2.1 直线的倾斜角与斜率（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.1直线的倾斜角与斜率知识点一直线的倾斜角与斜率【【解题思路】1.直线倾斜角(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求(2)注意倾斜角的范围．2.求直线的斜率(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．【例1-1】（23-24高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C.【例1-2】（23-24北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】该直线不与轴垂直，设倾斜角为，斜率,.故选：B【例1-3】（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为，因为，所以.故选：A.【例1-4】（2024湖北）已知直线的倾斜角为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.【变式】1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，设直线的倾斜角为，则，又，所以，即直线的倾斜角为.故选：D2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】设的倾斜角分别为，直线的斜率，，又，直线的倾斜角的取值范围是.故选：AD.3．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为．【答案】/【解析】设直线与直线的倾斜角分别为，则，且，所以，因为，所以，即两条直线的夹角为，故答案为：.4．（2024·湖南）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；(2)存在，斜率为，倾斜角为；(3)存在，斜率为，倾斜角为；(4)不存在.【解析】(1)解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为(2)解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.(3)解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.(4)解：因为，所以经过的直线斜率不存在，知识点二直线的倾斜角与斜率的范围【【解题思路】直线的倾斜角与斜率的范围数形结合：一般先根据题意画出图形，再结合正切图像写出范围【例2-1】（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设的倾斜角为，由题意可知：直线的斜率，即，且，所以.故选：C.【例2-2】（23-24浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．【答案】D【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，结合图象可得直线的斜率的取值范围是.故选：D【变式】1．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线的斜率为，由于，设倾斜角为，则，，所以.故选：B.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，直线的倾斜角为，当时，由得到，又易知，所以，即，由的图像可知，，综上，

故选：C.3．（2024河北）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【解析】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，而，于是直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围是，故选：C4．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，.由图可知，直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是.故选：D5．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率，直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足，当时，直线l的倾斜角，当时，，所以直线l的倾斜角的取值范围为.故选：C知识点三两条直线位置关系之平行【【解题思路】判断两条不重合的直线是否平行的方法【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)的斜率为，经过点，；(3)平行于轴，经过点，；(4)经过点，，经过点，．【答案】(1)不平行(2)平行或重合(3)平行(4)重合【解析】（1），，，所以与不平行．（2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合．（3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以.（4）由题意，知，,，所以与平行或重合．需进一步研究，，，四点是否共线，.所以，，，四点共线，所以与重合．【例3-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为两条直线平行，所以直线斜率相等或斜率不存在，当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立；当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立，综上或.所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件.故选：A.【变式】1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（

）A．直线经过点，直线经过点B．直线经过点，直线经过点C．直线经过点，直线经过点D．直线经过点，直线经过点【答案】A【解析】对于A，因为，所以，故A对；对于B，因为，所以直线不平行，故B错；对于C，由直线经过点，，直线经过点，，得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错；对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在，而，所以直线不平行，故D错.故选：A.2．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线，则，当时，，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线与直线，即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意，当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件；故选：C4．（2023高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)经过点，经过点；(2)经过点，经过点；(3)的倾斜角为，经过点；(4)平行于轴，经过点．【答案】(1)(2)直线与直线重合(3)直线与直线平行或重合(4)【解析】（1）由题意知，，所以直线与直线l2平行或重合，又，故．（2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合，又，故直线与直线重合．（3）由题意知，，则，所以直线与直线平行或重合．（4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以．知识点四两条直线位置关系之垂直【【解题思路】判断两条直线是否垂直两条直线都有斜率的前提下，斜率之积是否等于－1即可有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．【例4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直．(1)经过点；经过点；(2)的斜率为；经过点；(3)经过点；经过点．【答案】(1)不垂直(2)垂直(3)垂直【解析】（1），，与不垂直．（2），．（3）由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴，又，则轴，因此．【例4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】直线的斜率为：，因为直线与直线垂直，所以，解得：.故选：B.【变式】1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，解得.故选：D2．（2023全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（）A． B．－C． D．－【答案】C【解析】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率，，∴，把代入得，原式.故选：C．3．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（

）A．的倾斜角为，的斜率为B．的斜率为，经过点，C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的方向向量为【答案】BCD【解析】对A，，，，所以A不正确；对B，，，故B正确；对C，，，，故C正确；对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.故选：BCD4．（22-23高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直：(1)的倾斜角为，经过，两点；(2)的斜率为，经过，两点；(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.【答案】(1)(2)与不垂直(3)【解析】（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为.因为经过，两点，所以的斜率为.因为，所以.（2）因为经过，两点，所以的斜率为.因为的斜率为，且，所以与不垂直.（3）记的斜率为，因为，所以，解得或.因为为锐角，所以.因为的斜率为，且，所以.知识点五斜率的应用【例5-1】．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形.【答案】证明见解析【解析】，，且不在一条直线上，则直线与直线平行，且，则四边形是梯形.【例5-2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【答案】平行四边形，证明见解析.【解析】由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.因为，，所以，.因此四边形是平行四边形.【变式】1．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．试判断四边形的形状，并给出证明.【答案】直角梯形；证明见解析．【解析】由已知可判断四边形是直角梯形，证明如下：因为，，，．由斜率公式得，，，，所以，，即且不平行，所以四边形是梯形，又因为，所以，综上，四边形是直角梯形；2．（2024上海）已知，，.（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.【解析】（1）由题意得，，，设.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.（2）若的坐标为（-1，6），因为，，所以，所以，所以平行四边形为菱形.若的坐标为（7，2），因为，，所以，所以平行四边形不是菱形.若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，．(1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值．(2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值．(3)若为直角三角形，如何求解的值？【答案】(1)；(2)或；(3)或或【解析】（1）因为为直角顶点，所以，由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得．（2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点．若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得；若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得．综上可知，或．（3）若为直角顶点，由（1）知；若为直角顶点，由（2）知；若为直角顶点，由（2）知．综上可知，或或．【题组一直线的倾斜角与斜率】1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，.故选：D2．（2023·山东济宁·高二期中）直线的倾斜角为，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】直线的斜率为.故选：A.3．（2024·湖北·高二阶段练习）直线绕原点顺时针旋转后所对应的直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直线可得，所以该直线的斜率为，设倾斜角为，则，因为，所以，所以绕原点顺时针旋转后所对应的直线的倾斜角为，所以斜率为．故选：C.4（2023·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.【答案】【解析】因直线的倾斜角为，则其斜率，又由，，则的斜率，则有．故答案为：.5．（2023·江苏·高二课时练习）分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角；(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)1，；(2)，；(3)0，0；(4)－1，.【解析】(1)斜率，倾斜角为，故，故；(2)斜率，倾斜角为，故，故；(3)斜率，倾斜角为，故，故；(4)斜率，倾斜角为，故，故；【题组二直线的倾斜角与斜率的范围】1．（22-23高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【解析】依题意，直线的斜率分别为，如图所示：若直线过点且与线段相交，则的斜率满足或，即的斜率的取值范围是或.故选：B2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞)C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞)【答案】D【解析】根据题意，作出图形如下图：直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是.故选：D.3．（2014高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为，直线的斜率，此时倾斜角为；直线的斜率不存在，此时倾斜角为；所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.4．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负，当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为；当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正，当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为；当公共点在O点时，直线l的斜率不存在.综上，直线l的斜率的取值范围是.故选：C

5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为，直线l的斜率的取值范围为．【答案】【解析】如图所示：由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为，由直线与线段相交，可得的范围是；由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角故答案为：；.6．（2024高三·全国·专题练习）直线（a2＋1）x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是．【答案】[，]【解析】由题意知，若a＝0，则倾斜角为θ＝，若a≠0，则斜率k＝＝＋.①当a>0时，＋≥2＝1（当且仅当a＝1时，取“＝”），②当a<0时，－（＋）≤－2＝－1（当且仅当a＝－1时，取“＝”），k∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），故θ∈[，）∪（，].综上，倾斜角的取值范围为[，].7．（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．【答案】【解析】，，如图所示：∵与线段相交，由题意设直线的斜率为，∴，∴，∴或．由于在及上均单调递增，∴直线的倾斜角的范围为．故答案为：.【题组三两条直线位置关系之平行】1．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C【解析】直线：与直线：平行，则，解得或，当时，此时直线：与直线：平行，当时，此时直线：与直线：平行，故或故选：C2．（23-24高二下·北京怀柔·开学考试）已知直线：，：若，则实数（

）A．或 B． C． D．与【答案】C【解析】，，解得：或.当时，直线：，直线：，两直线重合；当时，经检验，满足题意；综上，.故选：C3．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（

）A． B． C．1 D．0【答案】C【解析】由于无解，则表示两直线无交点，故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意，故选：C4．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）下列各组直线中与一定平行的是（

）A．经过点，经过点B．经过点，经过点C．的倾斜角为，经过点D．平行于轴，经过点【答案】AD【解析】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合，又，故，A选项正确；对于B．由题意知，所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误；对于C．由题意知，，所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误；对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以，D选项正确．故选：AD5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则【答案】2【解析】由，可得，所以直线的斜率为，所以的斜率存在，且为由两直线平行，可得，解得或，经检验，，两直线重合，符合题意.故答案为：2.6．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)平行于y轴，经过点，；(3)经过点，，经过点，．【答案】(1)不平行(2)平行(3)重合【解析】（1）因为，，即，所以与不平行．（2）由题意可知恰好与y轴重合，所以．（3）由题意可知，，即，所以与平行或重合．又因为，可知E，F，G，H四点共线，所以与重合．7．（22-23高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【解析】（1），，，不共线，因此与平行．（2），，又两直线不重合，直线与平行，（3）直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；（4）,，直线与不平行，【题组四两条直线位置关系之垂直】1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】当时，，即，则，即；当时，，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为.【答案】/0.25【解析】因为，即，当且仅当时取等号，，即的最大值为.故答案为：.3．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直．(1)的斜率为，经过点，；(2)经过点，，经过点，；(3)经过点，，经过点，．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）设直线，的斜率分别