浙教版八年级数学上册直角三角形与直角三角形全等的判定专项复习（含详解）

直角三角形与直角三角形全等的判定专项训练班级：姓名：选择题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点E，若DE=2cmA．2cm B．4cm C．6cm2．如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO，CD⊥CO，AO=DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCOA．AB=DC B．∠A=∠DC．∠AOB=∠DOC D．OB=OD3．如图，在△AOB中，∠B=90°，∠A=30°，延长BO至点C，使OC=OB，过点C作CD∥AB，交AO的延长线于点D，若OB=1，则A．25 B．4 C．234．如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为4cm，双翼的边缘PC=QD=64cm，且与闸机侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°，闸机的通道宽度为（

A．64cm B．68cm C．76cm5．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=12IEAB+BC+AC；③A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BP平分∠ABC交AC于点P，PE⊥AB于点E，若BC=8，AC=6，则△AEPA．4 B．6 C．8 D．107．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A=∠B=3∠C B．∠A−∠B=∠CC．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=1:2:38．如图，AD，BE均为△ABC的高，且AB=AC，连结DE交AB于点O，若∠C=28°，则∠OEB的度数为（

）A．62° B．60° C．58° D．56°填空题9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，若AD=5，则BC=．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，△BDE周长为8，AC=10，则△ABC的周长是．

11．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB=23°,∠CBE=21°，则∠BEF=．12．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AB，CD于点E，F．若DE平分∠ADB，CF13．如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AB=6，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F，当△BDF是直角三角形时，AD的长为解答题14．如图，AD是△ABC△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)试说明AD垂直平分EF；(2)若AB=8，AC=6，15．如图，在等腰△ABC中，顶角∠BAC=30°，点D是边BC的中点，连接AD，作DE⊥AB于点E，再作DF⊥DE交AC于点F．

(1)求证：DF=2DE；(2)若DE=1，则△ABC的面积为______．16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)若∠BAD=20°，求∠CDF的度数．17．如图，D是△ABC的外角∠ABE的平分线上一点，DA=DC．(1)求证：∠DAB=∠DCB；(2)若△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB与CD交于点F，求证：AF=AC．

参考答案1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点E，若DE=2cmA．2cm B．4cm C．6cm【详解】解：∵∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DC=DE=2cm，在Rt△ADE中，∵∠A=30°，∴AD=2DE=4cm，∴AC=AD+CD=4+2=6cm故选：C．2．如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO，CD⊥CO，AO=DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCOA．AB=DC B．∠A=∠DC．∠AOB=∠DOC D．OB=OD【详解】解：∵AB⊥BO，CD⊥CO，∴∠ABO=∠DCO=90°，A.AO=DO，AB=DC，符合两直角三角形全等的判定定理HL，故该选项符合题意；B.∠A=∠D，AO=DO，不是两直角三角形全等的判定定理HL，是证明三角形全等的AAS，故该选项不符合题意；C.∠AOB=∠DOC，AO=DO，不符合两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的AAS，故该选项不符合题意；D.OB=OD，AO=DO，不能证明这两个直角三角形全等，故该选项不符合题意；故选：A．3．如图，在△AOB中，∠B=90°，∠A=30°，延长BO至点C，使OC=OB，过点C作CD∥AB，交AO的延长线于点D，若OB=1，则A．25 B．4 C．23【详解】解：∵∠B=90°，∠A=30°，∴OB=1∴OA=2，∵CD∥AB，∴∠D=∠A，在△DOC和△AOB中，∠D=∠A∠DOC=∠AOB∴△DOC≌△AOBAAS∴OD=OA=2，∴AD=OA+OD=2+2=4，故选：B．4．如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为4cm，双翼的边缘PC=QD=64cm，且与闸机侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°，闸机的通道宽度为（

A．64cm B．68cm C．76cm【详解】解：如图所示过P作PE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，

则Rt△PCE中，∠ECP=30°，PC=64cm，PE=1同理可得，QF=32cm，又∵点P与Q之间的距离为4cm，∴闸机的通道宽度为32+4+32=68(cm)，故选：B．5．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=12IEAB+BC+AC；③A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【详解】解：∵I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC，∴∠ABI=∠IBD=12∠ABC∵∠CID=∠DAC+∠ACI=1∴∠CID=90°−∠IBD，∴∠BIE=∠CID，①正确，故符合要求；如图，作IH⊥AB于H，作IG⊥AC于G，∵I是△ABC三内角平分线的交点，∴IE=IH=IG，∴S△ABC∵AI=AI，IH=IG，∴Rt△AIH≌Rt△AIGHL∴AH=AG，同理，BH=BE，CE=CG，∴BE+BH=BC−CE+AB−AH=BC+AB−CG−AG=BC+AB−AC，即BE=1∵IH=IE，∠IHF=∠IED=90°，但无法判断△IHF、△IED全等，∴HF、DE不一定相等，∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+DC，④错误，故不符合要求；故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BP平分∠ABC交AC于点P，PE⊥AB于点E，若BC=8，AC=6，则△AEPA．4 B．6 C．8 D．10【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=8，∴AB=B∵BP平分∠ABC，∠C=90∘，∴PE=PC，∠PEB=∠C=90°，又∵PB=PB，∴Rt△PBE≌Rt△PBC(HL)，∴BE=BC=8，∴AE=AB−BE=10−8=2，∴C故选：C．7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A=∠B=3∠C B．∠A−∠B=∠CC．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=1:2:3【详解】A、由∠A=∠B=3∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=∠B=540°7，∠C=180°B、由∠A−∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意；C、由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意；D、由∠A:∠B:∠C=1:2:3及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，△ABC是直角三角形，故不符合题意．故选：A．8．如图，AD，BE均为△ABC的高，且AB=AC，连结DE交AB于点O，若∠C=28°，则∠OEB的度数为（

）A．62° B．60° C．58° D．56°【详解】解：∵AD为△ABC的高，且AB=AC，∴AD垂直平分线段BC，∴BD=CD，∵BE为△ABC的高，即∠BEC=90°，∴DE=BD=CD=1∵∠C=28°，∴∠DEC=∠C=28°，∴∠OEB=∠BEC−∠DEC=62°，故选：A．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，若AD=5，则BC=．【详解】解：∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=1∵AD=5，∴BC=10．故答案为：1010．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，△BDE周长为8，AC=10，则△ABC的周长是．

【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∵△BDE周长为8，∴DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE=8，∵在Rt△ADC和Rt△ADE中AD=ADDE=DC∴Rt△ADC≌Rt△ADEHL∴AE=AC=10，∴△ABC的周长为：AC+BC+BE+AE=8+10+10=28．故答案为：28．11．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB=23°,∠CBE=21°，则∠BEF=．【详解】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，∵DE是线段BC的中垂线，∴∠EDC=90°，CE=BE，∴∠ECB=∠CBE，∵∠CBE=21°，∴∠ECB=21°，∴∠DEB=∠CED=90°−21°=69°，∵ER⊥AC，ED⊥BC，∴∠QRC=∠QDE=90°，∴∠ACB+∠CQR=90°，∠EQD+∠QED=90°，∵∠CQR=∠EQD，∴∠ACB=∠QED，∵∠ACB=23°，∴∠QED=23°，∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，∴ER=EF，在Rt△ERC和Rt△EFB中，CE=BEER=EF∴Rt△ERC≌Rt△EFBHL∴∠EBF=∠ACE=∠ACB+∠ECD=23°+21°=44°，∵∠EFB=90°，∴∠BEF=90°−∠EBF=90°−44°=46°，故答案为：46°．12．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AB，CD于点E，F．若DE平分∠ADB，CF【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC∴∠ABD=∠CDB，∵分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AB，∴EF是BD的垂直平分线，∴DE=BE，DF=BF，∴∠ABD=∠EDB，∠FDB=∠FBD，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∴∠ADE=∠BDE=∠CDB=∠ABD=∠DBF=∠CBF=1∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中∠DAB=∠BCFAD=CB∴△ADE≌△CBFASA∴CF=AE，∵CF＝2，∴CF=AE=2，在Rt△ADE中，∵∠ADE=30°，∴DE=2AE=4，故答案为：4．13．如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AB=6，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F，当△BDF是直角三角形时，AD的长为【详解】解：∵DE∥BC，∠ABC=60°，∴∠ADE=∠ABC=60°．∵将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F，∴∠EDF=∠ADE=60°，AD=AF，∴∠BDF=60°，∴当△BDF为直角三角形时，分两种情况：①当∠BFD=90°时，∴∠DBF=30°，∴BD=2DF=2AD．∵BD+AD=6，∴2AD+AD=6，∴AD=2．②当∠DBF=90°时，如图，则：∠DFB=30°，∴BD=1∴AD+BD=AD+1∴AD=4；综上：AD=4或2；故答案为：4或2．14．如图，AD是△ABC△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)试说明AD垂直平分EF；(2)若AB=8，AC=6，【详解】（1）证明：∵AD是△ABC△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．∴DE=DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFDHL∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE=DF，∴S△ABD∵AB+AC=14，∴DE=4．15．如图，在等腰△ABC中，顶角∠BAC=30°，点D是边BC的中点，连接AD，作DE⊥AB于点E，再作DF⊥DE交AC于点F．

(1)求证：DF=2DE；(2)若DE=1，则△ABC的面积为______．【详解】（1）证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=1∵DF⊥DE，∴∠BDE=∠ADF=90°−∠ADE，∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠BDE=∠BAD=90°−∠B，∴∠BDE=∠BAD=∠ADF=∠CAD，∴AF=DF，∵∠CAD+∠C=90°，∠ADF+∠CDF=90°，∴∠CDF=∠C，∴DF=CF，∴DF=1取AB中点G，连接DG，

∴DG=AG=1∴DF=DG，∠GAD=∠GAD=15°，∴∠DGE=30°，∴DG=2DE，∴DF=2DE（2）解：∵DE=1，DG=2DE∴DG=2DE=2，∵AD⊥BC，G为AB中点，∴AB=2DG=4，∴S△ABD∵点D是边BC的中点，∴S△ABC故答案为：4．16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)若∠BAD=20°，求∠CDF的度数．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE，在Rt△CDF和Rt△ED