y＝2，故答案为：2．14．（5分）如图，是2008年奥运会的标志．试在上面三环中填入三个连续偶数，下面两环中填入两个连续奇数．要使这些数不小于10且不大于2019．【解答】解：根据题意可得，在上面三环中填入的数分别是10，14，19．所以这5个数中最大的数是19．故答案为：19．15．（5分）汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，听到回响时汽车离山谷的距离是640米．【解答】解：设汽车离山谷x米，则汽车离山谷距离的2倍即2x米，因为汽车的速度是72千米/时即20米/秒，则汽车前进的距离为：3×20米，声音传播的距离为：4×340米，根据等量关系列方程得：2x+7×20＝4×340，解得x＝640故答案填：640．16．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE＝BE＝AD，则∠C＝75度．【解答】解：设∠A＝x°，∠CBE＝y°，∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED＝x°，∴∠BDE＝∠A+∠AED＝2x°，∵DE＝BE，∴∠ABE＝∠BDE＝2x°，在△ABC中，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（7x+y）°在△ABC和△BEC中，x+2x+y+2x+y＝180，解得：x＝30，y＝15，∴∠C＝（4x+y）°＝75°，故答案为：75．17．（5分）如图，等边三角形ABC边长为1，用折线CDEFG把它分成5个面积相等的小三角形，最长一条与最短一条线段长的差是．【解答】解：如图，∵用折线CD、DE、FG把它分成5个面积相等的小三角形，∴SS△ABC，SS△ABC，∴BD＝4AD，∵等边三角形ABC边长为l，∴BD＝，AD＝，∵S，S，∴FB＝2DF，∴FB＝，∵S△FBG＝S△FGE∴BG＝GE，∵S，S，∴BE＝4CE＝，CE＝，∴BG＝GE＝，∴最长一条与最短一条线段长的差＝BD﹣AD＝，故答案为：．18．（5分）对于多项式ax3+x2+cx+1，当x＝3时，它的值是15，它的值是5．【解答】解：根据题意得：27a+9+3c+8＝15，即27a+3c＝5，则当x＝﹣8时，多项式为﹣27a+9﹣3c+3＝﹣（27a+c）+10＝﹣5+10＝5．故答案为：8．19．（5分）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用13个这样的砝码．【解答】解：∵11×8＝88，17×5＝85，∴88﹣85＝4，∴用11g的砝码8个，17g的砝码5个，∴至少用13个，故答案为13．20．（5分）试找出若干个正整数构成的数组，使其中的所有正整数的和是个数