内蒙古武川县第三中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

武川县第三中学暑假学习质量检测初三数学试卷（满分100分，考试时间100分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1.下列根式中，不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【详解】解：A、含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故符合题意；B、是最简二次根式，故不符合题意；C、是最简二次根式，故不符合题意；D、是最简二次根式，故不符合题意；故选：A．2.下列计算正确的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减与二次根式的乘法及分母有理化逐一计算判断即可得．【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；，故B选项错误；42×23，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的加减运算和二次根式的乘法运算及二次根式的化简，熟练掌握各个运算方法是解题关键．3.若y＝(m﹣2)x+(m2﹣4)是正比例函数，则m的取值是()A.2 B.﹣2 C.±2 D.任意实数【答案】B【解析】【分析】正比例函数的一般式y=kx，k≠0，所以使m2-4=0，m-2≠0即可得解．【详解】由正比例函数的定义可得：m2-4=0，且m-2≠0，解得，m=-2；故选B.4.下列说法中正确的是（）A.已知，，是三角形的三边长，则B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在中，若，则D.在中，若，则【答案】C【解析】【分析】如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．依此即可作出选择．【详解】A、已知a、b、c是三角形的三边，无法确定a2+b2=c2，故选项错误；B、在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，故选项错误；C、在Rt△ABC中，∠C=90°，所以AC2+BC2=AB2，故选项正确；D、在Rt△ABC中，∠B=90°，所以AB2+BC2=AC2，故选项错误．故选C．【点睛】考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．5.下列说法中，不正确的是（）A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B.对角线垂直的矩形是正方形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据菱形、正方形、平行四边形及矩形判定方法，对选项一一分析，即可解答．【详解】选项A，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，选项A正确；选项B，对角线垂直的矩形是正方形，选项B正确；选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，选项C正确；选项D，一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，选项D错误．故选D．【点睛】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定及性质定理，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解答本题的关键．6.某校规定学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期中、期末成绩分别为分、分、分，则她本学期的学业成绩为（）A.85 B.90 C.92 D.89【答案】B【解析】【分析】根据加权平均数的计算方法计算即可．【详解】解：她本学期的学业成绩为：（分）．故选：B．【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题关键．7.如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知解析式求出点A、B的坐标，根据过原点且将的面积平分列式计算即可；【详解】如图所示，当时，，解得：，∴，当时，，∴，∵C在直线AB上，设，∴，，∵且将的面积平分，∴，∴，∴，解得，∴，设直线的解析式为，则，∴；故答案选D．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．【详解】解：如图，当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高，即b＝12；∴a＝16﹣12＝4，当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，b13，∴此时a＝3，所以3≤a≤4．故选：B．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．9.如图，将边长为4的菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意，连接AC，则两条对角线交于点O，可得△ABO为直角三角形，进证得，又ABCD是菱形，所以可得；【详解】如解图，连接AC，则两条对角线交于点O，∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF垂直平分AO，∵，，∴，∴EF是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分，∴；故选A；【点睛】本题主要考查菱形和直角三角形的性质，关键在利用特殊角的三角函数值进行求解；10.如图，已知正方形的边长为2，E是边上的动点，交于点，垂足为点G，连接；①；②；③点G运动的路径长为；④的最小值．其中正确的说法有（）个．A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为中点，可判断出①错误；求得，根据正方形的性质证明，再根据全等三角形对应边相等，可判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，然后求出弧的长度，可判断出③错误；由于和的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理求出最小长度，即可判断出④正确．【详解】解：在正方形中，，保持不变，点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，当E移动到与C重合时，F点和D点重合，，故①错误；，，，，在和中，，，，故②正确；当E点运动到C点时停止，点G运动的轨迹为圆，圆弧的长，故③错误；和的长度是一定的，当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，，的最小值为，故④正确；综上所述，正确的结论有②④，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出和全等是解题的关键，此题求运动轨迹有一定的难度．二、填空题（每题3分，共18分）11.若与互为相反数，则的值是_____．【答案】9【解析】【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，再代值计算即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∵，，∴，解得：，∴；故答案为：9【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，熟练掌握非负数的性质、正确求得a、b的值是关键．12.一组数据1，2，a的平均数为2，另一组数据﹣1，a，1，2，b的唯一众数为﹣1，则数据﹣1，a，1，2，b的中位数为___________．【答案】1【解析】【分析】根据平均数求得a的值，然后根据众数求得b的值后再确定新数据的中位数．【详解】试题分析：∵一组数据1，2，a的平均数为2，∴1+2+a=3×2解得a=3∴数据﹣1，a，1，2，b的唯一众数为﹣1，∴b=﹣1，∴数据﹣1，3，1，2，﹣1的中位数为1．故答案为1．【点睛】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值．13.如图，已知，，，，，则阴影部分的面积为_______．【答案】24【解析】【分析】利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据阴影部分的面积，即可得到答案．【详解】解：如图，连接，，，，，，，，，，是直角三角形，，阴影部分的面积，故答案为：24．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键．14.如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是__．【答案】16【解析】【分析】先利用三角形中位线性质得到，然后根据菱形性质计算菱形的周长．【详解】解：，分别是，的中点，为的中位线，，四边形为菱形，，菱形的周长．故答案为：16．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．灵活应用三角形中位线性质．15.已知O为坐标原点，点在直线上，在x轴上有一点B使得面积为8，则直线与y轴的交点坐标为________．【答案】或##或【解析】【分析】先求出A点的坐标为，设，则，由，求出，设直线AB的解析式为，再讨论当时和当时利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可得到答案．【详解】解：∵点在直线上，∴，∴，设，∴，∴，∴，设直线AB的解析式为，∴当时，，∴，解得，∴直线AB的解析式为，∴此时直线AB与y轴的交点坐标为（0，8）；同理求得当时，直线AB的解析式为，∴此时直线AB与y轴交点坐标为（0，），故答案为：（0，8）或（0，）．【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，求一次函数解析式，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16.一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2正确的是_____．【答案】①【解析】【分析】根据一次函数的图象和性质即可判断出k和a的取值范围；由图象的交点横坐标即可得到③的结论．【详解】解：①y1＝kx＋b的图象过一、二、四象限，则k＜0；故此选项正确；②y2＝x＋a的图象过一、三、四象限，则a＜0；故此选项错误；③由于两函数图象交点横坐标为3，则当x＜3时，y1＞y2；故此选项错误．故答案为：①．【点睛】此题考查一次函数图象，一次函数图象的性质，一次函数图象与系数的符号关系，根据一次函数交点判定函数值的大小，熟记一次函数的性质是解题的关键．三、解答题（第17－19题每题6分，第20－22题每题8分，第23题10分共52分）17.计算．（1）；（2）（配方法）【答案】（1）（2），【解析】【分析】此题考查了二次根式的混合运算和配方法解一元二次方程．（1）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；（2）原方程配方变形为，再开平方即可求出方程的解．【小问1详解】【小问2详解】∴则∴∴∴，18.如图，菱形的对角线交于点O．已知，求菱形的高线长．【答案】【解析】【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出其边长即可；利用菱形的面积公式求出菱形的面积，即可．【详解】解：设菱形的高线长为，∵菱形的对角线交于点O．已知，∴，∴菱形的边长，菱形的面积为：，∴，∴【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．19.我校举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，初一、初二年级组根据年级初赛成绩，各选出5名选手参加学校总决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写表格；

平均数（分）中位数（分）众数（分）初一组85______85初二组______80______（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好?（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】（1）见解析；（2）初一组的成绩好；（3）见解析【解析】【分析】（1）由条形图得出初一组、初二组的成绩，再根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；（2）在平均数相等的前提下比较中位数大小即可得出答案；（3）根据方差的定义列式计算，再由方差的性质可得答案．【详解】解：（1）将初一组成绩重新排列为75、80、85、85、100，初一组成绩的中位数为85分，初二组成绩重新排列为70、75、80、100、100，初二组成绩的平均数为（分），众数为100分，填表如下：平均数（分）中位数（分）众数（分）初一组858585初二组8580100（2）初一、初二组成绩的平均数相同，而初一组成绩的中位数大于初二组，所以初一组的高分人数多于初二组，初一组的成绩好；（3），，，初一组选手成绩较稳定．【点睛】本题考查条形统计图、加权平均数、众数、中位数、方差，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．（1）求点和点的坐标；（2）轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出和，再根据勾股定理即可求出的长，由翻折可知，，得出，设，则．再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标；（2）求出的值，即可得出的值，再根据，即可求出的值，从而即得出P点坐标．【小问1详解】∵，令得：，∴．∴令得：，解得：，∴∴．在中，，由翻折可知，，∴，∴设，则．在中，，即，解得：，∴；【小问2详解】∵，，∴．∵点P在y轴上，，∴，即，解得：，∴P点的坐标为或．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．21.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？【答案】（1）；（2）当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.【解析】【分析】（1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的关于的函数解析式；（2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．【详解】解：（1）由题意可得，，当时，，当时，，由上可得，；（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；当购买商品原价超过100元时，若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；若，即，此时甲乙商场购物花费一样；若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．22.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．（1）求证：四边形为矩形；