三角函数中的“结构不良”试题-2025年高考数学一轮复习（解析版）

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'三角函数中的“结构不良''试题

结构不良题又称开放题，是指条件或结论开放、解题方法多样的试题.该类

试题在考试中通常是以选择条件，补充结论型试题出现，可能缺少解决问题的必

要条件或者某个条件存在变数，其结论也是多样化的，甚至在某些特定条件下问

题是无解的.“结构不良”题具有很好的开放性，可以考查学生的数学理解能力、

数学探究能力、建模能力等.

□命题点一结论开放型

［典例1］（多选X2022•新高考II卷）已知函数/（x）=sin（2x+9）（0<9<©的图象关

于点（g，°）对称，贝女）

A./（x）在（0,驾）单调递减

B./（x）在（-3瑞）有两个极值点

C.直线x=等是曲线尸/㈤的一条对称轴

D.直线了=?—x是曲线y=/（x）的一条切线

AD［由题意得：f（T）=sin（手+3）=0,

所以多+9=也，左©Z,即9=一m+E,左©Z,

==

又0〈（p<Tt,所以k2时，（p—.

故/（x）=sin（2比+半）.

选项A:x£（0,.）时，2%+口£管,池），由尸sin〃图象知y=/（x）在（0,工）

上单调递减；

选项B:x£（—/詈）时,"十^£（5，由37=$指腐图象知y=/（x）在（―g

詈)上只有1个极值点，由2x+g=g可解得极值点；

选项C:x=g时，因为/(g)=sin(2xg+g)=sin3兀，所以直线x=g不是

曲线V=/(》)的一条对称轴；

选项D：由/'(x)=2cos(2%+g)=—1得cos(2x+■y)=—1>

解得2x+W=^+2E,左©Z或2x+W=：+2E,左©Z,

3333

从而得：X=k7l,左£2或％=/+左兀，左GZ,

所以函数了=/(x)在点(0,处的切线斜率为左=/"(0)=2cosy=—1,

切线方程为y—-y-=—(x—0),即—%.］

名师点评本题属于既定函数问题，不同的选项代表不同的探究方向，需要考生

运用相应的三角函数知识多角度探求每个结论的正确性.

［跟进训练］

1.(多选)(2024•广东东莞模拟)已知0>0,函数/(x)=cos(3%+§，下列说法

正确的有()

A.若/(x)的最小正周期7=2,则O=兀

B.当①=2时，函数/(x)的图象向右平移汐单位长度后得到g(x)=cos2x的图象

C.若/(x)在区间管，Ti)上单调递增，则①的取值范围是［1,|］

D.若/(x)在区间(0,兀)上只有一个零点，则①的取值范围是弓

ACD［由余弦函数图象与性质，可得7=?=2,得①=兀，所以A正确；

当①=2时，可得/(x)=cos(2%+§,

将函数/(x)的图象向右平移］个单位长度后得/(%-§=cos—§4-1］=cos

(2%—以Wg(x),所以B错误；

若/(x)在区间(g,n)上单调递增，则

—+-^TT+2/CTT,

3

；k《Z,

皿+产2n+2加，

解得1+3左WcoW|+2左，左©Z,

又因为0>0,所以只有当左=0时，此不等式有解，即IWOW*所以C正确;

若/(X)在区间(0,兀)上只有一个零点,

71、71

TVO),7

则J二解得所以D正确.故选ACD.]

TCW+-W—,66

32

【教师备选资源】

(多选)将函数/(X)=COS(3%—3(0>°)的图象向右平移5个单位长度后得到函数

g(x)的图象，且g(o)=—1,则下列说法正确的是()

A.g(x)为奇函数

B-g(-?)=0

C.当①=5时，g(x)在(0,兀)上有4个极值点

D.若g(x)在[0,3上单调递增，则①的最大值为5

BCD[*.,/(x)=cos-/)=sincox((y>0),

/.g(x)=sin且g(0)=T,

一]①=(2/c—；)兀(kez),即0=1一4左，为奇数，

.,.g(x)=sin[3——coscox为偶函数，故A错误；

由以上分析可知O为奇数，=—cos(一等)=0，故B正确；

由以上分析可知，当①=5时，g(x)=sin(5%-g)=—cos5x,T=y,由图象可

知g(x)在(0，兀)上有4个极值点，故C正确；

•••g(x)在[0,3上单调递增，

.•[—0守工

520)

解得0〈①W5,又：0=1一4左,

・•.0的最大值为5,故D正确.故选BCD.]

□命题点二条件缺失型

［典例2］(2021•北京高考)已知在中，c=2bcosB,C=-

(1)求8的大小；

⑵在以下三个条件中选择一个作为已知，使△NBC存在且唯一确定，并求8C

边上的中线的长度.

@c=V2Z>；②周长为4+2b；③面积为品4尤=孚.

［角我(l)Vc=2Z>cos5,

由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

即sinC=sin2B,

:・C=2B线。+25=兀.

**r=—

3'

...当C=2B时，5=p即C+8=TT,不符合题意,

"+28=兀，：.2B=^,即5=3

(2)选①：c=y/2b.

V3_

由正弦定理可得:=当=手=百，

bsmB-2

与已知条件0=鱼6矛盾，故△43。不存在.

选②：周长为4+2百.

••r,=—B=-.\A=-

3，6，6，

由正弦定理/L=-L=」=2R,

sinAsinBsinC

得3A卷=2R,

22~

:•a=R,b=R,c=y/3R,

.,•a+6+c=(2+V3)/?=4+2V3,

:.R=2,即a=2,b=2,C=2A/3,

△45C存在且唯一确定.

设8c的中点为D,

：.CD=\,

在△/CO中，由余弦定理知,

AD-=AC1+CD1-ZAC-CD-cosC,

即AC)2=4+I—2X2XlX(-y=7,：.AD=y/7,

...5C边上的中线的长度为旧.

选③：面积为k/BC=学.

4

^A=B=-,：・a=b,

6

S"Bc='absinC=^a2X二="，解得a=V3,

2224

AABC存在且唯一确定.

设5c的中点为。，在AZCD中，由余弦定理知，

必―m—2XZCXCQXC0Sy=3+|+V3xy=y,：.AD=^-.

名师点评该类试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个

或两个补充完整后再进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能得出不

同的结论，难度与平时也会有所不同.在选择条件时一定要观察分析，选择不同，

计算量也不同.

［跟进训练］

2.(2023•北京高考)设函数/(x)=sin(«xcos夕+coscoxsin0(a>0,\(p\<^.

(1)若/(0)=—求9的值.

(2)已知/(x)在区间［冶，期上单调递增，/停)=1,再从条件①、条件②、条

件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数/(x)存在，求。，9的值.

条件①：f(步也

条件②：/(—§=—1;

条件③：/(x)在区间卜方，—4上单调递减.

［解］(1)因为f(x)=sincoxcos(p+coscoxsin9(a>0,|如V/),

所以/(0)=sin(co•0)cos(p+cos(co•0)sin0=sin9=——,

因为I夕IV?所以9=-］

⑵因为/(x)=sincoxcos^+coscoxsin(p,co>0,|^|<p

所以/(%)=sin(①x+9),co>0,所以/(x)的最大值为1,最小值为一1.

若选条件①：因为/(x)=sin(0x+夕)的最大值为1,最小值为一1,所以/

无解，故条件①不能使函数/(x)存在.

若选条件②：因为/(X)在卜三，g］上单调递增，且/管)=1,/(—g=-i,

所以(一§=5

所以T=2兀，co=—=l,

所以/(%)=sin(x+(p),

又因为/(_§=_1,所以sin(―1+g)=.1,

所以一］+夕=—1+2析，kRZ,

所以9=—2+2左兀，kRZ,

因为|夕|V9所以9=一£

所以①=1,(p=~y.

6

若选条件③：因为/(X)在卜,朗上单调递增，在卜会—3上单调递减，

所以/(X)在x=-g处取得最小值一1,

即/(—§=—1.所以可知卜,是函数的半个周期，所以/(X)的最小正周期

T=2［g-(—§］=2兀=§,解得①=1,所以/(x)=sin(x+0)，所以/(g)=sin

管+夕)=1,又加v］,所以9=一也

命题点三探究开放问题

［典例3］(2021•新高考H卷)在△48C中，角4B,C所对的边分别为a,b,

c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinZ,求△/5C的面积；

(2)是否存在正整数a,使得△NBC为钝角三角形？若存在，求出。的值；若不存

在，说明理由.

［解］(l)：2sinC=3sinZ,

根据正弦定理可得2c=3a,

'h=,a~\~1,c=a+2,

.".a=4,b=5,c=6,

在△48C中，由余弦定理的推论可得

「a2+b2-c242+52-621

cosC=-------=-------

2ab2x4x58'

Vsin2C+cos2C=1,

•*-sinC=V1-cos2C=Jl—>)2=手,

・.一»、/八/L、

.•SCABc=-1abTsmC=1-X4X5X/—3V715V7.

A2284

(2)Vc>b>a,

•••△48。为钝角三角形时，角。必为钝角，

由余弦定理的推论，得COSC==*+”；)2—产2)2<0,

2ab2a(a+1)

a2—2a—3<0,Va>0,0<a<3,

♦.•三角形的任意两边之和大于第三边，

.".a-\-b>c,即。+。+1>。+2,即a>l,

.,.l<a<3,为正整数，

••tz=2.

名师点评开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及

解决问题过程中的多角度思考，解题的关键是对相应问题的分析和相应知识点的

灵活运用.

［跟进训练］

3.(2024•江苏盐城模拟)已知△48C的内角2,B,C的对边分别为a,b,c,

面积为S,满足4s=(外一3/)•sinC.

(1)证明：sinJ=3sinB；

(2)是否存在正整数机，n,使得。=机6和tan/=〃tanC同时成立？若存在，求

出机，〃的值；若不存在，说明理由.

［解］(1)证明：由4s=(4一3炉)sinC,

即2absinC=(a2—3/>2)sinC,

因为C6(0,7i),可得sinC>0,所以2而=/一3抉，

即a2-2ab~3b2=0,即5—36)(。+人)=0，

又因为a,b>0,所以a=3b,

又由正弦定理，可得sinZ=3sin8.

(2)假设存在正整数机，n,使得c=7〃b和tanZ=〃tanC同时成立.

所以•

M+c2-a2-2+匕2-2，

2bc2ab

化简整理可得”+接一°2=〃32+02一层)，

因为°=加6,a=3b,

所以9b1+b2—m^b1—n(b2+m2b2—9b2),即m2=^|