中考数学复习：菱形详细答案

中考数学复习专题——菱形

一.选择题（共4小题）

1.（十堰）菱形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

2.（哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan

NABD=2,则线段AB的长为（）

4

AD

区

BC

A.QB.20C.5D.10

3.（淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形

的周长是（）

A.20B.24C.40D.48

4.（贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF〃CB,交AB于点F,如

果EF=3,那么菱形ABCD的周长为（）

B

A.24B.18C.12D.9

二.填空题（共6小题）

5.（香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6,点E在对角线

BD上且tanZEAC=l,则BE的长为

3

6.（湖州）如图，已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点0.若tan/BAC=L

3

AC=6,贝I]BD的长是

7.（宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2,NB是锐角，AELBC于点E,M是

AB的中点，连结

MD,ME.若NEMD=90°,则cosB的值为

8.（广州）如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（3,0）,（-2,0）,

点D在y轴上，则点C的坐标是

9.（随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2,点A在

第一象限，点C在x轴正半轴上，ZAOC=60°,若将菱形OABC绕点。顺时针旋

则点B的对应点B，的坐标为

10.（黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行

四边形ABCD是菱形.

三.解答题（共10小题）

11.（柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若AC=2,求BD的长.

12.（遂宁）如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BC上的点，且DE=BF,AC

±EF.求证：四边形AECF是菱形.

13.（郴州）如图，在口ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分

别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形.

14.(南京)如图，在四边形ABCD中，BC=CD,ZC=2ZBAD.。是四边形ABCD

内一点，且OA=OB=OD.求证：

(1)ZBOD=ZC；

(2)四边形OBCD是菱形.

二C.

15.(呼和浩特)如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD,AB〃

DE,且AB=DE.

(1)求证：^ABC咨ADEF；

(2)若EF=3,DE=4,NDEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长

度.

¥

16.（内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E,F分别是AB,BC±

的点，AE=CF,并且NAED=NCFD.

求证：（1）AAED^ACFD；

（2）四边形ABCD是菱形.

17.（泰安）如图，AABC中，D是AB上一点，DELAC于点E,F是AD的中点,

FGLBC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,CD.

(1)求证：4ECGmAGHD；

(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

若NB=30。，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.

B

18.(广西)如图，在口ABCD中，AE±BC,AF±CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.

(1)求证：口ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求口ABCD的面积.

19.(扬州)如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA,点F是AB的中点，连接

DF并延长，交CB的延长线于点E,连接AE.

(1)求证：四边形AEBD是菱形;

(2)若DC=A，tanZDCB=3,求菱形AEBD的面积.

B

20.(乌鲁木齐)如图，在四边形ABCD中，NBAC=90。，E是BC的中点，AD〃

BC,AE〃DC,EFLCD于点F.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.

答案解析

一.选择题（共4小题）

1.（十堰）菱形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂

直不一定相等，

故选：B.

2.（哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan

【分析】根据菱形的性质得出ACLBD,A0=C0,0B=0D,求出0B,解直角三角

形求出A0,根据勾股定理求出AB即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，

/.AC±BD,AO=CO,OB=OD,

NAOB=90°,

VBD=8,

/.0B=4,

VtanZABD=-^-=—,

4OB

.•.A0=3,

在中，由勾股定理得：

Rt^AOBAB=5/AQ2+OB2=A/32+42=5,

故选：C.

3.（淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形

的周长是（）

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相

等即可得出周长.

【解答】解：由菱形对角线性质知，A0」AC=3,B0,BD=4,且AO，BO,

22

贝1JAB=VAO2+BOS=5,

故这个菱形的周长L=4AB=20.

故选：A.

4.（贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF〃CB,交AB于点F,如

果EF=3,那么菱形ABCD的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.

【解答】解：是AC中点，

•；EF〃BC,交AB于点F,

，EF是4ABC的中位线,

，EF」BC,

2

，BC=6,

二菱形ABCD的周长是4X6=24.

故选：A.

二.填空题（共6小题）

5.（香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6,点E在对角线

BD上且tanNEAC=工，则BE的长为3或5.

3-----------------

【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可.

【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：

•菱形ABCD中，边长为5,对角线AC长为6,

•••AC±BD,BO=VAB2-A02=752-32=^

VtanZEAC=j.^OE_OE

TOA"3

解得：OE=1,

/.BE=BO-OE=4-1=3,

当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：

•菱形ABCD中，边长为5,对角线AC长为6,

/.ACXBD,80=加2_人02地2_32=4

,.,tanZEAC=l=-uE=•—,

3OA3

解得：OE=1,

.\BE=BO-OE=4+1=5,

故答案为：3或5；

6.（湖州）如图，已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan/BAC=L

3

AC=6,则BD的长是2.

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACLBD,OA=1AC=3,BD=2OB.再

2

解Rt^OAB,根据tanNBAC=U^=L,求出OB=1,那么BD=2.

0A3

【解答】解：•.•四边形ABCD是菱形，AC=6,

AACXBD,OA-AC=3,BD=2OB.

2

在Rt^OAB中，•.,NAOD=90。，

.\tanZBAC=—=1,

OA3

.♦.OB=1,

，BD=2.

故答案为2.

7.（宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2,NB是锐角，AELBC于点E,M是

AB的中点，连结

MD,ME.若NEMD=90。，则cosB的值为里”.

BC

【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设BE=x,利用勾股

定理构建方程求出x即可解决问题.

【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H.

•四边形ABCD是菱形，

.AB=BC=AD=2,AD//CH,

.NADM=NH,

'AM=BM,ZAMD=ZHMB,

.△ADM之△BHM,

.AD=HB=2,

*EM±DH,

.EH=ED,设BE=x,

*AE±BC,

.AE±AD,

.ZAEB=ZEAD=90°

AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

.22-X2=(2+x)2-22,

.x=Jj-1或-近-1(舍弃)

AB2

故答案为隼.

8.(广州)如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),

点D在y轴上，则点C的坐标是(-5,4).

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出（：点坐标.

【解答】解：•.•菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（3,0）,（-2,0）,

点D在y轴上，

，AB=5,

，AD=5,

由勾股定理知：0口=面口彳=五二不=4，

・••点C的坐标是：（-5,4）.

9.（随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2,点A在

第一象限，点C在x轴正半轴上，ZAOC=60°,若将菱形OABC绕点。顺时针旋

转75°,得到四边形0AEU,则点B的对应点B，的坐标为（/,-灰）.

【分析】作B，H，x轴于H点，连结OB,0B\根据菱形的性质得到NAOB=30。,

再根据旋转的性质得/BOB，=75。，OB'=OB=2则NAOB，=NBOB，-NAOB=45。,

所以AOBH为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B，H=灰,

然后根据第四象限内点的坐标特征写出B，点的坐标.

【解答】解：作B，H，x轴于H点，连结OB,0B\如图，

•.•四边形OABC为菱形，

AZAOC=180°-ZC=60",OB平分NAOC,

...NAOB=30°,

•••菱形OABC绕原点0顺时针旋转75。至第四象限OABU的位置,

AZBOBZ=75°,OB，=OB=2二，

ZAOB,=ZBOB,-NAOB=45°,

/.△OBH为等腰直角三角形，

.•.OH=B，H=*OB，=&，

...点B，的坐标为（灰，-灰）.

故答案为：（&，-加）.

10.（黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB=BC或AC,

BD使平行四边形ABCD是菱形.

【分析】根据菱形的判定方法即可判断.

【解答】解：当AB=BC或ACLBD时，四边形ABCD是菱形.

故答案为AB=BC或ACXBD.

三.解答题（共10小题）

11.（柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若AC=2,求BD的长.

Br

【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；

（2）利用勾股定理可求出B0的长，进而解答即可.

【解答】解：（1）•.•四边形ABCD是菱形，AB=2,

・•.菱形ABCD的周长=2X4=8；

（2）•四边形ABCD是菱形，AC=2,AB=2

/.AC±BD,AO=1,

•*,BO=VAB2-A02=722-12=V3;

，BD=2工

12.（遂宁）如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BC上的点，且DE=BF,AC

±EF.求证：四边形AECF是菱形.

【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明;

【解答】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.*.AD=BC,AD〃BC,

VDE=BF,

，AE=CF,：AE〃CF,

四边形AECF是平行四边形，

VACXEF,

・••四边形AECF是菱形.

13.（郴州）如图，在口ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为0,分

别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形.

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出aDOE^A

BOF,得到OE=OF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD

是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE

为菱形.

【解答】证明：•.•在ABCD中，。为对角线BD的中点，

/.BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在和△FOB中，

'/EDO二NFB0

■OD=OB，

ZEOD=ZFOB

.•.△DOE四△BOF(ASA)；

/.OE=OF,

XVOB=OD,

・••四边形EBFD是平行四边形，

VEFXBD,

...四边形BFDE为菱形.

14.(南京)如图，在四边形ABCD中，BC=CD,ZC=2ZBAD.。是四边形ABCD

内一点，且OA=OB=OD.求证：

(1)ZBOD=ZC；

(2)四边形OBCD是菱形.

BD

【分析】（1）延长AO到E,利用等边对等角和角之间关系解答即可；

（2）连接OC,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可.

【解答】证明:(1)

延长0A到E,

VOA=OB,

/.ZABO=ZBAO,

又NBOE=NABO+NBAO,

AZBOE=2ZBAO,

同理NDOE=2NDAO,

ZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(ZBAO+ZDAO)

即NBOD=2NBAD,

又NC=2NBAD,

AZBOD=ZC；

(2)连接OC,

VOB=OD,CB=CD,OC=OC,

AAOBC^AODC,

ZBOC=ZDOC,ZBCO=ZDCO,

ZBOD=ZBOC+ZDOC,ZBCD=ZBCO+ZDCO,

NBOC」NBOD,NBCO」NBCD,

22

又NBOD=NBCD,

/.ZBOC=ZBCO,

.•.BO=BC,

又OB=OD,BC=CD,

.\OB=BC=CD=DO,

•••四边形OBCD是菱形.

15.（呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD,AB〃

DE,且AB=DE.

（1）求证：AABC等ADEF；

（2）若EF=3,DE=4,ZDEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长

度.

【分析】（1）根据SAS即可证明.

（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题;

【解答】（1）证明：：AB〃DE,

NA=ND,

VAF=CD,

.\AF+FC=CD+FC,

即AC=DF,

VAB=DE,

/.△ABC^ADEF.

（2）如图，连接AB交AD于0.

在Rt^EFD中，•.•NDEF=90°,EF=3,DE=4,

DF=432+4J5,

•••四边形EFBC是菱形,

WCF,，，E。美卢考

••OF=OC=JEFi0

.\CF=—,

5

，AF=CD=DF-FC=5--=—.

55

16.（内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E,F分别是AB,BC±

的点，AE=CF,并且NAED=NCFD.

求证：（1）AAED^ACFD；

（2）四边形ABCD是菱形.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论;

（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.ZA=ZC.

在4AED与4CFD中，

rZA=ZC

，AE=CF

ZAED=ZCFE

.,.△AED^ACFD（ASA）；

（2）由（1）知，AAED^ACFD,则AD=CD.

又四边形ABCD是平行四边形，

・••四边形ABCD是菱形.

17.（泰安）如图，ZVkBC中，D是AB上一点，DELAC于点E,F是AD的中点,

FGLBC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,CD.

(1)求证：4ECG等△GHD；

(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

(3)若NB=30。，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.

【分析】(1)依据条件得出NC=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依据F是AD的中

点，FG〃AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD,ZCGE=

ZGDE,利用AAS即可判定△ECGgZ^GHD；

(2)过点G作GPLAB于P,判定△CAG^^PAG,可得AC=AP,由(1)可得

EG=DG,即可得至URtAECG^RtAGPD,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

(3)依据NB=30。，可得NADE=30。，进而得到AE=』AD,故AE=AF=FG,再根据

2

四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形.

【解答】解：(1)VAF=FG,

/.ZFAG=ZFGA,

VAG平分NCAB,

/.ZCAG=ZFGA,

/.ZCAG=ZFGA,

.♦.AC〃FG,

VDEXAC,

FG±DE,

VFG±BC,

...DE〃BC,

/.AC±BC,

/.ZC=ZDHG=90°,ZCGE=ZGED,

OF是AD的中点,FG〃AE,

AH是ED的中点，

，FG是线段ED的垂直平分线，

，GE=GD,ZGDE=ZGED,

AZCGE=ZGDE,

.,.△ECG^AGHD；

(2)证明：过点G作GPLAB于P,

，GC=GP,而AG=AG,

/.△CAG^APAG,

，AC=AP,

由(1)可得EG=DG,

RtAECG^RtAGPD,

.,.EC=PD,

，AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四边形AEGF是菱形，

证明：VZB=30°,

，NADE=30°,

,\AE=—AD,

2

.•.AE=AF=FG,

由(1)得AE〃FG,

•••四边形AECF是平行四边形，

，四边形AEGF是菱形.

18.(广西)如图，在口ABCD中，AE±BC,AF±CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.

(1)求证：口ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求口ABCD的面积.

【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；

（2）连接BD交AC于0,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

I.NB=ND,

VAEXBC,AF±CD,

ZAEB=ZAFD=90°,

VBE=DF,

.,.△AEB^AAFD

/.AB=AD,

・••四边形ABCD是平行四边形.

(2)连接BD交AC于0.

•四边形ABCD是菱形，AC=6,

.\AC±BD,

AO=OC=AAC=—X6=3,

22

VAB=5,A0=3,

•••B0=VAB2-AO5=V52-32=4)

，BD=2BO=8,

19.（扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA,点F是AB的中点，连接

DF并