3.1.1 椭圆（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.1.1椭圆知识点一椭圆的定义【例1-1】（2024·广西南宁）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】由椭圆，可得，所以，因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，所以，又，所以.故选：C.【例1-2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】因为椭圆，所以，又因为，所以，即，设，则①，且②，由①②得到，即，所以，故选：B.【例1-3】（2024湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若曲线是椭圆，则有：解得：，且故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C【变式】1．（2024·河北保定）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【解析】由椭圆的定义可知，.故选：A.2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（）A．8 B．6 C．20 D．10【答案】A【解析】因为椭圆方程为，所以，又因为，所以，故选：A.3．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．且【答案】D【解析】方程表示椭圆，，得，得且．故选：D．4．（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】方程可化为：，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.故选：C5．（22-23高二·江苏·假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为．【答案】【解析】由椭圆，可得，则，因为，可得，，在中，由余弦定理得，因为，所以.故答案为：知识点二焦点三角形的周长与面积【【解题思路】椭圆定义的解题思路(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ，(1)△PF1F2周长为2a＋2c；(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c；(3)S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.【例2-1】（23-24高二下·陕西汉中·期末）椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为.【答案】14【解析】因为，，所以，故的周长为.故答案为：14【例2-2】（2024·黑龙江哈尔滨）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，故经过椭圆的右焦点，故的周长.故选：D.【例2-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（

）A．10 B．14 C．18 D．20【答案】D【解析】椭圆的长半轴轴，半焦距，依题意，分别是的中点，即，所以的周长为.故选：D【例2-4】（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】由可得：，则椭圆得长轴长为，，可设，，由题意可知，，，，，△是直角三角形，其面积．故选：B．【例2-5】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【解析】由椭圆定义可得，故，又，则由余弦定理得，故，故.故选：C【变式】1．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】根据题意，椭圆中，根据椭圆定义，的周长为.故选：C2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于椭圆，，由题意可知，的周长为.故选：A.3（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，由余弦定理可得：，化简得：②，由①式两边平方再减去②式，得：，于是的面积为.故选：D.4．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（

）A． B． C．或1 D．1或【答案】D【解析】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P，;若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点，此时（或），.故选：D.5．（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（

）A．1 B． C． D．8【答案】C【解析】】设的中点为M，则，于是，又，则为等腰三角形，．故选：C．知识点三椭圆上的点到定点距离之和或差的最值【【解题思路】椭圆上的点到定点距离之和或差的最值利用椭圆的定义或者对称性进行转化，再利用三点共线求最值【例3-1】（23-24高二上·湖北·期中）点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【解析】依题意，设为椭圆的左焦点，因为椭圆，则，，所以，故选：D．【例3-2】（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】，所以，所以轴，因为，所以在椭圆内部，且，所以，即求的最大值，由于，当三点共线时最大，此时，，所以.故选：B.【例3-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（

）A．5 B．9 C．10 D．18【答案】B【解析】易知，设，则，可得，所以；由二次函数性质可得当时，取得最大值为9.故选：B【变式】1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】作椭圆的左焦点，则，当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，故，C正确，故选：C2．（22-23高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】由椭圆方程可知：，设右焦点为，则，，且，即，如图所示，

可得：，当且仅当在线段上时，等号成立，所以的最大值为3.故选：C.3．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，M为椭圆C上任意一点，则，又因为N为圆E：上任意一点，，当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．由题意知，，，则，所以的最小值为.故选：B．

4．（2023·湖南·二模）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【解析】，因为椭圆上的点满足，当点为的延长线与的交点时，取得最大值，最大值为．所以的最大值为16．故选：B．知识点四椭圆的标准方程【【解题思路】确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．【例4】（23-24高二上·天津·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程，(1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4；(2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；(3)经过点，焦点坐标分别为；(4)焦点在轴上，经过点，焦距为．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为，由题意可知；（2）不妨设椭圆方程为，将两点代入得，即椭圆方程为；（3）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为，由题意可设，则有，故椭圆方程；（4）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为，则，由题意可设，则有，故椭圆方程.【变式】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)经过和点．(4)焦距为4，且经过点；(5)求经过点和点的椭圆方程.【答案】(1)1(2)(3)．(4)或(5)【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，∴椭圆方程为1；（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，则，则椭圆的标准方程为；（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，设其方程为，则有，解可得，则所求椭圆的方程为．（4）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，，则，故椭圆的标准方程为.当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，，则，故椭圆的标准方程为.（5）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为.②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.依题意有，解得因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为.方法二：设所求椭圆的方程为（，，）.依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为.知识点五与椭圆有关的轨迹问题【【解题思路】求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．【例5-1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【解析】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选：A【例5-2】（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设、，，则有，，即，，由题意可得，即，即.故选：D.【变式】1．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，，，，，由，得．即．动点的轨迹方程为．故选：B．2．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（

）A．直线 B．圆C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆【答案】C【解析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，因为动圆与圆：内切，且与圆：外切，可得，所以,根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，则，所以动点的轨迹方程为.所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.故选：C.3．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为；若动点Q在圆上运动，则的最大值为.【答案】【解析】由题意，圆的圆心为，点，线段的垂直平分线交于点，所以是的垂直平分线上的一点，所以，又由，所以点满足，根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中，可得，所以，所以椭圆的方程为.圆的方程为，圆心，半径，设，则，，到圆心的距离，又当时，取得最大值，的最大值为：，故答案为：，.【题组一椭圆的定义】1．（23-24高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.C选项，方程，即，表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.故选：C2．（22-23高二下·广东·阶段练习）设，方程所表示的曲线是（

）A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】若，则，曲线,即，，表示焦点在轴上的椭圆．故选：3．（2023高二下·北京·期末）椭圆的焦距为4，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】由椭圆化为标准形式得：，且椭圆的焦距，当椭圆焦点在轴上时，，，则由，所以，此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，当椭圆焦点在轴上时，，，，解得，此时方程为：，满足题意综上所述，的值为．故选：D．4．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆则应满足即．故选：D．5．（2024安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命题等价于，解得.故选：C.6（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足，解得.故选：B.7（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知表示椭圆，则，解得.故选：A.8（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程表示椭圆，则，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B9（23-24高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线，则（

）A．当时，是圆B．当时，是焦距为4的椭圆C．当是焦点在轴上的椭圆时，D．当是焦点在轴上的椭圆时，【答案】AB【解析】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确；对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确；对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误；对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误，故选：AB.10（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则．【答案】14【解析】因为所以又则故答案为：14.11（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则．【答案】18【解析】如图：

由题意，椭圆，可得，，则，根据椭圆的定义，可得.又由，可得，所以.因为，即，解得．故答案为：1812（23-24高二上·北京·期中）椭圆的焦点的坐标为，若为椭圆上任意一点，则.【答案】【解析】该椭圆的方程是，即，，故，所以焦点坐标为.根据椭圆的定义，有.故答案为：，.【题组二焦点三角形的周长与面积】1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（

）A．24 B．12 C．36 D．48【答案】A【解析】因为，所以的周长为24．故选：A.2．（23-24高二下·河北·开学考试）已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（

）A．4 B．16 C．12 D．8【答案】B【解析】由，可得，根据椭圆的定义得，所以．故选：B．3（23-24高二上·福建漳州·期末）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（

）A．6 B． C． D．8【答案】D【解析】设直线与相交于，

由题意，此时为等边三角形，所以为线段的中点，进而可得为线段的垂直平分线，所以.因此，的周长等于.故的周长为.故选：D4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为椭圆方程为，所以，，，又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以垂直平分线段，所以，又因为，所以，，在直角三角形中，，于是的面积为．故选：C．5（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】B【解析】如图所示，椭圆，可得，则，因为点在椭圆上，可得，又由，可得,联立方程组，可得，所以的面积为.故选：B.

6．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆故.根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有：……①，……②由题知……③在中使用余弦定理有：……④将①②③代入④式得到：……⑤现在我们可以计算三角形的面积：因此，的面积是.故选：B.7（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（

）A．3 B． C．9 D．【答案】B【解析】由题设，，可得，，由，，则，即，所以的面积.故选：B8（21-22高二上·新疆昌吉·期末）若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，即，由椭圆的定义可知，，在中，由余弦定理得，可得，解得.所以的面积为.故选：C.9（2022·全国·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，在上，是坐标原点，，则的面积为.【答案】【解析】由题意知椭圆方程为，故，即，设，则，故，故的面积为，故答案为：.10（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则．【答案】/【解析】由椭圆，知，∴，∴点关于直线的对称点，由题意得：，∴，∵，，，∴，∴在中，，∵，∴，∴.故答案为：.【题组三椭圆上的点到定点距离之和或差的最值】1．（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(

)A． B． C． D．6【答案】B【解析】由椭圆的定义知∴的周长为，∴当最小时，最大．当轴，即AB为通径时，最小，此时，∴的最大值为．故选：B．2．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】如图，

设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，，所以.故选：B.3（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．6【答案】B【解析】由椭圆得，因为点为椭圆上的点，则，直线经过定点，则，当且仅当在线段上时取等号，所以的最大值为2.故选：B.4（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（

）A．5 B． C． D．6【答案】B【解析】由题意知，，设椭圆的左焦点为，如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1，，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最大值为.故选：B5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，，则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以，又，所以.故选：B.6．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是.【答案】5【解析】设椭圆的半焦距为，则，，所以，，，所以．如图，因为（当M在的延长线上时取等号），，所以．所以的最大值为5，故答案为：57．（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.【答案】/【解析】由为椭圆上任意一点，则又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为．故答案为：．8．（23-24山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为．【答案】11【解析】由条件可知，，，则，设椭圆的右焦点为，且，所以，当点（点在第四象限）三点共线时，等号成立，且,所以的最大值为.故答案为：119．（2024高二上·全国·专题练习）已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为.【答案】【解析】由椭圆，可得左焦点为，则，于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值，又由的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为.故答案为：.【题组四椭圆的标准方程】1.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得，解得，故椭圆的方程为.故选：B2（24-25高二上·全国·假期作业）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，所以，则，所以椭圆的标准方程为.故选：B.3（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．【答案】或【解析】若焦点在轴上，设，则由题意，解得，∴．若焦点在轴上，设，则由题意，解得，∴．故答案为：或.5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且