北师大版七年级数学上册讲义-有理数的乘法与除法7类热点题型讲练（解析版）

第05讲有理数的乘法与除法

学习目标

1.掌握有理数的乘法和除法法则；

2.掌握有理数的乘法运算规律；

3.掌握乘法几类常见的能够运用简便运算的题型;

4.掌握有理数乘法和除法的应用.

思维导图

确定乘积符号

有理数除法法则

知识点01有理数的乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

(2)任何数同0相乘，都得0.

(3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇

数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.

【注意］：①0没有倒数;②倒数等于它本身的数有1和-1.

知识点02有理数的乘法运算律

(1)乘法交换律：ab=ba；

(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)；

(3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.

知识点03确定乘积符号

(1)若QVO,b>0,则。6<0；

(2)若QVO,b<0,则。6>0；

(3)若ab>0,贝!j“、b；

(4)若ab<0,贝！Ja、b；

(5)若必=0,则q、b中至少有一个数为0.

【答案】同号；异号

知识点04有理数除法法则

♦除以一个不为o的数，等于乘以这个数的.

♦两数相除(被除数不为0),同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.

【答案】倒数

题型精讲

题型01两个有理数的乘法运算

【典例】(2023•山西•统考中考真题)计算(-l)x(-3)的结果为().

A.3B.-C.-3D.-4

3

【答案】A

【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可.

【详解】解:(-1)x(-3)=3.

故选

【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握"同号得正、异号得负"的规律是解答本题的关键.

【变式1](2023•江苏•七年级假期作业)计算(-2)x5的结果是()

A.10B.5C.-5D.-10

【答案】D

【分析】根据有理数的乘方运算法则直接求出即可.

【详解】解：(-2)x5=-10.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了有理数乘法运算，正确把握运算法则是解题关键.

【变式2](2022秋•海南省直辖县级单位•七年级校考期中)下列计算不正确的是()

A.-1.5x(-3)=4.5B.(-1.2)x(-7)=-8.4

C.-8x(-1.3)=10.4D.0x(-1.6)=0

【答案】B

【分析】根据有理数的乘法法则分别判断即可.

【详解】解：4、-1.5x(-3)=4.5,故正确，不合题意；

B、(-1.2)x(-7)=8.4,故错误,符合题意；

C、-8x(-1.3)=10.4,故正确，不合题意；

D、0x(-1.6)=0,故正确，不合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握计算法则是解题关键.

题型02多个有理数的乘法运算

【典例】(2023•全国•七年级假期作业)计算：

3，4、751

(l)yxl--lx-x-(2)(-4)x-x(-25)x(-6)

【答案】⑴-:

O

(2)-200

【分析】(1)根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解.

(2)根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解.

［详解］(1)解：-X(--)X—x-=(-x—)x(--x-)=1x(--)=--.

7512871258428

(2)解：(-4)x|x(-25)x(-6)=-4x25x|x6=-100x2=-200.

【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分数,

熟练掌握乘法计算法则是解题的关键.

【变式1］(2023•全国•七年级假期作业)计算：.

【答案】［

【分析】根据乘法交换律计算即可.

【详解】解《-扑卜部

6

13

【点睛】本题考查有理数的乘法运算.掌握有理数的乘法运算法则是解题关键.

【变式2](2023•全国•九年级专题练习)计算：

(1)(-3)X1-xf-f-；(2)(-5)x6xf-.

9

【答案】(1)(2)6

O

【分析】根据有理数乘法法则"多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为

负；当负因数个数是偶数时，结果为正”.

【详解】解：(1)(-3)x/-0<[T=_3x|xgx*'

(4A141

(2)(-5)x6x——x—=5x6x—x—=6.

I5J454

【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则〃多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负

因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正〃.

题型03倒数

【典例】(2023•江苏镇江・统考二模)盛的倒数等于.

【答案】2023

【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案.

【详解】解：击的倒数是2023.

故答案为：2023.

【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义.

【变式1](2023春•上海普陀•六年级统考期末)-3的倒数是.

【答案】

【分析】根据倒数的定义可直接解答.

【详解】-3的倒数是-;，

故答案为：

【点睛】本题考查了倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，准确掌握知识点是解题的关键.

a

【变式2】（2023春,上海宝山•六年级校考期中）-4；的倒数是.

【答案】一《7

【分析】根据倒数的定义即可完成.

331

【详解】解：-4y=-y,

.♦•-43"的倒数是-（7，

,,7

故答案为：一万.

【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.

题型04有理数乘法运算律

【典例】（2023•全国•七年级假期作业）用简便算法计算：1xl75+（-25）x0.125-|^-^x50

【答案】25

【分析】将0.125改写为:，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可.

O

【详解】解：原式=9175+（-25）x：+：x50

OOO

【点睛】本题考查乘法分配律.熟练掌握乘法分配律是解题的关键.

【变式］（春•上海静安六年级上海市回民中学校考期中）

12023♦T3

【答案】m

【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果.

1

"13,

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键.

【变式2](2023•浙江•七年级假期作业)计算：

⑵T9

⑶。

【分析】(1)根据有理数的乘法进行计算即可求解；

(2)根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；

(3)根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解.

【详解】(1)解/-7(-2力。**9=>

(2)解：^|-^-+2-y^x(-36)

7511

=,*(-36)一正义(-36)+2*(-36)-石*(-36)

--28+15-72+66

--100+81

=-19

(3)解:

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键.

题型05有理数乘法的实际应用

【典例】(2023・浙江•七年级假期作业)现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示,

不足的部分用负数来表示，记录如下表

标准质量的差(单位：千克)-2-1.5-1022.53

箱数1322241

请解答下列问题：

⑴这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重_千克.

⑵与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？

⑶若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？

【答案】⑴最重的一箱比最轻的一箱重5千克.

⑵与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克.

⑶这15箱苹果全部售出共可获利3068元.

【分析】(1)从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到；

(2)用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；

(3)用单价乘以总质量，即可得到答案.

【详解】(1)解：3-(-2)=5(千克)，

答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克.

(2)解：-2+(-1.5x3)+(-1x2)+Ox2+2x2+2.5x4+3x1=8.5(千克)，

答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克.

(3)解：25x15+8.5=383.5(千克)，

383.5x8=3068(元)，

答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键.

【变式1](2023春•黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨德强学校校考期中)某仓库将运进货物记为正，运出货物

记为负，一周进出数的记录如下表(单位：吨)

星期一星期一星期三星期四星期五星期六星期日合计

+26-16+42-30-25-9+6

表中星期五的进出数被墨水涂污了.

⑴请你算出星期五的进出数；

⑵如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？

【答案】⑴星期五的进出数为+18吨

⑵1160元

【分析】(1)用这周进出数之和+6减去除星期五的进出数，即可得；

(2)先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得.

【详解】⑴解:周五的进出数为+6—(+26)—(—16)—(M2)—(—30)—(—25)—(-9)

=6—26+16—42+30+25+9=+18(吨)，

答：星期五的进出数为+18吨.

（2）解：这一周的装卸费为：（26+16+42+30+18+25+9）x10=1660（元）.

【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点.

【变式2］（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下

午的运营是在一条东西走向的大道上.如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米）+15,

-3,+14,—11,+10,—18,+14

⑴将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？

⑵离开下午出发点最远时是千米；

⑶若汽车的耗油量为0.15升/千米，油价为9.6元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？

【答案】（1）将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边

（2）26

（3）122.4%

【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，

反之在西边；

（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；

（3）耗油量=每千米的耗油量x总路程，总路程为所走路程的绝对值的和.

【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离+15+（-3）+14+（-11）+10+（-18）+14=+21（千米）.

答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；

（2）解:当行程为+15千米时离开下午出发点15千米；

当行程为-3千米时离开下午出发点（+15）+（-3）=12（千米）；

当行程为+14千米时离开下午出发点12+14=26（千米）；

当行程为-11千米时离开下午出发点26+（71）=15（千米）；

当行程为+10千米时离开下午出发点15+10=25（千米）；

当行程为-18千米时离开下午出发点25+（-18）=7（千米）；

当行程为+14千米时离开下午出发点7+14=21（千米）；

26>25>21>15>12>7,

离开下午出发点最远时是26千米，

答：离开下午出发点最远时是26千米；

（3）解：•••这天下午小李所走路程

=|+15|+|-3|+|+14|+|-11|+卜10|+卜18叶14|

=15+3+14+11+10+18+14

=85（千米），

二这天下午共需付油钱=85x0.15x9.6=122.4（元），

答：这天下午共需支付122.4元油钱.

【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和.

题型06有理数的除法运算

【典例】（2023・浙江•七年级假期作业）计算：1+\口=.

【答案】-3

【分析】根据有理数的除法，求解即可.

【详解】解：1+［-£|=一3,

故答案为：-3

【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则.

【变式1］（2023•全国•九年级专题练习）计算：（+：）+（-15）=.

【答案】V

【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值.

【详解】解：（+：）+（-15）=1（一

故答案为：.

【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则.

【变式2］（2023春•上海・六年级专题练习）计算：-3^（-1）=—.

【答案】羡9

【分析】两个负数相除，结果为正，再利用除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可.

.39

【详解】解：原式=-3x（-

9

故答案为：—.

【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

题型07有理数的乘除混合运算

【典例】（2023•江苏•七年级假期作业）计算:

⑵

⑶24«2）；包

【答案】⑴g

⑵-2

⑶10

【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算

即可；

（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；

（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可.

【详解】（1）解：,3卜,£|=:'1=；；

(2)解：(-32)-^4x-=(-32)x-x-=-32x-x-=-2；

44444

(3)解：24+(—2)=24xRrHr244xr10

【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键.

【变式1］（2023•全国•七年级假期作业）计算：

（1）（-8）X（-6）X（-1.25）X1;⑵（一81）+2丁：+（一8）.

【答案】⑴-20

⑵-2

【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；

（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解：(-8)x(-6)x(-1.25)x1=-8xl.25x6x1=-10x2=-20；

441

(2)解:X=-81x-x-x-=-2.

998

【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算.

【变式2］（2023•全国•七年级假期作业）计算:

33

⑴一3+（一丁一⑵(一12)+(-4)+

27

(3)(——)x(——)-0.25；(4)(-2-)+(-5)x(-3-).

3823

【答案】⑴-g

【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案;

（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；

（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；

（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案.

【详解】⑴原一式=-3x（_；4）x（_：4）=-拳16

（2）原式=（-12）x（-J）x（-3）=-：；

462

（3）原式=（T）x（_.x4=g；

（4）原式

【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键.

强化训练

一、选择题

1.（2023•山西晋城•校联考模拟预测）计算的结果为（）

A.-6B.-1C.1D.6

【答案】A

【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可求解.

【详解】解：原式=-2x3=-6.

故选：A.

【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知除法运算法则.

2.（2023•广东深圳•深圳市石岩公学校考模拟预测）下列互为倒数是（）

A.；和—B.—和—2C.；和—2D.一二和;

222222

【答案】B

【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：4•[-.♦.:和-;不互为倒数，不符合题意；

B、-j1x(-2)=l,.•.41和-2互为倒数，符合题意；

C、9和;x(-2)=7,■和一2不互为倒数，不符合题意；

•一;x!=；x：=1,.J和g不互为倒数，不符合题意;

乙乙乙乙I,乙

故选：B.

【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键.

3.(2023・全国•七年级假期作业)计算(-1)+(-5)x(-g)的结果是()

【答案】A

【分析】根据有理数乘除运算法则直接求解即可得到答案.

【详解】解：(T)X-5)x(-与

一天，

故选：A.

【点睛】本题考查有理数乘除运算，熟记有理数乘除运算法则是解决问题的关键.

4.(2023•浙江•七年级假期作业)下列各式中，计算结果为负数的是()

A.(—3)x(—4)x6.2B.|—3|x|—4|x^—5.5)x(—3)

C.(-13)x(-40)x(-99.8)D.(-15)x|-87|x0

【答案】C

【分析】根据两个以上有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数个数为偶数时，积为正，负因

数个数为奇数时，积为负.任何数与0的积为0.

【详解】/选项：(-3)x(y)x6.2中负因数个数为2,积为正，不符合题意，

8选项：卜3冈-4卜(-5.5)x(-3)中负因数个数为2,积为正，不符合题意，

C选项：（-13）X（T0）X（-99.8）中负因数个数为3,积为负，符合题意，

。选项：（-15）x|-87|x0=0,不符合题意，

故选C.

【点睛】本题主要考查有理数的乘法的符号规律，解决本题的关键是要熟练掌握有理数乘法法则.

5.（2023秋•七年级单元测试）如果。，b,c是非零有理数，那么多+金+三+隐的所有可能的

值为（）.

A.-4,-4,0,2,4B.-4,-2,2,4C.0D.-4,0,4

【答案】D

【分析】由题意分情况讨论：①。，6,c均是正数；②a,b,c均是负数；③°,6,c中有一个正数，两

个负数；@a,b,c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果.

【详解】解:①a,b,c均是正数，原式=刍+-+-+—=1+1+1+1=4；

abcabc

②。，b,。均是负数，原式=g+二+工+=-1-1-1=-4；

-a-b-c-abc

③a,b,c中有两个负数，一个正数，原式=巳+-+-+—=-1+1-1+1=0；

abcabc

@a,b,c中有两个正数，一个负数，原式=刍+-+-+—=-1+1-1+1=0.

abcabc

所有可能的值为一4,0,4.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解.

二、填空题

2

6.（2023春・上海松江•六年级统考期中）-的倒数是

3

【答案】

【分析】将带分数化为假分数，根据倒数的定义即可求解.

25

【详解】解：=

33

・•・-1（2的倒数是一g3,

3

故答案为：—-.

【点睛】本题主要考查倒数的定义，掌握求一个数的倒数的方法是解题的关键.

7.（2023春•黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）计算：-6♦的结果为.

23----------

Q

【答案】

【分析】按照运算顺序依次计算即可.

【详解】-6+；3x；2

23

__8

--3

Q

故答案为：-§.

【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是计算的关键.

8.（2023・全国•七年级假期作业）在-2,3,-4,12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是

【答案】-6

【分析】取异号两数相除，商绝对值较大.

【详解】解：根据题意得，

商最小的是：12+（-2）=-6.

故答案为：-6.

【点睛】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键.

9.（2023•浙江•七年级假期作业）若规定=试求（2A7）A4的值_____________.

71

【答案】-/3.5/3-

22

【分析】根据为。的倒数的相反数除以6的一半计算即可.

【详解】解：=

（2A7）A4

7

2

故答案为：g7

【点睛】本题考查了新定义，有理数的除法运算，解题的关键是理解题意，根据新定义进行运算.

10.（2023秋•福建泉州•七年级统考期末）单项式.是一个正数，且回+回+目=-1,那么

abc

囱+园+图+四的值为

abbeacabc

【答案】o

【分析】由已知推出从C都是负数，据此去绝对值符号，即可求解.

【详解】解：：单项式a是一个正数，且回+回+且=-1,

abc

・・力、c都是负数,

ab<0,bc>0,ac<0fabc>0,

.M+M+H+W=_1+1_1+1=O）

abbeacabc

故答案为：0.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到6、c都是负数是解答本题的关键.

三、解答题

11.（2023秋•全国•七年级专题练习）计算：

2Q119

（l）-0.75-r2.5x（-ly）⑵记+㈠务）、五

【答案】⑴g

⑵-£

64

【分析】（1）先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则求出即可.

（2）先把带分数化成假分数，再把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则求出即可.

3553251

［详解］(1)原式==5

/、9,3、199,2、1931919

(2)原式=一+(一一6一=一x(一一)x一=一一x一=——

162241632482464

【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法运算法则，正确理解其运算法则是解题的关键.

12.（2023・全国•九年级专题练习）计算

74

(1)-20+(-5)-(-18)(2)49H--X+(-16)

H_73_J3(4)(—199||卜5

(3)12-6+4-24x（Y8）

【答案】⑴-7

(2)1

(3)2

4

(4)-999y

【详解】(1)尚军：—20+(—5)—(—18)=—20—5+18=—7；

(2)角军：494--xf——16)=49x—xf——j4-(—16)—28x1—16)—(—16)+(—16)=1；

H__73_J3

(3)解:12-6+4-24x(Y8)

117313

二——x(-48)--x(-48)+-x(-48)--x(-48)=-44+56-36+26=2；

12

(4)解：-199-1x5-I--200|x5=—x5-200x5=--1000=-999-.

I25)(25J2555

【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律、两个有理数的

乘法运算.掌握各运算法则是解题关键.

13.(2023•全国•七年级假期作业)计算:

⑴(-3)+]T"X0.75+1-1)X(_6)；

⑵-5

(3)54

【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案.

7

-x6=18；

3

9

=48x-=54.

8

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键.

14.(2023•浙江•七年级假期作业)阅读下面的解题过程:

计算：(-15)m3jx6

解：原式=(-15)+1-昂卜6第一步

=(一15)+(-25)第二步

3

=4第三步

解答下列问题：

⑴上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第步，第二处错误是步.

⑵写出正确求解原式的计算过程.

【答案】⑴二；三

⑵见解析

【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则，从左往右，进行计算；

（2）先通分，计算小括号的，然后从左往右依次计算，即可.

【详解】（1）;•乘除运算属于同级运算，同级运算中，从左往右，进行计算

.••第二步应该先计算（-15）+1注],化除法为乘法：（-15）x[-

第二步计算错误；

•.•同号为正，负负为正

.••去括号