2024-2025学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程阶段重点强化练三第三课圆的方程含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE阶段重点强化练(三)(60分钟100分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两圆x2＋y2－2x＋6y＋2＝0，x2＋y2＋4x－2y－4＝0的公共弦所在的直线方程为()A．3x－4y－3＝0 B．4x＋3y＋5＝0C．3x＋4y＋9＝0 D．4x－3y＋5＝0【解析】选A.依据题意，两圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋2＝0，x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋6y＋2＝0,x2＋y2＋4x－2y－4＝0))，变形可得3x－4y－3＝0；即两个圆的公共弦所在的直线方程3x－4y－3＝0.2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【解析】选D.设圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝m(m>0)，且圆过原点，即(0－1)2＋(0－1)2＝m(m>0)，得m＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．点P，Q在圆x2＋y2＋kx－4y＋3＝0上(k∈R)，且点P，Q关于直线2x＋y＝0对称，则该圆的半径为()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．1D．2eq\r(2)【解析】选B.由题意可得圆的圆心坐标为：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，2))，再由圆上的点关于直线对称可得，直线过圆心，所以2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＋2＝0，解得k＝2，所以圆的半径r＝eq\f(\r(k2＋42－4·3),2)＝eq\f(\r(4＋16－12),2)＝eq\r(2).4．圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x轴所得弦的长度等于()A．2B．2eq\r(3)C．2eq\r(5)D．4【解析】选B.令y＝0，则圆的方程转换为x2＋4x＋1＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝1，所以|AB|＝|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2eq\r(3).5．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】选A.由k＝1时，圆心到直线l：y＝x＋1的距离d＝eq\f(\r(2),2).所以弦长为eq\r(2).所以S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).所以充分性成立，由图形的对成性当k＝－1时，△OAB的面积为eq\f(1,2).所以必要性不成立．6．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为()A．eq\f(π,3) B．－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)【解析】选C.圆的半径为2，由弦长可得圆心到直线的距离d＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)，而圆心到直线的距离d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)，所以直线的倾斜角为：eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．7．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是()A．m∥l B．m⊥lC．m与圆相离 D．m与圆相交【解析】选AD.直线OP的斜率为eq\f(b,a)，直线l的斜率为－eq\f(a,b)，直线l的方程为：ax＋by＝a2＋b2，又P(a，b)在圆外，所以a2＋b2＞r2，故m∥l，圆心(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＜eq\f(r2,|r|)＝|r|，故m与圆相交．8．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有()A．公共弦AB所在直线方程为x－y＝0B．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0C．公共弦AB的长为eq\f(\r(2),2)D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为eq\f(\r(2),2)＋1【解析】选ABD.对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，kAB＝1，则线段AB中垂线斜率为－1，即线段AB中垂线方程为：y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))到x－y＝0的距离为d＝eq\f(|1－0|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)，半径r＝1所以|AB|＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\r(2)，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))到x－y＝0的距离为d＝eq\f(\r(2),2)，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为eq\f(\r(2),2)＋1，故D正确．三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确的答案填在题中的横线上9．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相内切，则圆C的方程是________．【解析】两圆的圆心距为：eq\r(（4－0）2＋（－3－0）2)＝5，设所求圆的半径为r(r>0)，由两圆内切的充分必要条件可得：|r－1|＝5，据此可得r＝6，圆C的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝36.答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝3610．若圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与圆C：x2＋y2＋ax＋by－7＝0(a，b，r为常数)，关于直线x－y＋2＝0对称，则a的值为________，r的值为________．【解析】因为圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，所以圆心为O(0，0)，半径为r，又因为圆C：x2＋y2＋ax＋by－7＝0(a，b，r为常数)，所以圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(b,2)))，由题意可知，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(b,2)))与O(0，0)关于x－y＋2＝0对称，且两圆的半径相等．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－1，,－\f(a,4)＋\f(b,4)＋2＝0，))解可得，a＝4，b＝－4，此时C：x2＋y2＋4x－4y－7＝0的半径为eq\r(15)，所以r＝eq\r(15).答案：4eq\r(15)11．已知a、b为正实数，直线x＋y＋1＝0截圆(x－a)2＋(y－b)2＝4所得的弦长为2eq\r(2)，则ab的最大值为________．【解析】因为直线x＋y＋1＝0截圆(x－a)2＋(y－b)2＝4所得的弦长为2eq\r(2)，且圆的半径为2.故圆心(a，b)到直线的距离d＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2).故eq\f(|a＋b＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，因为a、b为正实数，故a＋b＝1，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．答案：eq\f(1,4)12．已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，则圆C的方程为________．【解析】因为kAB＝eq\f(1,2)，AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以圆心C为(－1，－2).依据两点间的距离公式，得半径r＝eq\r(10)，因此，所求的圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝1013．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝m(m>0)，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1.则m的取值范围是________．【解析】圆C：x2＋y2＝4的半径为2，圆心坐标为：(0，0)设圆心(0，0)到直线l：x＋y＝m的距离为d，要想圆C上恰有两个点到直线l的距离为1，只需1<d<1＋2，即1<eq\f(|m|,\r(12＋12))<3eq\r(2)<|m|<3eq\r(2)，而m>0，所以eq\r(2)<m<3eq\r(2).答案：(eq\r(2)，3eq\r(2))14．2024年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．【解析】由题意圆L与圆S关于原点对称，设S(a，0)(a>0)，则eq\r(a2＋32)＝2＋3，a＝4，即S(4，0)，所以L(－4，0).设方程为y＝kx(k≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝eq\f(|－4k|,\r(1＋k2))，d2＝eq\f(|4k|,\r(1＋k2))，d3＝eq\f(|3|,\r(1＋k2))，则d2＝4(4－deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝4(4－deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝4(9－deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)))，即有4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k,\r(1＋k2))))eq\s\up12(2)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k,\r(1＋k2))))eq\s\up12(2)＝9－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(1＋k2))))eq\s\up12(2)解得k2＝eq\f(4,21)，则d2＝4(4－eq\f(16×\f(4,21),1＋\f(4,21)))＝eq\f(144,25)即d＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．15．(10分)已知圆C经过点A(－1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)求经过圆上一点A(－1，3)的切线方程．【解析】(1)依据题意，设圆心的坐标为(a，b)，圆心C在直线x－y＋1＝0上，则有a－b＋1＝0，圆C经过点A(－1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋1＝0,a＝1))，解可得b＝2；则圆心的坐标为(1，2)，r2＝|AC|2＝4＋1＝5，则圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5；(2)依据题意，有KAC＝eq\f(3－2,－1－1)＝－eq\f(1,2)，则切线的斜率k＝2，则切线的方程为y－3＝2(x＋1)，变形可得2x－y＋5＝0.16．(10分)已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x＋4y－1＝0被圆M截得的弦长为2eq\r(3)，且圆心M在直线l的右上方．(1)求圆M的方程；(2)设A(0，t)，B(0，6－t)(2≤t≤4)，若圆M是△ABC的内切圆，求AC，BC边所在直线的斜率(用t表示)；(3)在(2)的条件下求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．【解析】(1)设圆心M(a，0)，由已知得M到l：3x＋4y－1＝0的距离为eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，所以eq\f(|3a－1|,5)＝1.又因为M在l的右上方，所以3a－1＞0，所以3a－1＝5，所以a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则直线AC的方程为y＝k1x＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t－6.由于圆M与AC相切，所以eq\f(|2k1＋t|,\r(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))))＝2，所以k1＝eq\f(4－t2,4t)；同理，k2＝eq\f(4－（t－6）2,4（t－6）).(3)联立两条直线方程得C点的横坐标为eq\f(6,k2－k1)，因为|AB|＝t－(t－6)＝6，所以S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,k2－k1)))×6＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(18,k2－k1)))由(2)得：k2－k1＝eq\f(3,2)＋eq\f(6,t2－6t)因为2≤t≤4，所以－9≤t2－6t≤－8，所以－eq\f(3,4)≤eq\f(6,t2－6t)≤－eq\f(2,3)，所以eq\f(3,4)≤k2－k1≤eq\f(5,6)，所以eq\f(6,5)≤eq\f(1,k2－k1)≤eq\f(4,3)所以Smax＝24，此时t2－6t＝－8，t＝2或t＝4.综上：△ABC的面积S的最大值为24，此时t＝2或t＝4.17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋4)2＋(y－2)2＝20与y轴交于O，P两点，圆C2过O，P两点且与直线l1：y＝－eq\f(1,2)x相切．(1)求圆C2的方程；(2)若直线l2：y＝kx与圆C1，圆C2的交点分别为点M，N.求证：以线段MN为直径的圆恒过点P.【解析】(1)由题意令x＝0，代入圆C1中可得y1＝0，y2＝4