考题猜想03 分式（培优+拔高必刷60题17种题型）（解析版）

考题猜题03分式

（培优+拔高必刷60题17种题型专项训练）分式有无意义、值为0的条件根据分式的值的情况判断参数值或取值范围分式的基本性质已知分式恒等变形求未知数分式的化简求值分式的比较大小求分式的最值问题与分式运算有关的新定义问题与分式运算有关的规律探究问题与分式运算有关的阅读理解问题解分式方程与解分式方程有关的新定义问题与解分式方程有关的阅读理解问题与解分式方程有关的错误步骤探究问题分式方程与不等式组综合一．分式有无意义、值为0的条件（共4小题）1．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论：①不论a为何值时aa②a=−1时，分式(a+1)(③若x2+1x−1的值为负，则x④若x+1x+2÷x+1x有意义，则x的取值范围是A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【答案】B【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可．【详解】解：①∵a2∴不论a为何值时，aa②∵当a=−1时，a2此时分式无意义，∴②错误；③∵x2+1x−1∴x−1<0，∴x<1，故③正确；④∵x+1x+2∴x+2≠0,x+1≠0且x≠0，∴x的取值范围是x≠−1,x≠−2且x≠0，故④正确．故选：B2．（2024八年级·全国·竞赛）函数y=2−xx+1+x−1A．x≤2 B．x≤2且x≠−1 C．x≤2且x≠−1或x≠0 D．x≤2且x≠0且x≠−1【答案】D【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，负整数指数幂．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，负整数指数幂，即可求解．【详解】解：由题意得：2−x≥0且x+1≠0且x≠0，解得：x≤2且x≠−1且x≠0．故选：D3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知当x=−4时，分式x−b2x+a无意义；当x=2时，此分式的值为0，则2ab2A．34 B．83 C．45【答案】B【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，根据分式无意义的条件、分式的值为0的条件分别求出a=8，b=2，代入代数式即可求解，掌握分式无意义的条件，分式值为0的条件是解题的关键．【详解】解：∵x=−4时，分式x−b2x+a∴2×−4+a=0，解得：∵x=2时，此分式的值为0，∴2−b=0，解得：b=2，∴2ab2⋅故选：B．4．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知某个分式，当x=−1时，分式无意义，当x=2A．x−2x+1 B．x+2x+1 C．x+2x−1【答案】A【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当x=−1【详解】解：当x=−1时，x+1=0，则分式x−2x+1，x+2x+1无意义；x−1=−2≠0当x=2时，x−2x+1=0，故选：A．二．根据分式的值的情况判断参数值或取值范围（共4小题）5．（2021九年级·安徽·专题练习）下列关于分式x+2xA．当x>-2时，分式的值一定为负数B．当x=0时，分式没有意义C．当x<-2时，分式的值一定为正数D．当x=-2时，分式的值为0【答案】A【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．故选A．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式无意义的条件，以及分式的值为正数或负数的条件．正确掌握相关性质是解题的关键．6．（2022八年级上·全国·专题练习）分式x−3x3−2A．x<3 B．x>0且x≠1 C．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1【答案】D【分析】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案．【详解】解：x−3==x−3因为分式的值为负数，∴x−3>0x<0x≠1∴0<x<3且x≠1故选：D．【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值与分子、分母的关系是解题的关键．7．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）若3a−1表示一个整数，则整数aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可．【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，∴a＝0或2或﹣2或4，故选：C．【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键．8．（20-21八年级上·山东济南·期中）已知a为整数，且a+3a−5−a−5a+2÷A．8 B．12 C．16 D．10【答案】C【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．【详解】解：a+3a−5﹣a−5a+2＝a+3a−5﹣a−5a+2＝a+3a−5﹣＝a+3−a+2＝5a−5∵a为整数，且分式的值为正整数，∴a﹣5＝1，5，∴a＝6，10，∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．故选：C．【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．三．分式的基本性质（共4小题）9．（21-22八年级上·山东滨州·期末）把分式13x−1A．3x−62x+4 B．4x−26x+3 C．2x−12x+1【答案】B【分析】根据分式的基本性质求解即可．【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：13x−161故选：B．【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．10．（20-21八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（

）A．−x−yx=−x−yC．0.2a+b0.2b=2a+b【答案】D【分析】利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，分式与其倒数不相等．【详解】解：A.−x−yx=−B.a+ba−bC.0.2a+b0.2b=D.x−1故选择：D．【点睛】本题考查分式的基本性质，和倒数的概念，掌握分式的基本性质和倒数概念的区别是解题关键．11．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）将分式xy2x+y中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（

A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半【答案】A【分析】把原分式中的x、y分别替换成2x，2y，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案．【详解】解：∵分式xyx+y中x、y∴分式xyx+y变为：则该分式的值变为原来的2倍．故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质．12．（18-19八年级下·江苏泰州·期中）已知3x−2(x+1)(x−1)=Ax−1+【答案】A=12，B=【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.【详解】解：∵Ax−1又∵Ax−1∴(A+B)x+A−Bx+1∴A+B=3A−B=−2解得A=1∴A=12，B=5【点睛】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.四．已知分式恒等变形求未知数（共4小题）13．（20-21八年级下·江苏南京·期中）已x2+2x(x+1)(x+2)=A【答案】4【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于A、B、C的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．【详解】解：∵x2∴x2∴x2∴A+B+C=13A+2B+C=0解得，A=1B=−3∴A+2B+3C=1+2×(−3)+3×3=4．故答案为：4．【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于A、B、C的方程组是解题的关键．14．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx【答案】6【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)【详解】解：∵6x3∴6∴6x∴当x=0时，B+D=0①当x=1时，A+B+3C+D=16当x=−1时，3B−A∵6x即6∴A+C=6④联立①②③④解之得A=C=3、B=−2、D=2，∴A+B+C+D=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．15．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）已知Ax+2−Bx−3=【答案】A=−2，B=−3【分析】首先化简方程，然后根据等式关系，列出二元一次方程组，解得即可.【详解】解：原方程可化为Ax−3A−Bx−可得A−B=13A+2B=−12解得A=−2，B=−3．【点睛】此题主要考查分式加减运算的恒等式，关键是列出关于A、B的二元一次方程组．16．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：若1−3xx2−1=A解：等式右边通分，得A根据题意，得A+B=−3−A+B=1，解之得A=−2仿照以上解法，解答下题．(1)已知x+6x+12x−3=Mx+1−N2x−3（其中(2)若12n−12n+1=a2n−1−b(3)计算：11×3【答案】(1)M=−1(2)12，(3)1010【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；（3）由11×3=12×【详解】（1）解：等式右边通分，得Mx+1根据题意，得2M−N=1−3M−N=6，解之得M=−1（2）解：等式右边通分，得a2n−1根据题意，得2a−2b=0a+b=1，解之得a=b=故答案为：12，1（3）解：1=====故答案为：10102021【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五．分式的化简求值（共3小题）17．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：3x−1−x−1÷【答案】2+x2−x，【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．【详解】解：原式=====当x=3时，原式=−5，故答案是：−5．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．18．（2023·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求值：x2−1x【答案】x3【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．【详解】解：x===x∵x=1∴原式=x【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．19．（2021·山东威海·中考真题）先化简(a2−1a−3−a−1)÷【答案】2a-6，当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．【详解】(=a=a=a=2=2a-6，∵a≠3且a≠-1，∴a=0，a=1，当a=0时，原式=2×0-6=-6；当a=1时，原式=2×1-6=-4．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．六．分式的比较大小（共2小题）20．（23-24八年级上·河北唐山·期中）比较A=2xx+1与B=x+12的大小（A．A≥B B．A>B C．A≤B D．A<B【答案】C【分析】本题考查比较分式大小，将A−B进行化简得到A−B=−x−122x+1，利用x是正数，可得出A−B≤0【详解】解：由题意可知：A−B=====∵x是正数，∴2x+1>0，∴−∴A−B≤0，即A≤B，故选：C．21．（23-24八年级上·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M、N的大小，只要作出差M−N：若M−N>0，则M>N；若M−N=0，则M=N；若M−N<0，则M<N．【解决问题】(1)若a<0，则aa−1________0（填>、=或<(2)已知A=2x2−1，B=x2−2x+1【答案】(1)>(2)A>1【分析】本题考查不等式的性质及分式的运算，熟练掌握不等式的性质并能够灵活运用是本题的关键．（1）并根据a<0（2）计算A−1B，并根据【详解】（1）∵a<0，∴a−1<−1，∴ a故答案为：>．（2）A>1A−======−1∵x<−1，∴x+1<0，∴−1∴A>1七．求分式的最值问题（共3小题）22．（23-24八年级上·北京海淀·期中）对于任意正实数a、b，∵a−∴a+b≥2ab，只有当a=b由此我们得到结论：任意正实数a、b，有a+b≥2ab依此结论我们有（1）m+1m(m>0)的最小值（2）x2+x−5x−2x>2【答案】2−3【分析】（1）根据a+b≥2ab，对代数式m+（2）根据a+b≥2ab【详解】（1）∵m+1m≥2m·∴m+1故答案为：2．（2）∵x>2，∴x==x+3+=x−2+1x−2=2−5=−3故答案为：−3．【点睛】本题考查了分式的加减运算，二次根式的性质化简，熟练掌握a+b≥2ab23．（23-24八年级上·河北沧州·期末）阅读下面材料，并解答问题.分式2x+8x+2解：2x+8x+2因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2解答下列问题：(1)分式3x+7x−1x≥3的最大值是(2)求分式2x(3)若分式x2−4x+2x−4【答案】(1)8(2)5(3)2、3、5、6【分析】（1）本题考查对题干的理解、分式加减运算的逆运算（即b+ca=ba+ca（2）本题解法与（1）类似．（3）本题解法与（1）类似．根据x2−4x+2x−4=x+2x−4，且值为整数，得到【详解】（1）解：由题可知，3x+7x−1∵x≥3,∴x−1的最小值为2，∴10∴3+10即3x+7x−1（2）解：由题可知，2x∴当x=0时x2+1≠0且∴3∴2+3即2x（3）解：由题可知，x2∵x∴2∵x−4不能等于0，∴x−4的值为−2、−1、1、2，∴x的值为2，3，5，6．24．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）阅读下列材料：我们知道分数中有真分数、假分数、带分数，类似的，在分式中，也规定真分式、假分式、带分式．在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：分式4x+2是真分式，分式x2x+1请根据以上方法，解决下列问题；(1)请根据以上信息，判断a2(2)已知：P=2a+1a−1+2a−1(3)已知：M=a−1a+1，N=2a−1，请计算M+N；设y=1【答案】(1)假(2)P=2+(3)a2+3a2−1；当【分析】（1）根据真分式和假分式的定义分析判断即可；（2）根据带分式的定义将P化为一个整式与一个真分式的和即可；（3）首先根据分式加减运算法则计算出M+N；进而将y整理为真分式得到y=1−4a2【详解】（1）解：∵分子a2的次数高于分母(a+3)的次数，故a故答案为：假；（2）P=2a+1（3）∵M=a−1a+1，∴M+N=a−1∵y=1又∵a2∴a2∴4a2+3∴当a=0时，y有最小值，最小值为y=1−4【点睛】本题主要考查了真分式、假分式和带分式的定义，整式运算，非负数的性质等知识，理解题意，熟练掌握分式运算法则是解题关键．八．与分式运算有关的新定义问题（共5小题）25．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：4x2−8xx−2=(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①(x−1)(2x−3)(x+2)(x−1)(x+2)；②2x+5x+3；③(2)若分式x2−4x+mx+3（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x−7(3)若分式−2x3+2x①求整式A．②2x【答案】(1)①③(2)m=−21(3)①A=2x2+2x【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；（2）根据“巧分式”的定义，得到关于x+3x−7（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．【详解】（1）解：∵(x−1)(2x−3)(x+2)(x−1)(x+2)=2x−3∴①是“巧分式”；∵2x+5x+3=2x+6−1∴②不是“巧分式”；∵x2−y∴③是“巧分式”；故答案为：①③；（2）解：∵分式x2−4x+mx+3（m∴x+3∴x∴m=−21；（3）解：①∵分式−2x3+2x∴A=−2∴A=2x1−x②∵2x又x+1是整式，∴2x26．（23-24八年级上·山东德州·期末）定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即P−Q=PQ，则称分式P与分式Q互为“关联分式”．如3xx+2与3x4x+2，因为3xx+2−3x(1)请通过计算判断分式2a2+1(2)求分式aa−2b【答案】(1)见解析(2)a2a−2b或【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础；（1）根据“关联分式”的定义判断即可；（2）①设分式aa−2b为P，则其关联式为Q，则有aa−2b−Q=②设aa−2b为Q，则其关联式为P，则有P−aa−2b【详解】（1）解：证明：若2a2+1则必须满足2a故：2a=2∴2a故分式2a2+1（2）已知题意：P−Q=PQ，①设aa−2b为P，则其关联式为Qaa−2baa−2bQaQ=a故其关联式为a2a−2b②设aa−2b为Q，则其关联式为PP−aP−aP1−P=a故其关联式为a−2b综上，分式aa−2bab≠0的“关联分式”为a2a−2b27．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式3x+1与3x(1)分式12x3+2x(2)若正数x,y互为倒数，求证：分式5xx+y2【答案】(1)18(2)见解析【分析】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．（1）根据题中的新定义列出关系式，然后根据分式的加法进行通分计算即可；（2）根据题意首先利用倒数关系，将x、y进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断；【详解】（1）∵12x3+2x∴分式12x3+2x与18故答案为：18（2）证明：∵正数x，y互为倒数，∴xy=1，即y=1∴5x则分式5xx+y228．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式A=xx−1,B=1x−1(1)已知分式C=x2−4x2(2)已知分式E=Px2−4,F=①求P（用含x的式子表示）；②若P+mx−2x2nx+3为定值，求m【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析(2)①P=2x2【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程，（1）根据“最友好分式”的定义，计算C−D的值即可；（2）①根据题意得E−F=P−xx−2x2−4，结合E是F的“最友好分式”可求得P；②当P=2x2−2x−4时，化简得P+mx−2x2nx+3=m−2【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：∵C−D=∴C是D的“最友好分式”；（2）①∵分式E=Px2−4,F=∴E−F=P解得P=2x②当P=2x2−2x−4设m−2x−4∴m−2x−4=knx+3k∴m−2−knx−4−3k=0∵P+mx−2x∴m−2−kn=0且−4−3k=0，由−4−3k=0解得k=−4把k=−43代入m−2−kn=0∴m=2−429．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=(1)填空：①分式1x+2__________分式1②分式xx−4(2)已知分式2x+33x+3是分式A①求分式A的表达式；②求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值．【答案】(1)①不是；②x2x−4(2)①A=2x+3x；1，5或【分析】（1）①根据“可存异分式”的定义进行判断即可；②根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解；（2）①根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解；②根据整除的定义进行求解即可；本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：①∵1∴分式1x+2不是1故答案为：不是；②依题意得，xx−4∴2x−4x−4解得B=x即分式xx−4的“可存异分式”是x故答案为：x2x−4（2）解：①依题意A−2x+3∴x3x+3解得A=2x+3②A=2x+3当整数x=−3，−1，1或3时，分式A的值分别是1，−1，又∵分式A的值是正数，∴整数x=−3，1或3，分式A的值分别是1，5或九．与分式运算有关的规律探究问题（共3小题）30．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）观察下列各式16=12×13(1)由此可推测172==(2)试猜想此类式子的一般规律．用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）；(3)请直接用（2）中的规律计算1x−2【答案】(1)18×9，1(2)1m(m+1)，1(3)0【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值．（1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题；（2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式；（3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可．【详解】（1）解：172=1故答案为18×9，1（2）解：由（1）可得1m(m+1)故答案为1m(m+1)，1（3）解：1=1=1=0.31．（23-24八年级上·湖南永州·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：11×2=1−12，12×3(1)计算：若n为正整数，猜想1n(2)化简1x+2023(3)若ab−2+b−1=0【答案】(1)1(2)1(3)22【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键．（1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可；（2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可；（3）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得出答案．【详解】（1）解：∵11×2=1−12，1∴若n为正整数，1n故答案为：1n（2）解：由（1）可得1n∴==1（3）解：∵ab−2+b−1=0，∴ab−2=0，b−1=0，∴a=2，b=1，∴==1−=1−=2232．（23-24八年级上·广东汕头·期末）把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，请解答下列问题：(1)若2n+1n(n+1)=An+(2)根据（1）中的规律，求31×2【答案】(1)A=1,B=1(2)50【分析】本题考查找规律，涉及异分母分式加减运算、解方程组等知识，读懂题意，准确找到规律是解决问题的关键．（1）通分，将An（2）由（1）中规律，由2n+1n【详解】（1）解：∵==∴A+B=2解得A=1B=1（2）解：由（1）中2n+1n3==1+=1−=50十．与分式运算有关的阅读理解问题（共5小题）33．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．例如：已知xy=1，求11+x解：原式=问题解决：(1)已知xy=1．①代数式11+x2②求证11+(2)已知，xy+z+yz+x+【答案】(1)①1；②见解析(2)0【分析】本题考查分式的化简求值，分式的混合运算．（1）①把xy=1代入11+x2+1（2）将已知等式变形，分别得到含有x2【详解】（1）解：①∵xy=1，∴1=xy=xy=x+y=1；故答案为：1②证明：∵xy=1，∴x2021∴1=x=x=y=y=1；（2）解：∵xy+z+y∴xy+z∴x2同理可得：y2z+x=y−∴x==x+y+z−=x+y+z−=x+y+z−=x+y+z−=0．34．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：已知x3=y解：设x3=y4=z6所以x+y−zx−y+z(1)回答下列问题：①第一步运用了_______的基本性质；②第二步的解题过程运用了_____的方法，由k5k得1(2)模仿材料解题：已知x:y:z=2:3:4，求x+y+zx−2y+3z【答案】(1)等式，代入消元，分式；(2)98【详解】（1）解：由题意可得，第一步运用了等式的基本性质，第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得1故答案为：等式，代入消元，分式；（2）解：设x:y:z=2:3:4=k，则：x=2k，y=3k，z=4k，∴x+y+zx−2y+3z35．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读与理解阅读下列材料，完成后面的任务．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：若xx2+1解：∵xx2+1=14，∴任务：已知xx(1)求x+1(2)求x2【答案】(1)8(2)1【分析】本题考查了分式的混合运算；（1）把式子变成其倒数形式，然后约分即可；（2）对x2x4+2x【详解】（1）解：∵xx∴x2∴x−3+1∴x+1（2）对x2x4由（1）得x+1∴x+1∴x4∴x236．（23-24八年级下·全国·课后作业）[核心素养]阅读材料：将分式x2解：由分母为x+3，可设x2+2x−5=x+3则x2∵对于任意x，上述等式均成立，∴a+3=23a+b=−5解得∴x==x−1−2这样，分式x2解决问题：将分式x2+3x+6x−1【答案】x+4+10x−1【分析】本题考查了多项式乘多项式、同分母分式加减法，掌握同分母分式加减法是解题的关键．根据所给的材料，将分式x2+3x+6x−1拆成x−1x+4+10【详解】解：由x2+3x+6x−1可设x2+3x+6=x−1则x∵对于任意x，上述等式均成立，∴m−1=3解得m=4∴x由−2x4−可设−2x4−则−2x∵对于任意x，上述等式均成立，∴2−c=−1解得c=3∴−2x37．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+如：x−1x+1=x+1−2解决下列问题：(1)分式2x(2)将假分式x2(3)如果x为整数，分式6x−52x−1的值为整数，求所有符合条件的x【答案】(1)真(2)x+1+(3)x=1或0【分析】本题考查了分式的混合运算；（1）根据材料中“真分式”和“假分式”的定义进行判断即可；（2）根据题中所给方法，利用分式的性质计算即可；（3）先将分式6x−52x−1化为带分式，再根据题意得出2x−1=±1【详解】（1）解：∵分式2x∴分式2x故答案为：真；（2）x==x+=x+1+5（3）6x−52x−1∵x为整数，分式6x−52x−1∴2x−1=±1，∴x=1或0．十一．解分式方程（共3小题）38．（19-20八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程a2x+3(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a2x+3(3)若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−x【答案】(1)x=−(2)11(3)3、29、55、185【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：22x+3方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，解得：x=−1检验：把x=−15代入∴原分式方程的解为：x=−1（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：12x+3方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，去括号，得：x−5+2x移项、合并同类项，得：(11−2b)x=3b−10，①当11−2b=0时，即b=11②当11−2b≠0时，得x=3b−10Ⅰ.x=−3即3b−1011−2b此时b不存在；Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，即3b−1011−2b此时b=5；综上所述，b=112或（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3得：3b2x+3方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，得：3b(x−5)+(x−b)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，整理得：(10+b)x=18b−15解得：x=18b−15∵b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．39．（21-22八年级上·山东济南·期中）已知关于x的分式方程x−a(1)若分式方程的根是x=5，求a的值(2)若分式方程有增根，求a的值(3)若分式方程有无解，求a的值【答案】(1)a=−1(2)a=2(3)a=−3或a=2【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；（2）原方程整理得a+3x=10，由分式有增根，则xx−2=0，得到x=0（3）由（2）可知，a+3x=10，分a+3=0和a+3≠0【详解】（1）解：把x=5代入x−ax−25−a5−2解得a=−1；（2）x−ax−2两边都乘以xx−2xx−a整理得，a+3x=10由分式有增根，则xx−2∴x=0或x=2，把x=0代入a+3x=10，a把x=2代入2a+3=10，解得综上可知，a=2；（3）由（2）可知，a+3x=10当a+3=0时，方程无解，即a=−3，当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a=2，综上可知，a=−3或a=2．【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．40．（20-21八年级下·四川攀枝花·期中）（1）解方程：x−2（2）计算：x【答案】（1）原分式方程无解（2）1【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）首先将式子通分，化成同分母，分子合并同类项即可．【详解】解：（1）x−2x−2x=−2经检验：x=−2是增根所以原方程无解．（2）原式=x2=x=x=1x−1【点睛】本题考查了解分式方程和分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法和分式的化简运算法则．十二．裂项法解分式方程（共3小题）41．（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）我们知道，在计算11×2+12×3请你利用裂项的思路化简下式：（1）1（2）1（3）分式方程1x【答案】（1）2005x2+2005x（2）【分析】（1）根据已知的式子，得出1n（2）根据规律1n（3）先把分母进行因式分解，再根据找出的规律对方程化简，然后求解即可．【详解】（1）1=1=1=2005=2005（2）1=1=1=1=1=4（3）∵1∴121∴1故−解得x=-9经检验，x=-92【点睛】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行化简，再利用分式方程的解法求解.42．（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化，例如：161参考上面的方法，解决下列问题：(1)120=1(2)若将115裂项变形，则1(3)应用上述变形，化简：1x【答案】(1)1(2)1(3)1002【分析】（1）由12（2）根据115（3）把每一个分式进行“裂项”，再相加即可．【详解】（1）解：120故答案为：18（2）解：115故答案为：12（3）解：1===1002【点睛】本题考查了分式的运算及有理数的运算，理解题中“裂项”变形是解题的关键．43．（20-21七年级上·江西新余·期中）观察下列等式：11×2=1−12，把以上三个等式两边分别相加得：11×2+1这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．(1)猜想并写出：1n(n+1)(2)规律应用：计算：11×2(3)拓展提高：计算：12×4【答案】(1)1(2)2019(3)1009【分析】（1）逆用分式的减法法则计算即可．（2）根据（1）的特点,裂项后求和，注意其中的规律，清楚被销项和保留项，计算即可．（3）把分母的各数中各提取2，转化成（2）式问题计算即可．【详解】（1）∵1n(n+1)=1故答案为：1n（2）1=1−=1−=20192020（3）1=1=1=1=1=10094040【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，正确找到规律，灵活运用规律是解题的关键．十三．分式方程的实际应用（共4小题）44．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是x−200元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是x−200元．根据题意，得2000解这个方程，得x=500经检验，x=500是原方程的根．x−200=300答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型40−m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得：40−m≤3m，解得m≥10．∴w=500×0.8⋅m+300×0.8⋅即w=160m+9600，∵160>0，∴w随m的增大而增大．∴当m=10时，w取得最小值11200，此时40−m=30；答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．45．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【答案】(1)20元(2)2250元【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；（2）设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100−m捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y与A种菜苗m捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，300300×15解得x=20检验：将x=20代入54∴x=20是原方程的解，∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．（2）解：设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100−m捆，费用为y元，由题意可知：m≤100−m，解得m≤50，又∵y=20m+30×∴y=−9m+2700m≤50∵y随m的增大而减小∴当m=50时，花费最少，此时y=−9×50+2700=2250∴本次购买最少花费2250元．【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．46．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的13(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．【答案】(1)30(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元(3)70【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的13（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解，得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出0.3a+b≤28与a90+b30=1【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，∵甲队单独施工完成全部工程的天数是30÷1∴13解得，x=30，经检验，x=30是所列方程的根，且符合题意，故乙队单独施工30天完成全部工程；（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,∴4m+3n=420005m+6n=75000解得，m=3000n=10000故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，则0.3a+b≤28∵a90∴b=30−1∴0.3a+30−1∴a≥60，∵a+b=a+30−13a=∴2∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．故答案为：70．【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键．47．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；②设A为m包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，由题意得802a−20经检验，a=20是所列方程的根，且符合题意．∴2a=40（元）．答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．由题意得40x+20y=1800050x+10y=42x+y答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．②设A为m包，则B为500−m0.25记总利润为W元，则W=45m+122000−4m∵A的数量不低于B的数量，∴m≥2000−4m，m≥400．∵k=−3<0，∴W随m的增大而减小。∴当m=400时，W的最大值为2800元．答：当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．十四．与解分式方程有关的新定义问题（共4小题）48．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：x⊗y=2xx+1−(1)求6⊗5的值；(2)若a⊗1=1，求a的值．【答案】(1)1(2)a的值为2【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．（1）运用定义运算代入计算即可；（2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验．【详解】（1）解：6⊗5=2×6（2）a⊗1=2a去分母得：2a−1=a+1，解得：a=2，经检验：a=2是方程的解，⸫a的值为2．49．（23-24八年级上·广西桂林·期中）对a，b定义一种新运算M，规定Ma,b=2aba−b，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M2,3【答案】1【分析】本题考查了新定义，解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本题的关键．根据新定义把M2x,1【详解】解：∵Ma,b∴M2x,1=M1,−1∴4x2x−1解得x=1检验：当x=16时，∴x=16是方程∴实数x的值是1650．（23-24八年级上·河北沧州·期中）（1）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：a∗b=1b−1a，例如：3∗4=（2）符号“abcd”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abc【答案】（1）20232；（2）【分析】本题考查了新定义、分式的化简、解分式方程，理解定义的新运算是解此题的关键．（1）根据新定义运算可得1y−1（2）根据题中的新定义化简得：2x−1【详解】解：（1）∵x∗y=2，∴1∴x−y=2xy，∴2023xy（2）根据题中的新定义化简得：2x−1去分母得：2+1=x−1，解得：x=4，检验：把x=4代入得：x−1=3≠0，∴x=4．51．（22-23八年级下·山西晋城·阶段练习）综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定Tx,y=ax2+by2x+y（其中a(1)填空：T4,−1=_________．（用含a，(2)若T−2,0=−2，且①求a，b的值；②若Tm+1,2m−2=T2m+2,m−3【答案】(1)16a+b(2)①a=1b=1；②【分析】（1）利用新运算的规定解答即可；（2）①利用新运算的规定得到关于a,b的方程，解方程即可求得结论；②利用新定义的规定列出关于m的等式，再将a,b的值代入求解即可．【详解】（1）解：T(4,−1)=a×故答案为：16a+b3（2）①∵T(−2,0)=−2，∴a×(−2)2+b×∵T(5,−1)=13∴a×5∴25a+b=26②，由①、②组成二元一次方程组a=125a+b=26解得a=1b=1②∵Tm+1,2m−2∴a×m+1∵a=1b=1∴m+12∴m2∴5−6m=2m+13，∴m=−1，经检验，m=−1是原方程的根，∴m=−1．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．十五．与解分式方程有关的阅读理解问题（共3小题）52．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2解：设x=t，则原方程可化为：t解得：t1当t=1时，x=1，∴x=±1当t=2时，x=2，∴x=±2∴原方程的解是：x1上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x2(2)解方程：x4(3)解方程：x+1x【答案】(1)x1(2)x1(3)x=1和x=−1【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x=t，则原方程可化为t2−2t=0，解方程求得t（2）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得（3）设x+1x2=m，则原方程可化为m–2m=1，整理得【详解】（1）解：设x=t，则原方程可化为：t解得：t1当t=0时，x=0∴x=0；当t=2时，x=2∴x=±2．∴原方程的解是：x1（2）解：设x2=a，则原方程可化为即a−1a−9解得：a=1或a=9，当a=1时，x2∴x=±1；当a=9时，x2∴x=±3；∴原方程的解是：x1（3）解：设x+1x2=m整理得m2∴m+1m−2解得：m=−1或m=2，当m=−1时，x+1x2=−1由Δ=1−4×1×1=−3<0当m=2时，x+1x2=2解得：x=1或x=−1经检验x=1和x=−153．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）阅读以下材料：例：已知多项式2x2−5x+3解：设另一个因式为ax+b，则：(ax+b)(x−1)=a依题意：a比较等式两边对应项的系数，可得：a=2，−b=3，即b=−3∴另一个因式为2x−3．根据上述材料，尝试解决问题：若等式4x−3(x−1)(x−2)=mx−1+【答案】m=−1，n=5．【分析】本题考查了解分式分式方程，分式的加减，熟练掌握等式的性质和分式的加减法法则是解答本题的关键．（1）根据异分母分式的加减法法则把右边化简，再比较分子得出m，n的方程组求解；（2）先去分母，然后比较等号左右两边得出m，n的方程组求解．【详解】解法一：m==依题意：(m+n)x−(2m+n)(x−1)(x−2)比较等式两边分子对应项的系数，得：m+n=42m+n=3解得：m=−1，n=5．解法二：去分母得：4x−3=m(x−2)+n(x−1)，4x−3=mx−2m+nx−n，4x−3=(m+n)x−(2m+n)，比较等式两边对应项的系数，得：m+n=42m+n=3解得：m=−1，n=554．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）阅读材料1：已知关于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c或x=1c阅读材料2：将分式x2解：由分母为x+3，可设，x2∴∵对于任意x、上述等式均成立，∴a+3=23a+b=−5解得：∴这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．根据上述材料，回答下列问题：(1)“对称方程”y−2+1(2)将分式x2(3)解关于x的“对称方程”：x+19x+6=a2【答案】(1)y=7或y=2(2)x+2−(3)x=a−23或【分析】此题主要考查分式运算的应用，解分式方程．（1）根据“阅读材料1”的方法求解即可；（2）根据“阅读材料2”的方法求解即可；（3）利用换元法，设设3x+2=y，把原方程整理成y+1【详解】（1）解：根据题意y−2=5或y−2=1解得y=7或y=21经检验，y=7或y=21故答案为：y=7或y=21（2）解：x2==x+2−故答案为：x+2−2（3）解：设3x+2=y，则x=1则原方程化为13y−2+整理得y+1y=