2022-2023学年天津市津南区九年级上学期数学期中试卷及答案

2022-2023学年天津市津南区九年级上学期数学期中试卷及

答案

一.选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

1.方程5x2—l=4x化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是

()

A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,1

【答案】C

【解析】

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+Z>x+c=0(a,b,c是常数且aWO)特别要

注意aWO的条件，在一般形式中口必叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a为二次

项系数，b为一次项系数，c为常数项；

【详解】解：5x2—l=4x化成一元二次方程一般形式是5x2—4x—1=0,

它的二次项系数是5,一次项系数是-4,常数项是-1.

故选C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题

的关键.

2.一元二次方程——2x+l=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确

定

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.

【详解】解：由题意可知：A=(—2『—4xlxl=0,

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的

情况，本题属于基础题型.根据根的判别式即可求出答案.

3.用配方法解方程必一6x+8=0时，方程可变形为()

A.(x—3)2=1B.(x—3)2=—1

C.(x+3)2=1D.(x+3)2=-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据配方法可直接进行排除选项.

【详解】由配方法解方程/-6x+8=0时，方程可变形为(x-3)2=1；

故选A.

【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键.

4.已知Xi、X2是一元二次方程2x2-4x+l=0的两个实数根，则XJX2等于()

11

A.-2B.--C.-D.2

22

【答案】c

【解析】

【分析】直接利用根与系数的关系求解.

【详解】解：・・・xi、X2是一元二次方程2x2-4x+l=0的两个实数根,

・•9_1

..X1X2=—.

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程为+c=o(aWO)的根与系数的关系：若方程的

bc

两个根为Xi,X2,则X]+X2=，Xi，X=—.

a2a

5.已知关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

()

11-1

A.k<-B.k>--C.卜>-一且卜¥0D.k<-

3333

且kWO

【答案】D

【解析】

【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0,得到k的取值范

围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0.

【详解】,•关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，

.,.△=4-12k>0,且kWO

1L

且kWO,

3

故选D.

【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数

根，同时要满足二次项的系数不能是0.

6.抛物线〉=2(》—3)2+4的顶点坐标是()

A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)

【答案】A

【解析】

【分析】抛物线y=a(x-犷+左伍/。)的顶点坐标为(〃㈤，利用以上结论直接写出顶

点坐标即可.

【详解】解：•••y=2(x—3y+4,

•••抛物线的顶点坐标是(3,4).

故选：A.

【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点坐标是解题的关键.

7.如图，二次函数y=a(x+l)2+上的图象与x轴交于N(-3,0),B两点，下列说法错误

的是()

A.a<0B.图象的对称轴为直线x=—1

C.点B的坐标为(1,0)D.当x<0时，y随x的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可.

【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a〈0,故A选项正确；

因为二次函数的解析式为y=a(x+V)2+k,

所以图象的对称轴为直线x=-l,故B选项正确；

因为二次函数的对称轴为直线x=-1,A,B两点是抛物线与x轴的交点，

所以A,B两点到对称轴的距离相等，

设B点坐标为(b,0),则有卜(-1)=(-1)-(-3),

解得b=l,

所以B点坐标为(1,0).

故C选项正确；

由图形可知当xW-1时,y随x的增大而增大，当T<x<0时，y随x的增大而减小，故D选

项错误.

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数

的关系，本题属于基础题型.

8.将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象

的表达式是()

A.y—2(x+2)~+3B.y~2(x+2)~-3

C.y=2(x-2)2-3D.y=2(x-2)2+3

【答案】C

【解析】

【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.

【详解】将二次函数y=2/的图象向右平移2个单位，可得：y=2(x-2)2

再向下平移3个单位，可得：y=2(x-2)2-3

故答案为：C.

【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右

平移动括号里的.

9.秋冬季节为流感得高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每

轮传染中平均一个人传染的人数为()

A.7人B.8人C.9人D.10人

【答案】B

【解析】

【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮

传染后共有81人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结

论.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，

依题意，得：(1+x)2=81,

解得：X1=8,X2=-10(不合题意，舍去).

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法.

10.小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，

他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面

积为3000cmz的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为()

A.（80-x）（70-x）=3000B.80x70—4x2=3000

C.（80-2x）（70-2x）=3000D.

80x70-4X2-（70+80）X=3000

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为（80-2力cm,宽为（70-2x）cm,从而根据

底面积可以列出相应的方程即可.

【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为（80-2x）cm,宽为（70-2x）cm,

A（80-2x）（70-2x）=3000,

故选：C.

【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键.

11.如图是二次函数ka*2+5*+（：的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是【

B.x>5C.x<—1且x>5D.x<—1

或x>5

【答案】D

【解析】

【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出

ax2+bx+c<0的解集：

由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为（5,0）,

图象与x轴的另一个交点坐标为（一1,0）.

由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,

.♦.xV—1或x>5.故选D.

12.如图，抛物线y=ax2+bx+c(aWO)与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点C

给出下列结论：①abc>0；②2a+b<0；③4a-2b+c>0；⑨④3a+c>0.其中正确的结论个

数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合

判断即可.

【详解】解：①由抛物线的开口向上知a>0,

:对称轴位于y轴的右侧，

Ab<0,

•・,抛物线与y轴交于负半轴,

Ac<0,

abc>0,故①正确;

②。・,对称轴为直线1=----<1,a>0,

2a

A2a>-b,即2a+b〉0,

故②错误；

③由图可知：当x=-2时，y>0,

/•4a—2b+c>0,

故③正确；

④;当时，y=0,

0=a-b+c<a+2a+c=3a+c,

即3a+c>0,

故④正确.

综上所述，有3个结论正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了根据二次函数的图象与系数之间的关系，确定式子的符号，解题的关

键是掌握数形结合思想的应用.

二.填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13.一元二次方程x2+3x=0的解是.

【答案】0,-3

【解析】

【分析】利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可.

【详解】x2+3x=0

x(x+3)=0

x=0或x+3=0

解得xi=0,x2=-3.

故答案为xi=0,x2=-3.

【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为

ab=0的形式.

14.若x=-l是一元二次方程+2x+〃=0的一个根，则n的值为一.

【答案】1.

【解析】

【分析】把x=-l代入到一元二次方程中求出〃的值即可.

【详解】解：—1是一元二次方程/+2》+〃=0的一个根，

+2x(-1)+/?=0,

解得：n=\,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的

值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键.

15.抛物线y=—f+3x——的对称轴是直线

2

3

【答案】%=-

2

【解析】

【分析】根据二次函数一般式的对称轴为x=-2即可得出答案.

2a

,5

【详解】解：•.•y=一一+3彳一一，

2

b33

.,.抛物线对称轴为直线》=-h=-；77^=彳，

2a2x（-1）2

3

故答案为：x=—.

2

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数一般式）；=。%2+及+0（。。0）的对称

轴为》=-2是解本题的关键.

2a

16.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为丫=-上

25

x2.当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为___m.

【答案】20

【解析】

【分析】根据题意分别求出点A、B的坐标，计算即可.

【详解】解：由题意得，-4=-°x2,

25

解得x=±10,

即点A的坐标为（-10,-4）,点B的坐标为（10,-4）,

这时水面宽度AB为20m,

故答案为：20.

【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关

键.

17.一个两位数，个位数字比十位数字少1,且个位数字与十位数字的乘积等于72,则这

个两位数是.

【答案】98

【解析】

【分析】设这个两位数个位上的数字为X,则十位上的数字为（X+1）,根据“个位数字与

十位数字的乘积等于72,”列出方程，即可求解.

【详解】解：设这个两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为（x+1）,

依题意，得：x（x+l）=72,

整理，得：f+x—72=0，

解得：%1=-9（不合题意，舍去），x2=8,

.-.10（x+l）+x=10x（8+l）+8=98.

故答案为：98

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题

的关键.

18.设抛物线＞=/+仅+1）》+4，其中a为实数.

（1）若抛物线经过点（一1,加），则加=；

（2）将抛物线＞=/+仅+1）》+。向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大

值是.

【答案】①.0②.2

【解析】

【分析】（1）直接将点（-1,加）代入计算即可

（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐

标，再通过配方得出最值

【详解】解：（1）将（―L加）代入^=/+仅+1）》+。得：

m=\-a-\+a=0

故答案为：0

（2）根据题意可得新的函数解析式为：y=x2+（a+l）x+a+2

一（b4ac—b2

由抛物线顶点坐标-丁,--------

12a4a）

得新抛物线顶点的纵坐标为：

4伍+2）-伍+1）2

4

—a~+2a+7

4

—（a~-2（7+1）+8

一4

_-（g-l）2+8

-4

（a-I）2>0

.•.当a=l时，—（a—I1+8有最大值为8,

Q

...所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是一=2

4

故答案为：2

【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是

常用的方法

三.解答题（共8小题，共66分）

19.解下列方程

（1）X2-6X-16=0（配方法）；

（2）2X2-2V2X+1=0（公式法）.

【答案】（1）占=8，%2=-2

（2）V-v-近

【解析】

【分析】（1）原方程先将常数项移到等号右边，方程两边同加上一次项系数一半的平方,

配方后运用直接开平方法求解即可；

（2）方程运用求根公式求解即可.

【小问1详解】

解：X2-6X-16=0,

x2-6x-16>

x2-6x+9=25>即（x-3）2=25,

x—3=±5,

%]=8,%2=—12；

【小问2详解】

解：2/—20x+l=O，

a=2,b=—2A/2,c=1,

；.△=（-2衣2_4x2xl=0,

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方

法是解题的关键.

20.解下列方程

(1)3x(x-1)=2(x-l)

(2)(2X-1)2=(3-X)2.

……，2

=

【答案】(1)Xj=1,x2—

4

(2)%)=—2,=—

【解析】

【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程；

(2)利用因式分解法解一元二次方程.

【小问1详解】

解：3x(x-l)=2(x-l)

3x(x-1)-2(x-1)=0

(x-l)(3x-2)=0

工一1=0或3%-2=0

,,2

••解得X]=1,x=—；

-23

【小问2详解】

解：(2x7)2=(3-以

(2x-l)2-(3-x)2=0

(2x-l+3-x)(2x-l-3+x)=0

(x+2)(3x-4)=0

x+2=0或3x-4=0

,4

—

；・解得X]=2,x2=—.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,

配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

21.已知二次函数y=f—4x+3.

(1)求出该二次函数图象的顶点坐标.

(3)在图中所示的坐标系中画出该二次函数的图象.

【答案】(1)(2,-1)

(2)-1,0,3

(3)见解析

【解析】

【分析】(1)化成顶点式即可求出顶点坐标；

(2)将x=2,3,4代入解析式求值即可；

(3)先描点再连线即可.

【小问1详解】

解：Vj=x2-4x+3=(x-2)'-1,

...二次函数y=f一+3顶点坐标为(2,-1卜

【小问2详解】

解：当x=2时，j=x2-4x+3=-1；

当x=3时，J=X2-4X+3=0；

当x=4时，V=X2-4X+3=3；

故答案为：-1,0,3.

【小问3详解】

解：如图:

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作

法是解题的关键.

22.已知二次函数y=ax+bx+c(aH0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应

值如下表所示：

X・・・-1024.・・

・・・・・・

y-511m

求：

(1)这个二次函数的解析式；

(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值.

【答案】(1)J=-2X2+4X+1

(2)顶点坐标(1,3),m=-1.5.

【解析】

【分析】(1)用待定系数法求出二次函数的解析式；

(2)把x=4,歹=机代入解析式即可求得m的值，用配方法或公式法求二次函数的顶点

坐标.

【小问1详解】

解：依题意，得

a—b+c=—5

<c=l,

4a+26+c=l

a=-2

解得<b=4,

c—1

...二次函数的解析式为：y=-2x2+4x+l；

【小问2详解】

当％=4时，m=—2x16+16+1=15,

由y=-2x2+4x+1=—2(x—+3,故其顶点坐标为(1,3).

【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标等知识，熟练掌

握待定系数法是解题的关键.

23.如图，在A/BC中，05=90°,^5=12cm,BC=24cm,动点尸从点A开始沿

边48向点3以2cm/s的速度移动，动点0从点B开始沿边5C向点C以4cm/s的速度移

动，如果尸，0两点分别从A,B两点同时出发，设运动时间为xs.

(1)用含x的式子表示：

AP=_2x_cm,

BP=cm,

BQ=cm,

(2)当的面积为32cm2时，求运动时间；

(3)四边形4P0C的面积能否等于172cm2?若能，求出运动的时间；若不能，说明理

由.

A

【答案】(1)2x；(12-2x)；4x

(2)2或4(3)不可能，理由见解析

【解析】

【分析】(1)由题意可得4P=2x,BQ=4x,从而可以解决问题；

(2)表示出同网0,—4丁+24%=32，解方程即可；

—

(3)表不出S四边形,S四边舷1Poe=4x24x+144=172,解方程即可.

【小问1详解】

解：根据题意得：AP=2x,BQ=4x,

'：AB=12

.-.5P=(12-2x),

故答案为：2x；(12-2x);4x；

【小问2详解】

解：S/BQ=—BP-BQ=-x(12—2x)x4x,

SPRC=—4x~+24x,

•••-4x2+24x^32,

解得：x=2或4,

.•.当APB。的面积为32cm2时，x=2或4；

【小问3详解】

解：四边形4PQC的面积不能等于172,理由如下：

$四边形=-xl2x24-(-4x2+24x)

=4X2-24X+144>

S四边初=4/-24x+144=172,

解得x=7或x=-1,

1•,0„x„6,

.••四边形APQC的面积不可能等于172cm2.

【点睛】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关

键是能够化动为静，并且注意x的取值范围，属于常考题.

24.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月

可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.

(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

(2)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

【答案】(1)每月销售水果450千克

(2)每千克水果售价为70元时，利润最大为9000元

【解析】

【分析】(1)根据题意列出算式即可求解；

(2)设每千克水果售价为x元，总利润为y元，根据题意列出二次函数关系，根据二次函

数的性质求得最值即可求解.

【小问1详解】

500-10x(55-50)

=500-10x5

-500-50

=450（千克）.

答：每月销售水果450千克；

【小问2详解】

设每千克水果售价为x元，总利润为夕元，

由题意可得y=（x-40）［500-10（x-50）］=-10（x-70）2+9000,

V-10<0,

.,.当x=70时，y有最大值为9000,

答：每千克水果售价为70元时，利润最大为9000元

【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系

式是解题的关键.

25.已知抛物线了=：必+1具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点产（0,2）的距离与

到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为（G,3）,P是抛物线=上一动点，则

（1）当△尸面积为4时，求P点的坐标；

（2）求周长的最小值.

【答案】⑴（-4,5）或（4,5）

（2）5

【解析】

【分析】（1）设P点的坐标为［兀；必+］，根据△尸。尸面积为4求出点p的横坐标，代

入解析式得到对应y值，即可求解；

（2）过点M作〃轴于点E,ME与抛物线交于点尸'，由点尸'在抛物线上可得出

P'F=P'E,结合点到直线之间垂线段最短及MR为定值，即可得出当点P运动到点P

时，△HWF周长取最小值，由此可解.

【小问1详解】

解：设P点的坐标为卜

・••点F的坐标为（0,2）,

OF=2,

.,.当△尸。F的面积为4时，gx2x|x|=4,

解得：x=±4,

19

j=-x（±4）-+1=5,

.••点P的坐标为（—4,5）或（4,5）.

【小问2详解】

解：过点M作〃E_Lx轴于点E,ME与抛物线交于点尸'.

•••抛物线上任意一点到定点尸（