导数与函数的极值、最值-2025年高考数学备考复习

第三章一元函数的导数及其应用

第3讲导数与函数的极值、最值

课标要求命题点五年考情命题分析预测

借助函数的图导函数图

象，了解函数在象的应用

该讲一直是高考的重点和难点.基

某点取得极值的2023新高考卷IITll；

本考法为求极值、最值，已知函

必要条件和充分2023新高考卷IIT22；

数极值、最值求参数值(或范

条件；能利用导利用导数2023全国卷乙T21；

围)，难度中等；综合考法为通

数求某些函数的研究函数2022全国卷乙T16；

过研究函数的性质解决不等式、

极大值、极小值的极值2021全国卷乙T10；

零点、极值点偏移等问题，更突

以及给定闭区间2021全国卷乙T20；

出应用，难度偏大.预计2025年

上不超过三次的2019全国卷IT20

高考命题常规，在复习备考时，

多项式函数的最2022新高考卷IT22；

要会构造函数，进而通过研究新

大值、最小值；利用导数2022全国卷乙T11；

构造函数的性质，数形结合解决

体会导数与单调研究函数2022全国卷甲T6；

问题.

性、极值、最大的最值2021新高考卷IT15；

(小)值的关系.2019全国卷niT20

。学生用书P056

1.函数的极值

f（X0）=0

xo附近的左侧尸

条件

(x)>0,右侧尸X0附近的左侧/G)0)<0,右侧/(x)②>0

(x)<0

»

图象

二•.

,A,1

极值f(xo)为极大值③f(xo)为极小值

极值点X0为极大值点xo为⑷极小值点

极小值点和极大值点统称为⑤极值点，极小值和极大值统称为⑥极值.

易错警示

(1)极值点不是点，若函数/(X)在X=X1时取得极大值，则XI为极大值点，极大值为

f(X1).

(2)极大值与极小值的大小没有必然关系，极小值可能比极大值大.

(3)有极值的函数一定不是单调函数.

(4)导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，f(x)=/,f'(0)=0,但x=0不是

极值点.

2.函数的最大(小)值

如果在区间［。，6］上函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最

小值.

辨析比较

函数极值与最值的区别与联系

极值最值

(1)极值是个“局部”概念，只

(1)最值是个“整体”概念，可以在

能在定义域内部取得；(2)在指

区别区间的端点处取得；(2)最值(最大

定区间上极值可能不止一个，也可

值或最小值)最多有一个.

能一个都没有.

(1)极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值；

联系(2)在区间｝，6］上图象是一条连续曲线的函数/(x)若有唯一的极值，则

这个极值就是最值.

1.［易错题］下列说法正确的是(C)

A.函数的极大值比极小值大

B.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的

C.函数的最大值不一定是极大值，极大值也不一定是最大值

D/Go)=0是犹为可导函数y=/(x)的极值点的充分不必要条件

解析对于A,由极大值与极小值的概念可知，函数的极大值不一定比极小值大；对于

B,函数在某区间上或定义域内如果有最大值，则最大值是唯一的，但极大值不一定；对

于C,由极大值与最大值的概念可知C正确；对于D,在函数的极值点处/(xo)=0,但

是使/Go)=0成立的xo未必是极值点，如当xo为定义域的左右端点时/(xo)可以等于

0,但此时xo不是极值点.

2.设函数/G)的定义域为R,xo(xoNO)是/(x)的极大值点，则下列结论一定正确的

是(D)

A.VxGR,/(x)W/(xo)8.一犹是夕=/(一工)的极小值点

C.一枇是(x)的极小值点D.—xo是(—x)的极小值点

解析极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上/(X0)是否最大，故A

错误；因为函数y(x)与7=/(—x)的图象关于y轴对称，所以一X0是y=/(―x)的极

大值点，故B错误；因为函数/1(x)与y=—/(X)的图象关于x轴对称，所以祝是>=

—/(x)的极小值点，而一xo是否为y=—/(x)的极小值点不确定，故C错误；因为函数

f(x)与>=—/(—x)的图象关于原点对称，所以一xo是y=—/(―x)的极小值点，选项

D正确.

3.［2024辽宁省部分学校联考］函数/(x)=(—2x+4)e"在区间［1,+<=«)上的最大值为_

2e.

解析f(x)=(—2x+2)ev,当xG［1,+°°)时，f'(x)WO,f(x)单调递减，所以

f(x)max=/(1)=2e.

4.若函数/(x)=必一ax2+2x-I有极值，则实数。的取值范围是(-8,一承))

U(+8).

解析由已知，得/(x)=3N—2ax+2.因为函数/(x)有极值，所以/(x)=0有变号

零点，所以A=4〃-24>0,解得a>连或a<一逐，所以实数a的取值范围为(一8,

-V6)U(V6,+8),

f---------------------------：««««明也方向----------------------------------->

。学生用书P057

命题点1导函数图象的应用

例1(1)［浙江高考］函数y=/(x)的导函数>=/'(x)的图象如图所示，则

函数>=/(x)的图象可能是(D)

CD

解析根据题意，已知导函数的图象与x轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符

号相反，因此函数/(X)在这些零点处取得极值，根据/1(X)有两个极小值和一个极大值

可排除A,C；记导函数/(X)的零点从左到右分别为XI,X2,X3,又在(一8,XI)上

f(X)<0,在(XI,X2)上/(X)>0,所以函数/(X)在(-8,X1)上单调递减，在

(XI,X2)上单调递增，由X2>0排除B.故选D.

(2)［多选/2024陕西省汉中市联考］设/(X)是函数/(X)的导函数，y=f(x)的图象

如图所示，则下列说法正确的是(BC),［

A.函数一定有三个零点Itr,自：

B.函数一定有三个极值点

C.函数有最小值

D.函数图象一定经过坐标原点

解析易知函数/(x)在(-8,o),(1,2)上单调递减，在(0,1),(2,+°°)

上单调递增，所以函数/(x)一定有三个极值点0,1,2,B正确；函数/(x)有最小值，

为7(0),/(2)中的较小者，C正确；函数/(x)的图象可能都在x轴上方，其零点个数

可能是0,A错误；函数/(x)的图象不一定过原点，D错误.故选BC.

方法技巧

根据函数图象判断极值的方法

(1)由的图象与x轴的交点，可得函数y=/(x)的可能极值点.

(2)由y=，(x)的图象可以看出了=/(x)的值的正负，从而可得函数y=/(x)的单

调性，进而求得极值(点).

注意要看清楚所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.

训练1［多选］已知函数>=/(x)的导函数>=尸(x)的、

图象如图所示，则下列结论正确的是(AB)匚/⑴

A/(a)<f⑹<f(c)/T\/

B/(e)</(J)</(c)\丫j\d/

3Fo<\;A

C彳=<：时，/a)取得最大值

D.x="时，f(x)取得最小值

解析由(x)的图象可知，当xG(—8,c)u(e,+8)时，f(x)>0；当xe

(c,e)时，f(x)<0.所以/(x)在(-8,c),(e,+°°)上单调递增，在(c,e)

上单调递减.对于A,因为a<b<c,所以/(a)</(6)</(c),A正确；对于B,因为

c<d<e,所以/(e)</(d)<f(c),B正确；对于C,由单调性知/(c)为极大值，

当x>e时，可能存在了(xo)>/(c),C错误；对于D,由单调性知/(e)</(d),D

错误.

命题点2利用导数研究函数的极值

角度1求函数的极值

例2［全国卷n］若X=—2是函数/(x)=32+1)e「i的极值点，则/(X)的极小值

为(A)

A.-lB.-2e3C.5e-3D.l

解析因为/(x)=(x2+ax—1)ex-1,所以/(x)=(2x+a)evl+(x2+ax—1)

=[N+(a+2)x+a—1]廿一i.因为x=-2是函数/(x)=(x2+ax-1)的极值点，所

以-2是N+(a+2)x+a—1=0的根，将工=—2代入解得°=—1,所以/(x)=(x2

+x—2)er-1=(x+2)(x—1)e^r.令/(x)>0,解得x<—2或x>l,令/(x)<

0,解得一2<X<1,所以f(x)在(-8,-2)上单调递增，在(一2,1)上单调递减，

在(1,+°°)上单调递增，所以当X=1时，/(X)取得极小值，且/(X)板小值=/(1)=

-1,故选A.

方法技巧

求可导函数/(X)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数(X);

(2)求方程/(x)=0的根；

(3)判断了，(x)在方程(x)=0的根附近的左右两侧的符号；

(4)求出极值.

角度2已知函数的极值(点)求参数

例3(1)［多选〃023新高考卷n］若函数/(x)=alnx+：+/QW0)既有极大值也有极

小值，则(BCD)

A.bc>0B.ab>0

C.b2-\~Sac>0D.QCVO

解析因为函数/(%)=qlnx+g+g(qWO),所以函数/(x)的定义域为(0,

+°°),/(%)因为函数/(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程

(△>0,(b2+8ac>0,

Q/—bx—2c=0有两个不等的正实根Xl,X2,贝可1%1+%2>。，即卜>。'所以

>。，I—名>0,

Ia

b2+8ac>0,

ab>0?故B，C,D正确.因为仍>0,ac<09所以bcVO,A错误，故选BCD。

ac<0.

(2)［开放题/2023北京市第五十五中学4月调研］已知函数/(x)=(x—a)(x—3)2

(Q£R),当％=3时，/(x)有极大值.写出符合上述要求的一个Q的值：4(答案不唯

一，满足a>3即可).

解析由题意得，f(x)=(x—3)2+(x—a)X2(x—3)=(x—3)(x—3+2x—

2Q)=(x—3)(3x—2a—3),令/(x)=0,解得x=3或％=臂士

当警>3,即a>3时，f(x)在(-8,3)上单调递增，在(3,等)上单调递减，所

以/(x)在％=3时取极大值.

所以q>3,〃可取4,故答案为4(答案不唯一，满足〃>3即可).

方法技巧

已知函数极值点或极值求参数的两个要领

列式根据极值以及极值点处导数为0列方程(组)，利用待定系数法求解.

因为/，(犹)=0不是X0为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验

验证

证根的合理性.

注意若函数y=f(x)在区间(a,b)上存在极值点，则y=/(x)在(°,6)上不是单

调函数，即函数y=〃(x)在区间(a,b)内存在变号零点.

训练2(1)［多选］曲线/(x)=a(x+1)e"在点(-1,/(-I))处的切线方程为^=

则下列说法正确的是(

-ex+b,AC)

A.a=l,b=-B.f(x)的极大值为当

C.f(x)的极小值为一点D.f(x)不存在极值

解析依题意，f(x)=aex+a(x+1)ex=Cax+la)巴fr(-1)=6ze-1=|,解得a=

1,所以/(x)=(x+1)e^,f(x)=(x+2)廿.又/(一1)=0,所以:义(―1)+b=

0,所以故A正确.令/G)=0,解得％=—2,当、£(一8,-2)时，fr(%)<

0,函数/(x)在(-8,—2)上单调递减；当工£(—2,+°°)时，/(％)>0,函数/

(x)在(-2,+°°)上单调递增.所以当x=—2时，函数/(%)取极小值，

即/(一2)=一±/(x)的极大值不存在，故B,D错误，C正确.故选AC.

(2)已知函数/(%)=X3+"2+队+次在％=i处有极值I。，则4=4,b=-11.

解析/'(x)=3N+2ax+6.由题意，得/⑴=0，即+3=0,解得

1/(1)=10,［a2+a+b+1=10,

［或卜一'当a=4,b——11时，f(x)—3x2+8x—11=(3x+11)(x—

U=-ll5=3.

1),在X=1附近的左右两侧，/，(X)异号，此时函数/(X)在X=1处有极值；当4=

—3,6=3时，ff(x)=3/—6X+3=3(%—1)2,在x=l附近的左右两侧，恒有/'G)

>0,不变号，此时函数/(%)在％=1处无极值.综上，Q=4,6=-11.

命题点3利用导数研究函数的最值

角度1求函数的最值

例4［2022全国卷乙］函数/(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间［0,2扪的最小值、最大

值分别为(D)

c.--,-+2D.--,-+2

2222

解析由/(x)=cosx+(x+1)sinx+1,[0,2K],得/(x)=_sinx+sinx+

(x+1)cosx=(x+1)cosx.

令/(x)=0,解得x=-1(舍去)或或x=多.

因为70)=co吟+(=+1)sin=+l=2+p/(y)=COSy+(y+1)siny+1=-y,又

f(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,/(2兀)=cos2兀+(2兀+1)sin2K+1=2,

所以/(x)max=/0)=2+pf(X)min=/号)=一手故选D.

方法技巧

求函数/(x)在［Q,加上的最值的方法

(1)若函数/(X)在区间［。，6］上单调递增(递减)，则/(Q)为最小(大)值，/(b)

为最大(小)值；

(2)若函数/(X)在区间(Q,b)内有极值，则要先求出函数在(。，6)内的极值，再与

/(〃)，/(6)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；

(3)函数/(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在

导数的实际应用中经常用到.

角度2已知函数的最值求参数

例5［全国卷HI］已知函数f(x)=2x3-ax2-\-b.

(1)讨论/(x)的单调性.

(2)是否存在〃，b,使得/G)在区间［0,1］上的最小值为一1且最大值为1?若存在，

求出〃，6的所有值；若不存在，说明理由.

解析(1)对f(%)=2x3—qN+b求导，得/(x)=6x2—2ax=2x(3x—。).

令/(x)=0,得x=0或

若。>0,则当工£(—8,0)U§+8)时，/(工)>0；当工£(0,学时，/(x)

V0.故/(x)在(-8,0)和(1,+°°)上单调递增，在(0,p上单调递减.

若。=0,则/(x)在R上单调递增.

若。<0,则当工£(—8,全U(0,+8)时，/(%)>0；当工£0)时，/(x)

VO.故/(%)在(一8,1)和(o,+°°)上单调递增，在0,0)上单调递减.

(2)满足题设条件的Q,b存在.

(i)当a<0时，由(1)知，/(x)在［0,1］上单调递增，所以/(%)在区间［0,1］上的

最小值为/(0)=b,最大值为/(I)=2—a+b,所以b=—1,2—a+b=l,则a=0,b

=—1,与QVO矛盾，所以QVO不存在.

(ii)当a=0时，由(1)知，/(x)在［0,1］上单调递增，所以由/(0)=-1,f(1)=

1得q=0,b=-l.

(iii)当0V〃V3时，由⑴知，/(x)在(0,p上单调递减，在0,1)上单调递

增，所以/(x)在［0,1］上的最小值为了守=—^+b=—\,最大值为/(0)=6或

/(1)=2—a~\~b.

若一白6=—1,6=1,则a=3冠，与0c。<3矛盾.

若一|^+6=—1,2~a-\-b=1,贝Ia=3百或a=-3B或a=0,与0<a<3矛盾.

(•)当时，由(1)知，/(x)在［0,1］上单调递减，所以/(x)在区间［0,1］上的

最大值为/(0)=b,最小值为/(I)=2~a+b,所以2—a+b=—1,Z?=l,则q=4,b

=1.

综上，满足题设的a,b存在.当q=0,6=—1或。=4,6=1时，/(%)在区间［0,1］上的

最小值为一1且最大值为1.

训练3(1)［2021新高考卷I］函数/(x)=I2x-lI—21nx的最小值为1.

解析函数/(%)=|2x—1I—21nx的定义域为(0,+°°).

①当时，(对X进行分类讨论)

/(x)=2x-l-21nx,所以/(x)=2-：=2］>,当时，f'(x)<0,当x>l

时，f(x)>0,所以y(x)min=/(l)=2-l-21n1=1;

②当时，f(x)=1—2x—21nx在(0,上单调递减，所以/(x)min=/(|)=

—21n-=21n2=ln4>lne=1.

2

综上，f(X)mm=l.

(2)［2024河北省新乐市第一中学月考］已知函数/(x)=31nx—N+(0—Px在区间

(1,3)上有最大值，则实数a的取值范围是(g苫).

解析f(x)=|-2x+(。一夕，且广(x)在(1,3)上单调递减，由题知函数/(x)

在区间(1,3)上有最大值，则需满足了，(x)在(1,3)内有唯一零点，故

了,(1)>0,3—2+a~~>0,111i

?解得一工<.<11,即实数0的取值范围为(一工，丑).

厂(3)<0,l-6+a--<0,2222

2

1.［命题点2/多选/2022新高考卷I］已知函数/(x)=x3-x+l,贝!J(AC)

A/(x)有两个极值点

B/(%)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

解析因为/'(x)—x3—x+l,所以/(x)—3x2—l,令/(x)=3/-1=0,得丫=±］.

由/(x)=3〃-1>0得x>苧或xV一条由/(x)=31一1<0得詈4〈率所以

f(x)=3—x+1在(?，+8),(_8,一弓)上单调递增，在(一弓，手)上单调递

减，所以/'(X)有两个极值点，故A正确.

因为/(X)的极小值/(亨)=(争3—畀1=1—等>0,/(—2)=(—2)3—(-2)

+1=-5<0,所以函数/(x)在R上有且只有一个零点，故B错误.

因为函数g(x)=%3—X的图象向上平移一个单位长度得函数/(x)=%3—x+1的图象，函

数g(x)=%3—X的图象关于原点(o,0)中心对称且g(0)=0,所以点(0,1)

是曲线/(x)=/—x+1的对称中心，故C正确.

假设直线y=2x是曲线(X)的切线，切点为(X0,次)，则/(Xo)=3就-1=2,解

得xo=±l.若xo=l,则切点坐标为(1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上，若xo=

-1,则切点坐标为(一1,1),但点(一1,1)不在直线y=2x上，所以假设不成立，故

D错误.故选AC.

2.［命题点2/2021全国卷乙］设aWO,若x=a为函数/(x)=a(%—q)2Cx-b)的极大值

点，则(D)

A.a<bB.a>bC.abVa2D.ab>a1

解析解法一(分类与整合法)因为函数/(x)=a(x—a)2(x—b),所以/(x)=

2a(x—Q)(x—b)~\~a(%—q)2=a(x—a)(3x—q—2b).令/(x)=0,结合aWO可

得x=a或x=/券.

(1)当q>0时，

①若—>a,即6>a,此时易知函数/(x)在(-8,°)上单调递增，在(°,等)上

单调递减，所以x=a为函数/(x)的极大值点，满足题意；

②若史”=°,即6=a,此时函数/(x)—a(x—a)3在R上单调递增，无极值点，不满足

题意；

③若等<a,即6<a,此时易知函数/(x)在(喑a)上单调递减，在(a,+^)上

单调递增，所以x=a为函数/(x)的极小值点，不满足题意.

(2)当a<0时，

①若史三>a,即6>a,此时易知函数/(X)在(-8,°)上单调递减，在(a,5黄)上

单调递增，所以x=a为函数/(x)的极小值点，不满足题意；

②若组f=〃，即b=a,此时函数/(x)=a(X—Q)3在R上单调递减，无极值点，不满足

题意；

③若等<a,即6<a,此时易知函数/(x)在(等，a)上单调递增，在(a,+-)上

单调递减，所以X=Q为函数/(X)的极大值点，满足题意.

综上，a>0且6>a满足题意，a<0且也满足题意.据此，可知必有附>/成立.故选

D.(解题技巧：分类讨论之后，需要及时整合，有利于进一步分析、求解)

解法二(特值排除法)当。=1,6=2时，函数/(x)=(x—1)2(x—2),画出该函

数的图象如图1所示，可知x=l为函数/(x)的极大值点，满足题意.从而，根据a=l,b

=2可判断选项B,C错误.当°=-1,6=—2时，函数/(x)=—(x+1)2(x+2),画

出该函数的图象如图2所示，可知x=—1为函数/(x)的极大值点，满足题意.从而，根据

a=-l,6=—2可判断选项A错误.综上，选D.

解法三(数形结合法)当。>0时，根据题意画出函数/(x)的大致图象，如图3所示,

观察可知b>a.

当a<0时，根据题意画出函数/(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>6.

综上，可知必有06>°2成立.故选D.

3.［命题点2角度2/2022全国卷乙］已知x=xi和x=X2分别是函数/(x)^2ax-ex2(a>0

且aWl)的极小值点和极大值点.若xi<应，则。的取值范围是(工，1).

e

解析由题意，f(x)=2aHna—2ex,根据/(x)有极小值点x=xi和极大值点x=%2可

知，X=X\,X=X2为f3=0的两个不同的根，又X1〈X2,所以易知当(—8,

Xl),(X2,+°°)时，f(%)<0；当(xi,X2)时，f(%)>0.

由/(x)=0可得。*lnq=ex.

解法一因为。>0且aWl,所以显然xWO,

令g(X)=岁，则g(X)的图象与直线y=e有两个交点，g-(X)"majFna

axlna[0na)x—1]

■

令g，(x)=0,得.故当时，gf(x)>0,g(x)单调递增；当-时，

InaInaIna

g'(x)<0,g(x)单调递减.

所以g(x)w=g(+)=05吧=益(Ina)2,也是最小值.

Ina

1

所以a嬴(Ina}2<e,

1logae

因为Q嬴=Qlogaa=alo§ae=e,

所以(In6Z)2<1,

若Q>1,则当X—+8时，f(%)一+8,不符合题意，

-i

所以0<a<l,则一l<lna<0,-<a<l.

e

所以ad(i,1).

e

解法二若Q>1,则当X—+8时，f(x)一+8,不符合题意，舍去.

若0Va<l,令g(x)=ax\na,h(x)=ex,

在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)和fl(%)的大致图象，如图所示.

因为/(x)=0有两个不同的根，所以g(%)与〃(x)的图象需要有两个交点，

则过原点且与g(%)的图象相切的直线/的斜率左Ve.

设直线/与g(x)的图象的切点坐标为(xo,aXoln«),因为g，(x)=ax(Ina)2,

所以左=谟。(Ina)2=吧吧，可得配=3，

XQIna

1

从而左=a■嬴(Ina)2<e,即e(Ina)2<e,则(Ino)2<1,又0Vq<l,所以一l<lna<

0,所以aG(1,1).

e

4.［命题点3角度1/江苏高考］若函数/(x)=2xi-ax2+l(aGR)在(0,+°°)内有且

只有一个零点，则/G)在［-1,11上的最大值与最小值的和为一3.

解析f(x)=6x2—2ax=2x(3%-a)(aGR),当aWO时，f(x)>0在(0,+°°)

上恒成立，则/(x)在(0,+°°)上单调递增.又/'((J)=1,所以此时一(X)在(0,

+8)内无零点，不满足题意.当a>0,x>0时，由/(x)>0得x>1由/(x)<0得

0<x<1,则/(x)在(0,弓)上单调递减，在0,+°°)上单调递增.又了(X)在(0,

3

+8)内有且只有一个零点，所以/0n)=-—n+1=0,解得0=3.所以/(x)=2x3-3x2

+1,则/(x)=6x(x-1),当xG(-1,0)时，f(x)>0,/(x)单调递增，当

XG(0,1)时，f(x)<0,/(x)单调递减，

则/(x)在［-1,1］上的最大值为7(0)=1.又/(-1)=-4,/(1)=0,则/(x)在

［—1,1］上的最小值为-4,所以/'(x)在［—1,1］上的最大值与最小值的和为一3.

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。学生用书•练习帮P279

■砒练;仪通关

1.函数/(x)=x+2cosx在区间［0,自上的最大值是(C)

A.-+1B,-+V2C.-+V3D.-

3462

解析f(x)=l—2sinx.当OVxV时,f(x)>0,f(x)单调递增；当时，

662

f(x)<0,f(X)单调递减.所以函数/(X)在处取得极大值也是最大值，即/(X)

6

x=m+2cosB=m+V^.故选C.

1mo66

2.已知函数/(x)=21nx+aN-3x在x=2处取得极小值，则/(x)的极大值为(B)

A.2B.--

2

C.3+ln2D.-2+21n2

解析f(x)=：+2办-3(x>0),'：f(x)在x=2处取得极小值，：.f(2)=4a—2=

2

0,解得a=3：.f(x)=2\nx+-x-3x,f(x)=2+x-3=「Dd〉,在

(0,1),(2,+8)上单调递增，在(1,2)上单调递减，.../(x)的极大值为/(I)

3.［2022全国卷甲］当x=l时，函数/(x)=alnx+g取得最大值一2,则/(2)=

(B)

11

A.-lB.-4C.=D.1

22

解析由题意知，/⑴=qln1+6=6=—2.因为/(x)=：—尚■(X>0),所以尸⑴=

cr~b=0,所以a=—2,所以/(2)=：—2=—2.故选B.

4.若函数/G)=/—(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是

(B)

A.(―8,2)U(2,+8)B.(0,2)U(2,+8)

C.(2,+8)D.⑵

解析因为/(x)既有极大值又有极小值，且广(X)=2X一。-2+/=止矢石*=

，2x-a)(xT>(x>0)所以/(x)=0有两个不相等的正实数解，所以2>0且与勺，解得

x22

a>0且QW2.

5.［多选］函数y=/(x)的导函数/，(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是

(BD)

A.x=-3是函数》=/(%)的极值点

B.x=-1是函数y=/(x)的最小值点

C.y=f(x)在区间(—3,1)上单调递增

D.曲线歹=/(%)在x=0处切线的斜率小于零

解析根据导函数的图象可知当工£(—00,—3)时，f(x)<0,当(—3,+00)

时，f(x)20,所以函数(x)在(-8,—3)上单调递减，在(-3,+°°)上单

调递增，则x=-3是函数>=/(%)的极值点.因为函数(x)在(-3,+°°)上单调

递增，所以x=-1不是函数>=/(%)的最小值点.因为函数>=/(%)在％=0处的导数大

于0,所以曲线》=/(%)在％=0处切线的斜率大于零.故选BD.

6.［2024河南省商丘市部分学校联考］若函数/(%)=/—12x在区间(a,6Z+4)上存在最

大值，则实数a的取值范围是一(一6,—2).

解析因为/(x)=x3-12x,所以/(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),由/(x)>

0,得xV—2或x>2,则/(x)在区间(—8,-2)和(2,+8)上单调递增，由

/G)<0,得一2VxV2,则/(x)在区间(一2,2)上单调递减，所以/(%)在1=—2

处取得极大值，在x=2处取得极小值.

要使函数/(x)=%3—12%在区间(a,。+4)上存在最大值，又(Q+4)—Q=4,贝1J

fCLV-2,

{解得一6VQV—2,即实数Q的取值范围是(一6,-2).

I—2Va+4,

7.［2021北京高考］已知函数/(x)=亢.

(1)若a=0,求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)若函数/(x)在x=—1处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.

解析因为/(x)=守，所以/(x)=(3-2x)")=

/+a，(x2+a)

2x2—6x~2a

(x2+a)

(1)若a=0,则/⑴=-4,f(1)=1,

则曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y—1=—4(X—1),即4x+y—5=o.

(2)由函数/(%)在x=—1处取得极值可知/(-1)=0,即&2a2=0,解得。=4.

(l+a)

此时/(X)=学，所以/(X)=2(I)”)

/+4(X2+4)

当(—8,—1)U(4,+°°)时，/(％)>0,所以/(X)的单调递增区间为

(―00,—1),(4,+°°);

当工£(-1,4)时，/(x)<0,所以/G)的单调递减区间为(一1,4).

又当工——8时，f(%)—0,当工一十8时，f(%)-o,

所以/(x)的最大值为/(—I)=1,/(%)的最小值为/(4)=-

能力练

8.若直线>="+6为函数/G)=lnx—：图象的一条切线，则2a+b的最小值为

(B)

1

A.ln2B.ln2--

2

C.lD.2

解析函数/(%)的定义域是(0,+8),/G)=}+盘，设切点坐标为(配，次)，则

yo~Inxo一~~96Z=--p-y,所以切线方程为〉一(Inxo—­—)=(工+鼻)(x—%o),即y=

%o%0%oXQXoXQ

(2+与x—1+Inxo——,与已知对照，得b=-1+Inxo——,所以2q+b=lnxo+马-1.

%ox0XQ%O%O

构造函数g⑺=lnt+^—l(/>0),贝Ug'⑺=L=(t+2；£2),所以函数g⑺在

(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，所以当/=2时，g(t)取得最小值，为

11

In2-所以(2〃+b)min=In2一万.故选B.

9.［2023南京市六校联考］已知xi,血是函数/(x)=^—：办2的两个极值点，且X2=2XI,

则实数。的值为(C)

A，4B.—C.—D.—

Ve2ln22

解析因为/(x)=^—^ax2,所以f1(x)=ex-ax.

因为xi,也是函数/(x)的两个极值点，所以di—办］=0,

,px2,pXip2%i

e%2一办2=0,显然xiWO,X2WO,所以a=—=—.因为％XI所以一=——,即2e^i=

X22=2,%12%1

c%1pln22,

e2%1,得e%i=2,所以％i=ln2,a——P===777.故选C.

m2ln2

10.［多选/2023广州市二检］已知函数/'(x)=1—重:的定义域是［a,b\(a,Z>ez),值

域为［0,1］,则满足条件的整数对(a,6)可以是(ACD)

A.(—2,0)B.(-1,1)

C.(0,2)D.(-1,2)

解析显然y=l—(x£R)是偶函数，我们先分析当x>0时函数y=l—1普的单调

性.

2

、八…141.4(x—4)

当x>°时'yn—不,则m夕’=不L，

令j/=o,得x=2,当0Vx<2时，V<0,y=l—笺：单调递减;

当x>2时，y'>0,y=l—4△单调递增.

x+4

所以x=2为极小值点，极小值为0.

又当x=0时，y=l,当x-+8时，y—1,所以作出y=l一+J的大致图象如图所示.

对A,当xd［—2,0］时，由图象可知，/(X)e［0,1］,故A满

足条件；—

对B,当1］时，/(-1)=/⑴则/(x)e［lI］,故B不满足条件;

对C,当xG［o,2］时，由图象可知，y(x)e［0,1］,故C满足条件；

对D,当xe［—1,2］时