《数据、模型与决策》 课件 3.1 线性规划模型

第3章线性规划模型在市场、人员、财务中的应用与决策

管理要素有哪些？本章内容框架自1947年Dantzig提出线性规划的单纯型方法后，线性规划的理论体系和计算方法日趋系统和完善。随着计算机技术的发展，线性规划模型已广泛应用于商业领域，如投资决策分析、运输问题计划等。下面我们通过几个例子来说明线性规划模型在市场、人员安排、财务等领域中的应用及其模型的求解方法与决策。线性规划模型在物流领域中的应用与决策，我们放在第6章介绍。

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问题的提出建模过程：1.理解要解决的问题，了解题中的目标和条件；2.定义决策变量（x1，x2，…，xn

），决策变量的一组定值表示一个方案；3.用决策变量的线性函数形式表达目标函数，确定目标是极大化，还是极小化（MAX或MIN）；3.用决策变量的一组等式或不等式来表示解决问题过程中必须遵循的约束条件（≥、≤或＝）；5.根据决策变量的物理性质确定变量是否有非负性。一般形式：目标函数：Max（Min）Z=c1x1+c2x2+…+cn

xn

约束条件：s.t.a11x1+a12x2+…+a1n

xn

≤（=,≥）b1

a21x1+a22x2+…+a2n

xn

≤（=,≥）b2…………

am1x1+am2x2+…+amn

xn

≤（=,≥）bm

x1，x2，…，xn≥05问题的提出线性规划模型的三要素：

1、决策变量用符号来表示可控制的因素

2、目标函数MaxZ或MinZ3、约束条件s.t.(subjectto)满足于线性规划研究的两大问题：

1、资源一定，任务目标最优；

2、任务一定，要求使用的资源最少。3.1市场调查问题模型的建立与决策

例：某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调查公司提出了一下要求：（1）共对500个家庭进行调查（2）在被调查的家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少有50%的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少有60%的家庭采用问卷式书面调查。对不同家庭采用不同调查方式的费用见表3.1

表3.1.1市场调查费用表

家庭类型

调查费用（元）问卷式书面调查

口头调查有孩子的家庭5030没有孩子的家庭4025华中市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下使得总调查费用最小？解：根据题意，本问题的决策变量如下：X1—对有孩子家庭采用问卷式书面调查的数目，X2—对有孩子家庭采用口头调查的数目，X3—对没有孩子家庭采用问卷式书面调查的数目，X4—对没有孩子家庭采用口头调查的数目。

家庭类型

调查家庭数问卷式书面调查

口头调查有孩子的家庭X1X2没有孩子的家庭X3X4本问题的目标是使得总调查费用最小。由表3.1.1

可知各种情况下每调查一个家庭的费用，因此，总调查费用应等于各种情况下的调查费用之和。即：

50X1+30

X2+40X3+25X4该公司的目标是使得总费用最小化，即：

min50X1+30

X2+40X3+25X4本问题的约束条件包括：调查家庭总数约束，有孩子与没有孩子的被调查家庭数约束，采用问卷式书面调查的家庭数约束，以及采用问卷式书面调查的家庭的比例约束。由此，可得本问题的线性规划模型如下：o.b.Min50X1+30

X2+40X3+25X4s.t.X1+X2+X3+X4=500（调查家庭总数约束）

X1+

X2≥200（有孩子家庭调查数约束）

X3+X4≥200（没有孩子家庭调查数约束）

X1+X3≥300（采用问卷式书面调查的家庭数约束）

X1≥0.5*（X1+X2）（有孩子家庭采用问卷式书面调查比例约束）

X3≥0.6*（X3+X4）（没有孩子家庭采用问卷式书面调查比例约束）

X1，

X2，X3，X4≥0（非负约束）图3-2数据设置与求解公式图3-3规划求解参数设置图3-4选项的设置图3-5求解结果3.2人力资源分配问题模型的建立与决策例：某通讯中心需全天24小时为客户提供热线电话服务，中心接线员分别于班次开始时上班，每次需连续工作8小时。已知各个班次所需接线员如表3-2所示。问：中心至少聘用多少接线员才能使通讯中心正常运转？班次时间需要接线员数量/人10：00~4：00524：00~8：001038：00~12：0020412：00~16：0027516：00~20：0030620：00~24：0015表3-2各班次所需接线员人数解：设分别表示各个班次安排的接线员数量。则可建立下述的线性规划模型求解该问题：目标函数：MinZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6

约束条件：s.t.x1+x6≥5

x1+x2≥10

x2+x3≥20

x3+x4≥27

x4+x5≥30

x5+x6≥15

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0且取整该模型的已知数据、决策变量、目标函数、约束条件等设置如图3-6所示图3-6数据设置与求解公式图3-7规划求解参数设置图3-8求解结果例（排班问题）某航空公司准备增加中心机场的往来航班，需雇佣更多的服务人员。分析新的航班时刻表，以确定一天中不同时段为实现客户满意水平必须工作的服务人员数。每班8小时，分5班，各班时间安排：排班16:00~14:00，排班28:00~16:00，排班312:00~20:00，排班416:00~24:00，排班522:00~6:00，时段＼排班12345人数6:00~8:00√488:00~10:00√√7910:00~12:00√√6512:00~14:00√√√8714:00~16:00√√6416:00~18:00√√7318:00~20:00√√8220:00~22:00√4322:00~24:00√√5224:00~6:00√15每人每天工资170160175180195问题是：确定各排班的人数，以最小的成本提供令人满意的服务。（不同时段在岗，工资不同）G7=SUMPRODUCT(B7:F7,每班人数)总人数=SUM(B19:F19)总成本=SUMPRODUCT(单位成本,每班人数)总工资每天30610元 求解结果：6点班 48名 早8点班 31名 中午班 39名 下午4点班 43名 晚上10点班 15名决策变量：设xi

为各排班i

的人数（i=1,…,5）目标函数：人员总费用最少约束条件：每个时段的在岗人数必须不少于最少需要人数例

投资组合优化问题。某公司董事会决定将20万元现金进行债券投资。经咨询，现有五种较好的投资对象，黄河汽车、长江汽车、华南电器、西南电器、缜山纸业。债券名称黄河汽车长江汽车华南电器西南电器缜山纸业回报率6.5%9.2%3.5%5.5%3.2%为减少风险，董事会要求，对汽车业投资不得超过12万元，对电器业投资不得超过8万元，其中对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的65%，对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%。该公司应如何投资，才能在满足董事会要求的前提下使得总回报额最大？

3.3投资组合线性规划模型的建立与决策解：（1）决策变量本问题的决策变量是对五种投资对象的投资额。设：该公司对五种债券的投资额分别为x1，x2，x3，x4，x5（万元）。（2）目标函数本问题的目标是使得公司总回报额最大（3）约束条件总投资额为20万现金汽车业的投资不得超过12万电器资业的投不得超过8万对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的65%对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%非负o.b.max0.065X1+0.092X2+0.045X3+0.055X4+0.042X5(总投资额最大化)s.t.X1+X2+X3+X4+X5=200000（总投资额约束）X1+X2≤120000（汽车业投资约束）X3+X4≤80000（电器业投资约束）X2≤0.65（X1+X2）（长江汽车业投资约束）X5≥0.20（X1+X2）（纸业投资约束）X1、X2、X3、X4、X5≥0（非负约束）该模型的已知数据、决策变量、目标函数、约束条件等设置如图3-9所示。图3-9设置与求解公式数据图3-10规划求解参数设置图3-11求解结果债券名称黄河汽车长江汽车华南电器西南电器缜山纸业回报额（元）420007800005600024000表3-4五种债券回报额表这时，满足所有的约束条件，且总回报额最大，达到13994元。

混合两种以上的资源来生产一种以上的产品时,就出现了混合问题.

例题：GS石油公司通过合成3种石油成分来生产汽油产品.这些产品以不同的价格出售,这3种石油成分的成本也不同.公司想通过决定一种混合这3种石油成分以生产汽油产品的方案来获得最大的产品利润.

现有的资料显示,一般规格的汽油的售价是每加仑1.0美元,而特殊规格汽油是每加仑1.08美元.在当前的生产计划期内,GS公司可以得到的那3种石油成分每加仑的成本和总量见表:石油成分单位成本(美元)最大供应量(加仑)

10.50500020.6010000

30.8410000混合问题GS公司的混合问题就是要决定一般规格汽油和特殊规格汽油的每种石油成分的用量分别为多少.具体要求见表:

产品规格

一般规格汽油最多百分之30成分1

最少百分之40成分2

最多百分之20成分3

特殊规格汽油最少百分之25成分1

最多百分之40成分2

最少百分之30成分3

资源分配问题例3.5

某公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前，该公司有机会在三个建设项目中投资： 项目1：建造高层办公楼； 项目2：建造宾馆； 项目3：建造购物中心。每个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预付定金，以及一年、二年、三年后分别追加投资。表3-1显示了四个时期每个项目所需资金（百万元）。投资者可以按一定的比例进行投资和获得相应比例的收益。年