第04讲 指数与指数函数（八大题型）（讲义）（原卷版）

第04讲指数与指数函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：指数及指数运算 4知识点2：指数函数 5解题方法总结 5题型一：指数幂的运算 6题型二：指数函数的图象及应用 7题型三：指数函数过定点问题 8题型四：比较指数式的大小 8题型五：解指数方程或不等式 9题型六：指数函数的最值与值域问题 10题型七：指数函数中的恒成立问题 10题型八：指数函数的综合问题 1204真题练习·命题洞见 1305课本典例·高考素材 1406易错分析·答题模板 15答题模板1：指数型复合函数的值域问题 15答题模板2：指数型复合函数的单调问题 16

考点要求考题统计考情分析（1）指数幂的运算性质（2）指数函数的图像与性质2023年新高考I卷第4题，5分2023年乙卷第4题，5分2022年甲卷第12题，5分2020年新高考II卷第11题，5分从近五年的高考情况来看，指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点，常与幂函数、二次函数、对数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用指数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.复习目标：（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

知识点1：指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．【诊断自测】化简下列各式：（1）=（2）（=（3设，则的值为知识点2：指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【诊断自测】若指数函数且在上的最大值为，则.解题方法总结1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．(3)指数函数与的图象关于轴对称．题型一：指数幂的运算【典例1-1】已知（且），则．（结果用表示）【典例1-2】（1）；（2）已知，，求的值.【方法技巧】（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．【变式1-1】（多选题）已知，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】已知函数.(1)求证为定值；(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；题型二：指数函数的图象及应用【典例2-1】已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（

）A． B．C． D．【典例2-2】（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（

）A． B． C． D．【方法技巧】对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势.【变式2-1】已知是方程的两个根，则.【变式2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函数的图象经过坐标原点，且当趋向于正无穷大时，的图象无限接近于直线，但又不与该直线相交，则.【变式2-3】直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是.【变式2-4】设方程的解为，，方程的解为，，则．题型三：指数函数过定点问题【典例3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为.【典例3-2】函数（且）的图象恒过定点，则等于.【方法技巧】恒过定点．【变式3-1】已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为.【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是.【变式3-3】函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.题型四：比较指数式的大小【典例4-1】（2024·云南·二模）若，则（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【方法技巧】比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．【变式4-1】（2024·辽宁·一模）设则（

）A． B．C． D．【变式4-2】已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2024·陕西·模拟预测）设，则（

）A． B． C． D．题型五：解指数方程或不等式【典例5-1】（多选题）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·河北邯郸·一模）不等式的解集为.【方法技巧】利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.【变式5-1】不等式的解集为．【变式5-2】若、为方程的两个实数解，则．【变式5-3】已知和是方程的两根，则.题型六：指数函数的最值与值域问题【典例6-1】（2024·高三·云南楚雄·期末）已知奇函数在上的最大值为，则．【典例6-2】（2024·高三·江苏镇江·开学考试）设函数是定义域为R的偶函数.(1)求p的值；(2)若在上最小值为，求k的值.【方法技巧】指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.【变式6-1】已知函数，且，若函数在[0，2]上的最大值比最小值大，则的值为.【变式6-2】已知函数在处取得最小值.(1)求，的值；(2)，求函数，的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的值.题型七：指数函数中的恒成立问题【典例7-1】已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是.【典例7-2】（2024·高三·河北衡水·开学考试）已知函数是奇函数，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.【方法技巧】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．【变式7-1】（2024·高三·山东枣庄·开学考试）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是.【变式7-2】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知函数在区间上有最小值2和最大值10．(1)求，的值；(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【变式7-3】已知定义在R上的函数满足：对任意都有，且当时，，对任意恒成立，则实数k的取值范围是.【变式7-4】已知函数是奇函数，且过点．(1)求实数m和a的值；(2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．题型八：指数函数的综合问题【典例8-1】已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为.【典例8-2】若函数是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，则的取值范围为．【方法技巧】指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．【变式8-1】已知函数，则不等式的解集为.【变式8-2】（2024·高三·湖北·期中）已知是定义域为的奇函数.(1)函数，，求的最小值.(2)是否存在，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【变式8-3】我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．已知函数．(1)证明：函数的图象关于点对称；(2)若，求实数的取值范围．【变式8-4】（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．【变式8-5】已知函数的表达式为.(1)若，求函数的值域；(2)当时，求函数的最小值；(3)对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i）；（ii）当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．23．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．1．（1）当n=1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算的值；（2）当n越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也会越来越大？有没有最大值？2．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？3．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.4．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性.5．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；（2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？6．按从小到大的顺序，可将重新排列为（可用计算工具）.答题模板1：指数型复合函数的值域问题1、模板解决思路求解复合函数的值域问题，关键要确定函数是由哪些函数复合而成.2、模板解决步骤第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．第三步