重庆市高2025届高三第一次质量检测 数学试卷（含答案）

后附原卷扫描版重庆市高2025后附原卷扫描版数学试题2024.8命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。公众号雾都资料库一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若集合A={-1,0,1,2,3,4},B={x|x²∈A},则A∩B=A.{0,1}B.{-1,0,1}C{0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.“x>0”是x+1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数y=2ˣ⁻¹与y=2¹⁻ˣ的图象A.关于y轴对称B.关于直线x=1对称C.关于直线x=-1对称D.关于直线x=2对称4.若函数.fx=x2+1A.[0,+∞)B.C.[1,+∞)D.[2,+∞)5.已知cosα+β=13,cosαA23B19C.-15.薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨HestonBlumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”(图1)，将油火过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.数学试题第1页(共4页)在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t(单位：min)满足函数关系.p=at²+bt+c(a、b、c是常数)，图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为A.2.25minB.2.75minC.3.25minD.3.75min7.已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为.f'x,f1=0,当x<0时,f'x<fxxA.(-1,0)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(0,1)8.已知a>e²,b>0,c>0,当x≥0时,ex-axA.19B.e327二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知x>y>0,且x+y=1,则A.|x-1|+|y-1|=1B.C.4ˣ+4ʸ>4D.10.关于函数.fxA.图象关于直线x=π4对称B.图象关于直线C.最小正周期为2πD.最大值为411.若函数.fx=x³-3x²+ax+b有三个零点x₁，x₂，A.a>3B.C.若x₁,x₂,x₃成等差数列,则a+b=2x1,x2,I3D.若x₁,x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若x>0,y>0,且log2x=log13.函数.fx=|x³-1|+x²的值域为14.若函数.fx=|eˣ-a|-alnx·有两个零点，则实数a的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a(1)求A;(2)若.△ABC的面积为3,,周长为8,求a16.(15分)广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里.自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类.为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据xiyii=12⋯5i12345xi0.1710.1520.1920.1890.196yi1210161418(1)求广阳岛这种鸟数量的估计值(这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本xiyii=12(3)根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大.为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数17.(15分)已知函数fxます(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥1时，fx≥-2a-4恒成立，求18.(17分)已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆C的方程；(2)若点Mx₁y₁,Nx₂y₂在椭圆C上，且∠MFN=90°,，过M，N分别作椭圆C的切线l₁,l₂,l₁与(i)求点Q的轨迹方程;(1)求△PQF周长的最小值.19.(17分)已知O为坐标原点，点Ax₁y₁,Bx₂y₂分别在曲线C₁:y=aˣa0且a≠1)和曲线C₂:y=logₐxa0且a≠1)上，(1)若x₁=1,求a;(2)证明:当a>e18时，重庆市高2025届高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项DCBCCCABACDBCDBC一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D【解析】B={-2,3₃,2₂,-1,0,12₂3₃,2},A∩B={-1,0,1,2},选D2.C【解析】若x>0则x+1x≥2x⋅1x=2,若x+1x≥2则x>03.B【解析】设fx=2ˣ⁻¹,gx=2¹⁻ˣ,显然gx=2⁽²⁻ˣ⁾⁻¹=f2-x,故y=f(x)与y=g(4.C【解析lx=xx2+1-a,由题知f'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,即a≥xx2+1在[0,+∞)上恒成立,x=0时,(a≥0,x5.C【解析】由cosαcosβ-sinαsinβ=16.C【解析】由图2知4a+2b+c=509a+3b+c=8016a+4b+c=70,解得a=-20,b=130,c=-130,故t7.A【解析】x<0时,f'x⋅x-fxx2>0即fxx'>0,∴gx=fxx在((﹣∞,0)上单增,又f(x)为奇函数，.gx=fxx为偶函数,∴g(x)在(0,+∞)上单减,g(1)=f(1)=0,故g(-1)=g(1)=0,所以x<-1或x>1时g(x)<0,-1<x<1时g(x)>0,当x>1时,(x-1)·f(x)>0⇔f(x)>0⇔g(x)>0,x∈∅;当x<1时,(x-1)·f(x)>0⇔f(x)<0,若0<x<1则g(x)<0,x∈∅,若x<0则g(x)>0,-1<x<0,若x=0则f(0数学试题参考答案第1页(共6页)8.B【解析】x=0时不等式显然成立,x>0时即exx-ax2-bx+c≥0恒成立，设fx=exx-a,gx=x2-bx+c,则f'x=exx-1x2,∴f(x)在(0,1)上单减,在(1+∞上单增，f1=e-a<0,x→0时f(x)→+∞,x→+∞时f(x)→+∞,故f(x)在(0+∞上有两个零点，记为x₁,x₂(x₁<x₂),,显然x<x₁或x>x₂时.fx>0,x₁<x<x₂时fx<0,要使f(x)·g(x)≥二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.ACD【解析】显然0<y<12<x<1,故|x-1|+|y-1|=1-x+1-γ=1因为0<yx<1,故由浓度不等式知∵4*>0,4³>0且4ˣ≠4ʸ,，故由均值不等式知4x+x2+410.BCD【解析】fπ2f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x)=cosxsin2x=f(x),B正确;f(x+2π)=cos(x+2π)sin(2x+4π)=cosxsin2x=f(x),故2π是f(x)的周期,设正数T为f(x)的周期,则f(x+T)=f(x)恒成立,fT=f0⇒cosTsin2T=0⇒T=kπ2(k∈N*),ff(x)周期为2π且f(x)的图象关于x=π2对称，故f(x)的最大值即f(x)在-π2π2上的最大值，f'x=2cosx1-3sin²x,设sinx0=33(0<x0<π2),则.f(x数学试题参考答案第2页(共6页)11.BC【解析】f'x=3x²-6x+a,f(x)有三个零点，则f(x)至少有三个单调区间，故.f'x=0有两个不等实根，Δ=36-12a>0,|即fx=x-x₁∴f'x₁∴=x2x³-3x²+ax+b=x-x₁x-x₂x-x₃=x³-x₁+x₂+x₃x²+x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃x、x₁+x₂+x₃=3,x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=a,x₁x₂x₃=-l,若x₁,x₂,x₃成等差数列,则,x₁+x₃=2,x₂=1,a=2+x₁x₃=2-b即a+b=2,C正确;若x₁,x₂,x₃成等比数列,则.x1x3=x22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1【解析】令log2x=log5y=lg13.[1,+∞)【解析】fx=x3+x2-1,x≥1,-x3+x2+1,x<1.时f(x)显然单增，故fx∈1+∞;x<1时f'(x)=x(2-3x),f(x)在(-∞,0)和|231上单减，在(023上单增,x→-∞时f(14.a>e【解析】当a=0时,.fx当a<0时,fx=eˣ-a-alnx,在(0,+∞)上单增,f(设g当0<a≤e时,g(x)与h(x)的图象大致如图1所示,0<x<1时gx≥0,hx<0,，二者无交点，当x≥1时fx=ex-a-alnx,f'x=ex-ax单增，f'(x)≥f'(1)=e-a≥0,f(x)在[1+∞上单增，fx综上,a>e.数学试题参考答案第3页(共6页)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)解：(1)由正弦定理可得：a2=b-c2b+∴cosA=b∴A=π3……(2)由SABC=12bcsinA=∴a²=b²+c²-bc=又a+b+c=8,∴a²=8-a²-12,,……………解得a=134.16.(15分)解：(1)由已知得样本平均数y=12+10+16+14+185从而广阳岛这种鸟数量的估计值为14×50=700.………………5分2≧(xi-x)(yi-y)=0.009×2+0.028×4+0.012×2+0.016×4=0.218,…8分故样本的相关系数r≈0.2180.232≈0.94(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样.理由如下：由(2)知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计.…………………………15分17.(15分)解：1f'x①若a≤0,x﹣a>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.②若0<a<1,当x∈(0,a)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(a,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.③若a=1,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.④若a>1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.……………………6分数学试题参考答案第4页(共6页)

(2)由(1)知:当a≤1时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,故.fxₘᵢₙ=f1=1-a,∴1-a≥-2a-4,解得a≥-5∴-5≤a≤当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故f∴a-(a+1)lna-1≥-2a-4,即3(a+1)-(a+1)lna≥0,3-lna≥0,解得a≤e³,∴1<a≤e³;14分综上，a∈-5e³……18.(17分)解：(1)由题意得，直线PF的方程为y-2=2当y=0时,x=-2,故c=2.由4a2+2a2-4∴椭圆C的方程x28+(2)(i)设直线MN:x=my+t,Q(x₀,y₀),M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)与C联立，x=my+t∴y1+由∠NHFN=90∘面γ⇔(m²+1)(t²-8)-2m²t(t+2)+(t+2)²(2+m²)=0化简可得：3t²+8t-4m²=0.①…………………8分设l₁的方程为.y-y₁=kx-x₁,即与C联立，令⋅Δ=16k²y₁-kx₁²-81+2k²解得k=-x12即直线l₁方程为；x1x8同理可得l₂方程为：x由Q在直线l₁,l₂上,则x1x08+y1y04=1x2x08∴直线MN方程为：x