人教版初二数学轴对称考点题型与解题方法

人教版初二数学轴对称考点题型与解题方法

单选题

1、如图，在△AffC中,/8=20cm,/C=12cm,点尸从点6出发以每秒3cm速度向点/运动，点0从点/同时

出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以尸0为底的

等腰三角形时，运动的时间是（）秒

A.2.5B.3C.3.5D.4

答案：D

解析：

设运动时间为x秒时，AP=AQ,根据点R0的出发点及速度，即可得出关于方的一元一次方程，解之即可得

出结论.

设运动的时间为x秒，

在△25。中，Z6=20cm,ZC=12cm,

点〃从点8出发以每秒3cm的速度向点2运动，点。从点2同时出发以每秒2cm的速度向点。运动，

当^"0是以国为底的等腰三角形时，AP=AQ,肝=20-3为AQ=2x,

即20-3x=2x,

解得x=4

故选：D.

小提示:

此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于

1

中档题.

2、如图，在△/回中，龙是47的垂直平分线，且分别交比；/C于点〃和£,Z5=60°,N0=25。，贝能应

为（）

答案：B

解析：

根据线段垂直平分线的性质得到加=〃C,根据等腰三角形的性质得到N为dNC,根据三角形内角和定理求出

ZBAC,计算即可.

・•.庞是/C的垂直平分线，

DA=DC,

ZDAG=NG=25°,

•/Z氏60°,ZG=25°,

Z刃公95°,

ZBAD=£刃GNDAC=1Q°,

故选B.

小提小：

本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等是解题的关键.

3、点力（2,-1）关于y轴对称的点6的坐标为（）

2

A.(2,1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)

答案：D

解析：

根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得.

解：点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同.

则点4(2,—1)关于y轴对称的点B的坐标为(—2,-1),

故选：D.

小提示：

本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于y轴对称的变换规律是解题关键.

4、如图，在RtA/阿中，ZABC=SOQ,分别以点力和点6为圆心，大于的长为半径作弧相交于点〃和点瓦

直线施交/C于点/，交居于点G,连接品若BF=3,AG=2,贝1J8C=()

A.5B.4V3C.2V5D.2V13

答案：C

解析：

利用线段垂直平分线的性质得到FB=凡4,AG=BG=2,再证明尸C=FB=凡4=3,利用勾股定理即可解决

问题.

解：由作图方法得GF垂直平分28,

FB=FA,AG=BG=2,

3

/.Z.FBA=

•J/.ABC=90°,

+乙。=90°,AFBA+乙FBC=90°,

Z-C=Z.FBC,

FC=FB,

/.FB=FA=FC=3,

AC=6,AB—4,

BC=<AC2-AB2=A/62-42=2V5.

故选：C.

小提示：

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段

的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）方法是解题关键，同时还考查了线段垂直平

分线的性质.

5、下列命题是假命题的是（）.

A.同旁内角互补，两直线平行

B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

C.相等的角是对顶角

D.角是轴对称图形

答案：C

解析：

根据平行线、垂直平分线、对顶角、轴对称图形的性质，逐个分析，即可得到答案.

同旁内角互补，则两直线平行，故A正确;

4

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故B正确;

由对顶角可得是相等的角；相等的角无法证明是对等角，故C错误；

角是关于角的角平分线对称的图形，是轴对称图形，故D正确

故选：C.

小提示：

本题考查了平行线、垂直平分线、对顶角、轴对称图形、角平分线、命题的知识；解题的关键是熟练掌握平行

线、垂直平分线、对顶角、轴对称图形、角平分线的性质，从而完成求解.

6、下列命题中，属于假命题的是（）

A.边长相等的两个等边三角形全等B.斜边相等的两个等腰直角三角形全等

C.周长相等的两个三角形全等D.底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等

答案：C

解析：

根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即

可得到答案.

解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；

B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；

C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；

D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意.

故选：C.

小提示：

本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键.

7、如果一个等腰三角形的周长为17cm,一边长为5cm,那么腰长为（）

5

A.5cmB.6cmC.7cmD.5cm或6cm

答案：D

解析：

此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边长或5cm是等腰三角形的腰长，然后进一步根据三角形的三边关

系进行分析能否构成三角形.

当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是(17-5)+2=6(cm),能够组成三角形；

当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5x2=7(cm),能够组成三角形.

故该等腰三角形的腰长为：6cm或5cm.

故选：D.

小提小：

此题考查了等腰三角形的两腰相等的定义，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键.

8、给出下列命题，正确的有()个①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相

等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角

形

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：B

解析：

解：①等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故本选项错误；

②等腰三角形两腰上的高相等，本选项正确；

③等腰三角形最小边不一定底边，故本选项错误；

④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，本选项正确；

⑤等腰三角形可以是钝角三角形，故本选项错误,

6

故选B

填空题

9、如图已知OA=a,P是射线ON上一动点，ZAON=60°,当0P=时，△AOP为等边三角形.

N

答案：a

解析:

根据"有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答.

---ZAON=60°,

.,.当OA=OP=a时，AAOP为等边三角形.

故答案是：a.

小提示:

本题考查了等边三角形的判定.等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三

角形.（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）判定定理2：有一个角是60。的等腰三角

形是等边三角形.

10、如图，在△ABC中，AB=AC,外角NACD=110。，则NA=

答案：40°

解析:

7

由NACD=110。，可知NACB=70。；由AB=AC,可知NB=NACB=70。；利用三角形外角的性质可求出NA.

解：ZACD=110°,

ZACB=180°-110o=70°；

AB=AC,

ZB=ZACB=70°；

ZA=ZACD-ZB=110°-70o=40°.

故答案为40°.

小提小：

本题考查了等边对等角和三角形外角的性质.

11、如图，在AABC和ADBC中，N4=40。，AB=AC=2,zSDC=140°,BD=CD,以点。为顶点作

Z.MDN=70°,两边分别交4B,AC于点M,N,连接MN,则AAMN的周长为.

答案：4

解析：

延长AC至E,使CE=BM,连接DE.证明△BDM2△CDE(SAS),得出MD=ED,ZMDB=ZEDC,证明

AMDN2△EDN(SAS),得出MN=EN=CN+CE,进而得出答案.

延长AC至E,使CE=BM,连接DE.

8

,/BD=CD,且NBDC=140°,

/.ZDBC=ZDCB=20°,

•「NA=40°,AB=AC=2,

/.ZABC=ZACB=70°,

/.ZMBD=ZABC+ZDBC=90°,

同理可得NNCD=90°,

/.ZECD=ZNCD=ZMBD=90°,

BM=CE

在^BDM和^CDE中，\2LMBD=乙ECD，

BD=CD

/.△BDMM△CDE(SAS),

/.MD=ED,ZMDB=ZEDC,

/.ZMDE=ZBDC=140°,

,/NMDN=70°,

ZEDN=70°=ZMDN,

'MD=ED

在4MDN和^EDN中，\/.MDN=Z.EDN，

、DN=DN

：.△MDN兰△EDN(SAS)，

/.MN=EN=CN+CE,

9

△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；

所以答案是：4.

小提小：

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；构造辅助线证明三角形全等是解题的关键.

12、等腰三角形的一个外角为100。，则它的底角是.

答案：80。或50。

解析：

等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80。，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所

以应分两种情况进行分类讨论.

••­等腰三角形的一个外角等于100°,

.等腰三角形的一个内角为80。，

当80。为顶角时,其他两角都为50。、50°,

当80。为底角时，其他两角为80。、20。，

所以等腰三角形的底角可以是50。,也可以是80。.

答案为：80。或50。.

小提小:

本题考查等腰三角形的性质，当已知角没有明确是顶角还是底角的时候，分类讨论是关键.

13、如图，等边△/8C的周长是18,〃是47边上的中点，点£在回边的延长线上.如果庞=施，那么"的

长是.

IAT

/\D

BC

10

答案：3

解析：

由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得NDBE=30。，由DE=DB得NE=30。，再证出NCDE=NE,得出

CD=CE=|AC=3即可.

・•・AABC为等边三角形，D为AC边上的中点，

,BD为NABC的平分线,且BABC=60°,

ZDBE=30°,

又DE=DB,

/.ZE=ZDBE=30°,

•••等边△ABC的周长为18,

AC=6,且NACB=60°,

/.ZCDE=ZACB-ZE=30°,

ZCDE=ZE,

CD=CE=-AC=3.

2

故答案为3.

小提示：

此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质,

证明CD=CE是解题的关键.

解答题

14、规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为"兄弟三角形

(1)如图①，在AABC与AADE中，AB=AC,AD=AE,当NB4C、4BAD、乙BAE、满足条件时,

△ABC-^AADE互为"兄弟三角形”;

11

(2)如图②，在△ABC与A4DE互为"兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,BE,CD相交于点弘连2M,求证:

M4平分NBMD；

(3)如图③，在四边形4BCD中，AD=AB,^BAD+/LBCD=180°,XC=BC+DC,求NBAD的度数.

答案：(1)=+(2)见详解；(3)60°.

解析：

(1)由角的等量代换，以及"兄弟三角形"的定义，即可得到答案；

(2)根据兄弟三角形的定义，得到NB4E=NC4D,然后证明△ABE2△ACD,则NABN=NACH,再证明

△ABN2AACH,得至[]AN=AH,即可得到结论成立；

(3)延长CD至H,使得DH=BC,连接AH,先证明△ABCM△ADH,再得到△ACH是等边三角形，然后得到

ZBCD=120°,即可得到答案.

解：(1)^BAC=4BAD+ADAC,乙BAE=4BAD+Z.DAE,

又“兄弟三角形"的定义，则

Z-BAC=Z.DAE,

/.Z-BAE=乙BAD+Z-BAC；

所以答案是：^BAE=^BAD+AC；

(2)作AH_LDM,AN±BM,如图：

12

■△ABC^L4DE互为"兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,

/.Z-BAC=Z.DAE,

Z-BAC+/.CAE=Z-DAE+乙CAE

即4R4E=2LCAD,

/.△ABEM△ACD,

/.ZABN=ZACH,

,/ZANB=ZAHC=90°,AB=AC,

/.△ABN主△ACH,

AN=AH,

,/AH±DM,AN±BM,

/.AM平分4BMD；

(3)延长CD至H,使得DH二BC,连接AH,如图:

公

X

D

C

13

,/^BAD+乙BCD=180°,

/./.ABC+Z.ADC=180°,

・•.AADHAADC=180°,

/-ABC=乙ADH,

,/BC=DH,AB=AD,

/.△ABCM△ADH,

/.AH=AC,

,/AC=BC+DC=DH+CD=CH,

：.AH=AC=CH,

「.△ACH是等边三角形；

/.ZACD=ZH=60°,

/.ZACB=ZH=60°,

/.NBCD=60°+60°=120°,

ZBAD=60°.

小提示：

本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质,

以及角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

15、如图，ABC中，AD平分NBAC,DGJ_BC且平分BC,DEJ_AB于E,DFJ_AC于F.

(1)说明BECF的理由；

(2)如果AB5,AC3,求AE、BE的长.

14

答案：(1)见解析；(2)BE1,AE4.

解析:

(1)连接BD、C