2025届高考数学一轮复习讲义-等比数列

第3讲等比数列

课标要求命题点五年考情命题分析预料

1.理解等比数列的2024新高考卷IIT8；

概念和通项公式2024全国卷乙T15；

的意义.2024全国卷甲T5；

本讲的命题热点为等比数列

2.探究并驾驭等比2024天津T6；2024全

等比数列的基本运算、等比数列的判

数列的前“项和国卷乙T8；2024全国

的基本运定与证明、等比数列的性质

公式，理解等比卷IT17；2024新高考

算的应用，整体比等差数列的

数列的通项公式卷IT18；2024新高考

运算量大.在客观题与主观题

与前n项和公式卷HT18；2024全国卷

中都有可能出现，难度中等.

的关系.IT14；2024全国卷

预料2025年高考命题稳定，

3.能在详细的问题IIIT5

重点驾驭等比数列的通项公

情境中，发觉数等比数列

式和前〃项和公式及其变形

列的等比关系，的判定与2024全国卷IIT6

应用，同时也要关注等比数

并解决相应的问证明

列与其他学问的综合运用.

题.等比数列2024新高考卷IIT8；

4.体会等比数列与的性质的2024全国卷乙T15,

指数函数的关系.应用2024全国卷甲T7

1.等比数列的概念

(1)等比数列的定义

一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这

个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(qWO)表示.

留意(1)等比数列中的任何一项都不为0,且公比“W0.(2)若一个数列是常数列，则

此数列确定是等差数列，但不愿定是等比数列，如：0,0,0,

(2)等比中项的概念

假如在。与6中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与6的等比中

项，此时CP—ab.

留意只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.

(3)等比数列的通项公式及其变形

通项公式：①a“=a「qLi，其中刃是首项，q是公比.

通项公式的变形：

说明当q>0且qWl时，斯=放应"可以看成函数y=c垢，其表示一个不为。的常数与指

数函数的乘积.

规律总结

等比数列的单调性

仿“｝是递减

当归A或｛葭3时，3是递增数列;当归;或忠W时，

数列;

当q=l时，｛诙｝是常数列；当q<0时，｛小｝是摇摆数列.

2.等比数列的前〃项和

设等比数列｛斯｝的公比为前”项和为S”.

，q=1,

③一=也学，q^i.

J1—q—q/

(2)当oWl时，s”=a」H=一q〃"+2,若设。=工，则S“=④~aan+a

1—q1—ql-ql-q

(aWO,qWO,qWl).由此可知，数列｛S,J的图象是函数y=—。夕'+々的图象上一系列孤

立的点，且q"的系数与常数项互为相反数.

当q=l时，因为aiWO,所以S,=〃ai.由此可知，数列｛&｝的图象是函数y=aix的图象上

一系列孤立的点.

留意在运用等比数列的前〃项和公式时，要留意对q=l与qWl进行探讨.

3.等比数列的性质

(1)等比数列项的性质

设数列｛斯｝,仍"｝是等比数列.

a.若机+〃=左+/,则⑤4",°"=<7劭，其中机，n,k,/GN*,反之，不愿定成立，如当数

列｛斯｝是非零常数列时，此结论不成立.

b.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即延，ak+m,公+2,“，…ik,加GN*)仍是等

比数列，公比为⑥d".

c.数列｛九/”｝,｛明，1｝,血也｝和仔｝GI数0,"GN*)也是等比数列.

a”bn

d.若斯>0,则数列｛1g斯｝是等差数列.

(2)等比数列的前“项和的性质

设必是等比数列｛斯｝的前〃项和.

b.当qW—1（或q=-1且左为奇数）时，Sk,SZLSHS3k—S2f…是⑦等比数列.

留意当q=-1且左为偶数时，Sk,S2k-Sk,S3*—S2b…不是等比数列.

1.下列说法正确的是（B）

A.满意a”+i=«“（qWO,wGN*）的数列｛斯｝为等比数列

B.a,b,c三个数成等比数列是加=改的充分不必要条件

C.若数列｛斯｝为等比数列，S,为其前〃项和，则叉，s8-s4,S12—S8成等比数列

D.若等比数列｛诙｝为递增数列，则其公比q>l

2.［多选］已知数列UJ是等比数列，公比为q,前〃项和为S“则下列说法错误的是

（BC）

A《｝为等比数列B.｛log2斯｝为等差数列

C.｛a〃+a“+i｝为等比数列D.若S“=3"r+r,则r=-］

解析令幻=三，则等i=工=工（非零常数），所以｛2｝是等比数列，选项A正确；若

«nbnan+1qan

an<0f则log2即无意义，所以选项B错误；当q=-1时，an+an+i=Of此时不

n

是等比数列，所以选项C错误；当qWl时，Sn=A-A-q（/1=言^）,由5〃=3"一】+r=

》X3"+r可得厂=一1,所以选项D正确.故选BC.

3.［易错题］设等比数列｛诙｝的前“项和为S.,若m=2,$3=6,则孔=8或一10.

解析设公比为％当q=l时，S3=3ai成立，所以S4=4ai=8.当qWl时，SB：。1'二：）=

6,解得q=—2,所以S4=6+2/=-10.所以§4=8或一10.

4.［教材改编］有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个

数的和为21,中间两个数的和为18,则这四个数依次为3,6,12,18或），?，》，

解析设后三个数分别为。一4,a,a+d,则第一个数为,因此这四个数为

a

(2

d,：a—d,a,a+d.由题意得——a—+(a+d)=21,解得卜=豆，或

a—d+a=18,d—6

a=27

49故这四个数为3,6,12,18或?，

d=一?4444

研透高考明确方向

命题点1等比数列的基本运算

例1(1)[2024全国卷甲]设等比数列UJ的各项均为正数，前〃项和为S”若ai=l,S5

=5$3—4,则8=(C)

A.—B.—C.15D.40

88

解析解法一若该数列的公比4=1,代入S5=5S3—4中，有5=5X3—4,不成立，所

以9W1.由，^=5义^^~—4,化简得q4—5q2+4=0,所以/=1(舍)或,2=%由于此

数列各项均为正数，所以q=2,所以S4=L£=15.故选C.

1-Q

解法二设等比数列｛斯｝的公比为夕，由已知得1+4+42+炉+.4=5(i+g+g2)-4,整

理得q(1+q)(才-4)=0,由于此数列各项均为正数，所以q=2,所以S4=l+q+q2

+43=1+2+4+8=15.故选C.

(2)[2024天津高考]已知｛〃〃｝为等比数列，S〃为数列｛〃〃｝的前〃项和,即+i=2S〃+2,则

。4的值为(C)

A.3B.18C.54D.152

解析解法一因为斯+i=2S〃+2,所以当〃22时，an=2Sn-i+2,两式相减得斯+i—斯=

2a,即a〃+i=3斯，所以等比数列｛念｝的公比.当〃=1时，Q2=2SI+2=2〃I+2,

nan

又怎=3。1,所以3的=2防+2,解得的=2,所以。4=0炉=2X33=54,故选C.

解法二设等比数列｛许｝的公比为q,因为斯+i=2S〃+2,所以公比qWl,且。应”=

又。iWO,所以q=3,〃1=2,所

以«4=«1^3—2X33=54,故选C.

方法技巧

1.等比数列基本运算中常用的数学思想

方程等比数列中有五个量ai,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方

思想程(组)求解.

分类讨等比数列的前〃项和公式涉及对公比q的分类探讨(分4=1和“W1两种状

论思想况探讨).

2.等比数列基本运算中常用的技巧

(1)(对称设元)一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设

这些项为…，x,xq,若连续偶数个符号相同的项成等比数列，则可设这些项

q

4xx3

为…，-T,一，xq,xqJ,….

Q3Q

(2)求解等比数列基本量时留意运用整体思想、设而不求等，同时合理运用乡=殁=电

%a2

__an_。2+.3+…+而

aaa，

n-il+2+-+«n_1

(3)留意立方差公式的应用：〃一〃二(〃一。)(/+乃+/).

训练1(1)［2024全国卷乙］已知等比数列｛斯｝的前3项和为168,〃2—〃5=42,则%=

(D)

A.14B.12C.6D.3

解析解法一设等比数列｛为｝的公比为⑶

由题意可得『】+"2+%=168，

即卜1(1+q+q2)=168,=96

1

32解得

Lq(1—Q)=arq(1—Q)(1+q+q)=42,q=：，

所以〃6=。q5=3,故选D.

g金=168,

解法二设等比数列｛a,J的公比为q,易知由题意可得｛解得

(1—q3)=42,

%=96,

1所以〃6=〃M=3,故选D.

q，

I"2

(2)［全国卷I］设｛aj是等比数列，且〃1+〃2+〃3=1，。2+。3+〃4=2,则〃6+〃7+。8=

(D)

A.12B.24C.30D.32

解析设等比数列｛。“｝的公比为q,所以中抖=上士W=q=2,所以恁+仍+债

十。2十。3d1十。2十。3

=(。1+(?2+。3)口5=25=32,故选D.

命题点2等比数列的判定与证明

例2［全国卷I］已知数列⑷｝满意41=1,〃斯+1=2(〃+1)即设6“=%.

n

(1)求如bi，Z?3；

(2)推断数列仍“｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛为｝的通项公式.

解析(1)由条件可得跖,+1="士。“.

n

将〃=1代入得，。2=4〃1,而。1=1,所以。2=4.

将〃=2代入得，的=3。2,所以〃3=12.

从而d=1,历=2,83=4.

(2)仍〃｝是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得加=码，即与+i=2b“，又乩=1,所以协.｝是首项为1,公比为2的等比数列.

n+1n

(3)由(2)可得%=2『1,所以。“="251.

n

方法技巧

判定与证明等比数列的常用方法

定义法若‘叽=4⑺为非零常数且”22),则｛斯｝是等比数列

an-l

等比

若数列｛斯｝中，a„^0且吗+1=出・斯+2,则｛期｝是等比数列

中项法

通项若数列｛斯｝的通项公式可写成斯=cq"「i(c,g均为非零常数)，则｛斯｝是等比

公式法数列

前n项和若数列｛斯｝的前〃项和斗=左”〃一左(左为非零常数，qWO且qWl),则｛为｝是

公式法等比数列

训练2［2024江苏省七市模拟］已知数列｛%｝满意m=l,痣=5,an+2=5an+l-6a„.

(1)证明：｛斯+i—2%｝是等比数列.

(2)证明:存在两个等比数列仿3｛金｝,使得斯=3+金成立.

解析解法一(1),.•斯+2=5。〃+1—6斯，

♦♦。”+22a〃+i5。”+16a“2a”+i3a〃+i6a”3(a”+i2a“),

«〃i=l,42=5,••a?-2〃i=3W0,

，数列｛诙+i—2斯｝是首项为3,公比为3的等比数列.

(2)•。〃+25。〃+16。八,•・a〃+23〃〃+i5〃八+i6。八3a〃+i2。八+16〃“2(”〃+i

3a〃).

•=1,〃2=5,・•。2-3〃i=2W0,

,数列｛斯+1—3斯｝是首项为2,公比为2的等比数列，

n

an+i—3an=2①,

由第(1)问得〃〃+i—2斯=3〃②，

由②一①得，斯=3"-2".

故存在通项为为=3",金=一2〃的两个等比数列，使得为+金成立.

角牛/去(1)a〃+2I2林(a〃+iI,

由研2=5研「6诙得解得匕二：2或「二:；.

••。〃+22。〃+13（。〃+12〃八）或〃八+23。八+12（。〃+13。〃）.

・=1,〃2=5,

••〃22al=3WO,

・・・数列｛斯+1—2斯｝是首项为3,公比为3的等比数列.

(2)由(1)知斯+1—2飙=3〃①，

由斯+2-3斯+1=23斯)可得斯+1—3斯=2"②，

nn

由①一②得，an=3~2f

故存在通项为勿=3",金=一2"的两个等比数列，使得斯=为+金成立.

命题点3等比数列的性质的应用

例3(1)[2024新高考卷II]记&为等比数列｛斯｝的前〃项和，若&=—5,S6=21S2,则

S8=(C)

A.120B.85C.-85D.-120

解析解法一设等比数列｛〃〃｝的公比为q(q¥0),由题意易知qWl,则

‘皿（1—q4）=_5

q2—4,z_8、

1—q'11

化简整理得Iai1所以S8=%IF=工义（1—44）=

（1—q6）=2]X（1一＜?2）=-.i—q3

（1—q3

.i—qi—q

一85.故选C

2

解法二易知S2,S4—S2,S6-S4,S8—每为等比数列，所以(S4—S2)=S2-(S6-S4),

解得$2=—1或5＞2=9.当5(2=—1时，由(孔一义)2=(义一512)•(1—、6),解得S8=

4

.d4)=—5,

-85;当S2=g时，结合&=一5得4化简可得才=—5,不成立，舍去.

4Iat(1—_5