函数的性质知识点总结- 高三数学一轮复习

第第页知识点总结3-2函数的性质一．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称1．函数奇偶性的几个重要结论(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(−x)f(x)②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(−x)f(x)(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(5)在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性．(6)若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(x)关于点(a,0)对称；若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于直线x=a对称．(7)奇函数的最值：若奇函数f(x)在区间D上有最值，则fmzx(8)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.即f(x)=g(x)+h(x)，其中：g(x)=1二．函数的周期性(差为常数有周期)1.如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．3.周期性的几个常用结论(1)f(x+a)=−f(x)+t(t∈R(2)f(x+a)=kf(x)(3)f(x+a)=1−f(x)1+f(x)，则T=2a(5)若f(x+2a)=f(x+a)−f(x),则T＝64.函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数；口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。)(1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．(2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．(3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．5.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期(1)单调区间：f(x)在区间(a,b)(b−a≤T(2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为x=a+kT如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为(a三．函数的对称性(和为常数有对称)1.轴对称(1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝a+b(2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x)2.函数的点(中心)对称(1)若y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a－x)+f(x)=2b⇔f(2a＋x)+f(－x)=2b推论：若y＝f(x)关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)(2)f(x＋a)+f(b－x)=c⇔y＝f(x)关于点(a3.两个函数图象的对称(1)若f(x)与g(x)关于直线x=a对称，则g(x)=f(2特殊地：若f(x)与g(x)关于y轴对称，则g(x)=f(−x)(2)若f(x)与g(x)关于直线y=b对称，则g(x)=2b−f(x)若f(x)与g(x)关于x轴对称，则g(x)=−f(x)(3)若f(x)与g(x)关于点P(a,b)对称，则特殊地：若f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)=−f(−x)四．函数的单调性:函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.增函数减函数定义函数f(x)定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的1.单调性、单调区间的定义(1)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．(2)单调区间是定义域的子集，故应树立“定义域优先”的原则．(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；(4)如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2.函数单调性常用结论(1)增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(xy＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x(2)单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③增函数（↗）减函数（↘）未知(此时需要用导数判断)④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘(3)单调性的性质①函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．③在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与y=fn(x)④在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y=1⑤若f(x)，g(x)均为区间D上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间D上的增(减)函数．⑥若f(x)，g(x)均为区间D上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间D上的增(减)函数．3.复合函数的单调性:复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f(x)在R上是奇函数，且f(x)单调递增⇒则由f(xf(x)在R上是奇函数，且f(x)单调递减