2019-2020学年新教材高中物理第三章相互作用-力5共点力的平衡练习含解析新人教版必修第一册

PAGE20-5.共点力的平衡1．理解共点力作用下物体处于平衡状态的含义以及物体在共点力作用下平衡的条件。2．会用共点力平衡的条件解决有关共点力的平衡问题。一、共点力1．定义：几个力如果都作用在物体的eq\o(□,\s\up4(01))同一点，或者它们的eq\o(□,\s\up4(02))作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。2．力的合成和分解的平行四边形定则，只适用于eq\o(□,\s\up4(03))共点力。二、共点力平衡的条件1．平衡状态物体在力的作用下保持的eq\o(□,\s\up4(01))静止或eq\o(□,\s\up4(02))匀速直线运动状态。2．共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是eq\o(□,\s\up4(03))合力为0。判一判(1)共点力一定作用于物体上的同一点。()(2)共点力一定作用于同一物体上。()(3)作用于同一物体上的所有的力都是共点力。()(4)平直道路上高速匀速行驶的赛车处于平衡状态。()(5)百米竞赛中，运动员在起跑时速度为零的瞬间处于平衡状态。()(6)合力保持恒定的物体处于平衡状态。()提示：(1)×共点力不一定作用于物体上的同一点，也可能是共点力的作用线交于一点。(2)√共点力一定作用于同一物体上。(3)×作用于同一物体上的力不一定是共点力，也可能是平行力。(4)√赛车沿平直道路高速匀速行驶，合力为零，故赛车处于平衡状态。(5)×运动员起跑瞬间虽然速度为零，但具有加速度，不处于平衡状态。(6)×当合力恒定且不为零时，物体的速度会发生变化，物体不处于平衡状态。想一想当物体的速度为零时，是否一定处于平衡状态？提示：不一定，如物体做自由落体运动的初始时刻速度为零，但合外力不为零，物体没有处于平衡状态。课堂任务共点力及共点力的平衡条件仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如图所示，重力为G的木棒处于平衡状态，根据每幅图中各个力作用线的几何关系，你能把这四种情况的受力分为哪两类？提示：甲图和丁图中力的作用线能交于一点，乙图和丙图中力的作用线不能交于一点。活动2：如果物体保持静止或匀速直线运动状态，我们就说物体处于平衡状态。二力平衡的条件是什么？提示：初中我们学过，作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一直线上，这两个力平衡。即二力平衡时，物体所受的合力为0。活动3：我们把类似于甲图、丁图中的一组力叫作共点力。根据上述活动以及力的合成，以甲图或丁图为例，试分析受多个共点力作用的物体，在什么条件下才能保持平衡呢？提示：如果物体受到多个共点力作用，我们可以通过力的合成，最终等效为两个力作用，例如可以先将甲图或丁图中的F1和F2合成为F，则木棒等效于受F和G两个力。如果这两个力的合力为0，则所有力的合力为0，物体将处于平衡状态。因此，在共点力作用下的物体处于平衡状态的条件是合力为0。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1．共点力与平衡状态(1)共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。(2)平衡状态：指物体保持静止状态或匀速直线运动状态。对静止状态的理解：静止与速度v＝0不是一回事。物体保持静止状态，说明v＝0，a＝0，两者同时成立。若仅是v＝0，a≠0，如自由下落开始时刻的物体，并非处于静止状态。2．共点力平衡的条件：合力为0。数学表达式有两种：①F合＝0；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx合＝0，,Fy合＝0。))Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力。3．共点力平衡的几种常见类型(1)物体受两个力平衡时，这两个力等大反向共线，是一对平衡力。(2)物体受三个力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大反向共线。(3)物体受三个以上的力平衡时，其中任意一个力与另外几个力的合力等大反向共线。4．共点力平衡问题的常见处理方法方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反，作用线在同一直线上续表方法内容分解法物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件力的三角形法对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力例1在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。那么，风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(1)有风时金属球受哪几个力的作用？提示：有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT。(2)小球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是什么关系？提示：是平衡力，满足大小相等，方向相反且共线。(3)重力产生的作用效果是什么？提示：一是沿着金属丝向左下拉金属丝，二是沿着水平方向向右拉小球。[规范解答]取金属球为研究对象，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT，如图所示。这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零。可以根据合成法、分解法、正交分解法求解。解法一(合成法)：根据任意两力的合力与第三个力等大反向，如图甲所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtanθ。解法二(分解法)：重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图乙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtanθ。解法三(正交分解法)：以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丙所示。水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即Fx合＝FTsinθ－F＝0，Fy合＝FTcosθ－mg＝0，解得F＝mgtanθ。由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关。因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小。[完美答案]F＝mgtanθ1．处理平衡问题的“四步骤”2．正交分解法坐标轴方向的选取技巧(1)研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴；(2)研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴；(3)研究在杆或绳的作用下转动的物体时，通常沿杆或绳方向和垂直杆或绳的方向建立坐标轴。eq\a\vs4\al([变式训练1])如图所示，高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，使原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆的总重力的()A.eq\f(1,2) B.eq\f(cosθ,2)C.eq\f(1,2sinθ) D.eq\f(tanθ,2)答案C解析钢丝可抽象成绳子，表演者和平衡杆受到两个相等的拉力及重力的作用，钢丝与水平方向成θ角，由平衡条件可知2F·sinθ＝mg，所以eq\f(F,mg)＝eq\f(1,2sinθ)，C正确。课堂任务动态平衡问题仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。如图所示，物块A静止在一个倾角θ可变的斜面上，向右拉物块B时，倾角θ就会减小。活动1：如图，缓慢减小斜面的倾角θ，相对斜面静止的物块A能看成处于平衡状态吗？提示：物块A随着斜面缓慢转动，转动过程中的每一个状态都可以近似看成是平衡状态。活动2：物块A受到哪几个力的作用？方向各指向哪里？提示：物块A受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力和沿斜面向上的静摩擦力作用。活动3：物块A受到的重力G不变，受到的其他力用公式如何表示？你能判断出在物块A随斜面缓慢转动过程中，它们的大小如何变化吗？提示：物块A近似处于平衡状态，所以重力G和支持力N、静摩擦力f时刻平衡。将重力分解为垂直于斜面和沿斜面的分力，根据平衡条件，N＝Gcosθ，f＝Gsinθ，因为在这一过程中θ减小，所以支持力变大，静摩擦力变小。活动4：用矢量合成的几何方法如何分析出上述结果？提示：物块A近似处于平衡状态，合力为零，所以重力G、支持力N和静摩擦力f构成首尾相连的矢量三角形，且G的大小、方向不变，N和f保持垂直，画出力的矢量三角形如图所示。在矢量三角形的以G为直径的外接圆上，通过画动态图可知，随着θ减小，f减小，N增大。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(另外，也可以根据正弦定理列式得出：\f(G,sin90°)＝\f(f,sinθ)＝\f(N,sin90°－θ)))活动5：讨论、交流、展示，得出结论。缓慢变化中的每一个瞬间物体常常可视为处于平衡状态，但物体的受力情况可能发生变化，这时物体的受力分析就是动态平衡受力分析。常用的方法有如下几种：1．解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化。很多情况是通过三角函数分析力的变化情况，一般用于较简单的动态平衡受力分析问题。2．图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度、方向的变化判断各个力的变化情况。(1)平行四边形法①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。②原理：根据平行四边形定则，将大小、方向不变的力沿另两个力的反方向分解，根据物体处于平衡状态时合力为零，以及两个分力的大小、方向变化情况判断另两个力的大小、方向变化情况。(2)矢量三角形法①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变，或另两个力始终相互垂直。②原理：根据物体处于平衡状态时合力为零，将物体所受的三个力首尾相接，作在一个力的矢量三角形中，根据动态变化过程中，三角形中边的长度、方向的变化情况判断力的大小、方向的变化情况。(3)相似三角形法①特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向不变(通常是重力)，另外两个力的方向均发生变化，且三个力中没有两个力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形。②原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将表示三个力的有向线段首尾相连构成三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的特点，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。例2用绳OD悬挂一个重力为G的物体，O位于半圆形支架的圆心，绳OA、OB的悬点A、B在支架上。悬点A固定不动，结点O保持不动，开始时，OB水平，将悬点B从图中所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，分析绳OA和绳OB上拉力的大小变化情况。(1)结点O受哪几个力作用？提示：受绳子OD的拉力、绳子OA的拉力、绳子OB的拉力三个力作用。(2)结点O受到的力，各自有什么特点？提示：绳子OD对O点的拉力与物体的重力的大小相等，方向不变，即恒定不变，绳子OA的拉力方向不变，绳子OB的拉力方向变化。(3)我们可以用什么方法进行分析？提示：可以用平行四边形法或矢量三角形法进行分析。[规范解答]解法一(平行四边形法)：在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB上的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，由于绳子OD对O点的拉力TD＝G，结点O始终处于平衡状态，则将TD沿AO、BO方向分解，如图所示，分力的大小分别等于绳子OA、OB对O点的拉力大小，分力的方向分别与绳子OA、OB对O点的拉力方向相反，从图中可以直观地看出，TA＝TA′逐渐减小，且方向不变；而TB＝TB′先减小，后增大，且方向不断改变，当TB与TA垂直时，TB最小。解法二(矢量三角形法)：将表示O点所受三个力的有向线段首尾相接，构成的矢量三角形如图所示：将悬点B从图中所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OB上的拉力TB与水平方向的夹角α从0°逐渐增大到90°，根据矢量三角形图可知绳OA的拉力TA逐渐减小到0，绳OB上的拉力TB先减小后增大到TB＝TD＝G。[完美答案]绳OA的拉力逐渐减小绳OB的拉力先减小后增大求解动态平衡问题的思路eq\a\vs4\al([变式训练2])如图所示，小球A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小球A上，另一端跨过固定在大圆环最高点处的小滑轮B后吊着一个质量为m1的物块。如果小球、滑轮、细线的大小和质量以及所有摩擦都可以忽略不计，细线不可伸长，静止时弦AB所对应的圆心角为α，则两物块质量的比值eq\f(m1,m2)应为()A．coseq\f(α,2) B．sineq\f(α,2)C．2sineq\f(α,2) D．2coseq\f(α,2)答案C解析对小球A受力分析，如图所示，FT2与N的合力与FT1平衡，若将FT1、FT2、N首尾相接组成矢量三角形，则它与两半径OA、OB和弦AB形成的几何三角形相似，设圆环半径为R，则eq\f(FT2,R)＝eq\f(N,R)，FT2＝N，则有2FT2sineq\f(α,2)＝FT1，又FT2＝m2g，FT1＝m1g，解得eq\f(m1,m2)＝2sineq\f(α,2)，C正确。A组：合格性水平训练1．(平衡状态)若一个物体处于平衡状态，则此物体一定是()A．静止 B．匀速直线运动C．速度为零 D．各共点力的合力为零答案D解析一个物体处于平衡状态，可能处于静止状态或匀速直线运动状态，A、B错误；一个物体处于平衡状态，速度不一定为零，共点力的合力一定为零，C错误，D正确。2．(静态平衡)如图所示，一件重量为G的衣服悬挂在等腰衣架上。已知衣架顶角θ＝120°，底边水平，不计摩擦，则衣架一侧对衣服的作用力大小为()A.eq\f(\r(3),3)G B.eq\f(\r(2),3)GC.eq\f(G,2) D.G答案A解析选取衣服作为研究对象，受到重力G和衣架两侧对衣服的弹力，弹力方向与衣架侧边垂直，根据几何关系可知两个弹力与竖直方向的夹角均为30°，衣服处于静止状态，所受的合力为零，则2Fcos30°＝G，解得F＝eq\f(\r(3),3)G，A正确。3．(静态平衡)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为()A.eq\f(\r(3),2)mg，eq\f(1,2)mg B.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),2)mgC.eq\f(\r(3),4)mg，eq\f(1,2)mg D.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),4)mg答案A解析设ac绳中的拉力为F1，bc绳中的拉力为F2，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，并将F1和F2进行正交分解，则对三根绳的结点有水平方向：F1sin30°＝F2sin60°；竖直方向：F1cos30°＋F2cos60°＝F，又竖直绳上的拉力F＝mg，由以上三式可得F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝eq\f(1,2)mg，故A正确。4．(静态平衡)如图所示，用三根轻绳将A、B两小球以及水平天花板上的固定点O两两连接。然后用一水平方向的力F作用于A球上，此时三根轻绳均处于伸直状态，且点O和B球间的轻绳恰好处于竖直方向，两球均处于静止状态。已知三根轻绳的长度之比l1∶l2∶l3＝3∶4∶5，两球质量关系为mA＝2mB＝2m，则下列说法正确的是()A．点O和B球间轻绳的拉力大小为2mgB．点O和A球间轻绳的拉力大小为eq\f(10mg,3)C．F的大小为eq\f(4mg,3)D．A、B两球间轻绳的拉力大小为mg答案B解析首先由平衡条件判定B球不受A、B两球间轻绳的作用力，即A、B两球间轻绳无拉力，否则B球无法平衡，TOB＝mBg＝mg，TAB＝0，A、D错误。隔离A球分析，A球受三个力作用而处于平衡状态，这三个力能组成一个矢量三角形，如图所示，F＝mAgtanθ＝eq\f(8mg,3)，TOAcosθ＝mAg，得TOA＝eq\f(10mg,3)，B正确，C错误。5．(综合)如图所示，放在水平地面上的物块，受到一个与水平方向成α角斜向下方的力F的作用，该物块恰好在水平地面上做匀速直线运动。如果保持该推力F的大小不变，而使力F与水平方向的夹角α变小，那么，地面受到的压力N和物块受到的摩擦力f的变化情况是()A．N变小，f变大 B．N变大，f变小C．N变大，f变大 D．N变小，f变小答案D解析对物块受力分析，如图所示，物块受推力、重力、支持力和滑动摩擦力。根据共点力的平衡条件及作用力和反作用力的关系，有N＝N′＝G＋Fsinα，f＝μN＝Fcosα，当α变小，支持力变小，故地面受到的压力N变小，物块受到的滑动摩擦力变小，D正确。6．(动态平衡)如图，小英同学用两根一样长的绳子拴住一只钩码，拉住绳子两头使钩码悬停在空中，保持两手处于同一高度，开始时两绳间的夹角为150°，现将两绳间的夹角慢慢减小到30°，则()A．两绳拉力逐渐减小B．两绳拉力逐渐增大C．两绳拉力先减小后增大D．两绳拉力的合力逐渐增大答案A解析以钩码为研究对象，进行分析受力，即受到两侧绳子的拉力F1、F2和重力G。根据平衡条件得知，F1、F2的合力与G大小相等、方向相反，则F1、F2的合力大小等于钩码的重力，保持不变。根据对称性可知，F1＝F2，设两绳之间的夹角为2α，则由平衡条件得，2F1cosα＝G，得到F1＝eq\f(G,2cosα)，开始时两绳间的夹角为150°，现将两绳间的夹角慢慢减小到30°，即α由75°慢慢减小到15°，则F1减小，F2也减小，A正确，B、C、D错误。7．(动态平衡)如图所示，一根轻绳跨过固定斜面顶端的定滑轮后系在一质量较大的球上，球的大小不可忽略。在轻绳的另一端施加一个力F，使球沿斜面由图示位置缓慢上升至斜面顶端，各处的摩擦不计，在这个过程中拉力F()A．逐渐增大 B．保持不变C．先增大后减小 D．先减小后增大答案A解析对球受力分析，根据共点力平衡条件及平行四边形定则可知使球沿固定的光滑斜面由题图位置缓慢上升到斜面顶端的过程中，顺时针转动过程绳子拉力T方向如答图所示，与竖直方向的夹角越来越大，由题图知开始时绳子拉力与支持力的夹角就大于90°，由答图可知绳子拉力一直增大，即F一直增大，A正确。8．(静态平衡)在动画片《熊出没》中，熊二用一根轻绳绕过树枝将光头强悬挂起来，如图所示，此时轻绳与水平地面的夹角θ＝37°。已知光头强的质量为m＝60kg，熊二的质量为M＝300kg，不计轻绳与树枝间的摩擦。(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)求：(1)轻绳对熊二的拉力的大小；(2)地面对熊二的支持力的大小；(3)熊二对地面的摩擦力的大小和方向。答案(1)600N(2)2640N(3)480N方向水平向左解析(1)以光头强为研究对象进行受力分析，得拉力T＝mg＝600N。(2)以熊二为研究对象受力分析：根据竖直方向受力平衡可知FN＋Tsinθ＝Mg，代入数据得支持力FN＝2640N；(3)根据水平方向受力平衡可知Ff＝Tcosθ，代入数据得Ff＝480N。由牛顿第三定律可知，熊二对地面的摩擦力的大小Ff′＝Ff＝480N，方向水平向左。B组：等级性水平训练9．(平衡条件)如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上。物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq\f(F1,F2)为()A．cosθ＋μsinθ B．cosθ－μsinθC．1＋μtanθ D．1－μtanθ答案B解析两种情况下分别对物体进行受力分析，如图所示，对甲图，沿斜面方向：F1－mgsinθ－Ff1＝0，垂直于斜面方向：N－mgcosθ＝0，Ff1＝μN，联立可解得F1＝mgsinθ＋μmgcosθ。对乙图，沿斜面方向：F2cosθ－mgsinθ－Ff2＝0，垂直于斜面方向：N′－F2sinθ－mgcosθ＝0，Ff2＝μN′，联立可解得F2＝eq\f(mgsinθ＋μmgcosθ,cosθ－μsinθ)，所以eq\f(F1,F2)＝cosθ－μsinθ，故B正确。10．(动态平衡)有一个直角支架AOB，AO杆水平放置，表面粗糙，OB杆竖直放置，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是()A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小答案B解析以两环和细绳整体为研究对象，由题意可知，竖直方向上二力平衡，即FN＝2mg不变；水平方向上只受OB对Q环的弹力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f＝N。以Q环为研究对象，它在重力、细绳的拉力F和OB的弹力N作用下平衡，如图所示，设细绳和竖直方向的夹角为α，则N＝mgtanα。P环向左移动一小段距离，再次平衡时，α减小，N也减小，所以f减小。故B正确。11．(动态平衡)如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙的连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中()A．FN1始终减小，FN2始终增大B．FN1始终减小，FN2始终减小C．FN1先增大后减小，FN2始终减小D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大答案B解析如图甲所示，小球受重力G、墙面对小球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2′而处于平衡状态，此三力构成一矢量三角形，如图乙所示。木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，α逐渐减小，根据图乙可知，FN1始终减小，FN2′始终减小。由于FN2与FN2′是一对作用力与反作用力，大小相等，所以FN2始终减小，B正确。12.(力的平衡与相似三角形)(多选)如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部中心O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球静止于P点，OP与水平方向间的夹角为θ＝30°。若换为与质量为2m的小球B相连，小球B将静止于M点(图中未画出)，下列说法正确的是()A．容器对小球B的作用力大小为2mgB．弹簧对小球A