第一单元 第4课《分数的混合运算和简便运算》-数学五升六暑期专项讲义人教版

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第一单元《分数乘法》

第4课《分数的混合运算和简便运算》

教学目标

1、掌握分数乘加、乘减混合运算的运算顺序。

2、会用整数乘法的运算定律推广运用到分数乘法，并使一些计算简便。

知识导航

2

【典例引入01】(2021六上•红塔期末)甲数是30,乙数比甲数的§少4，乙数是

【答案】16

2

【完整解答】解：30Xy-4

=20-4

二16

故答案为：16。

【思路引导】根据分数乘法的意义用甲数乘工，再减去4即可求出乙数。

3

【典例引入02】(2021六上•晋城期中)计算下列各题能简算的要简算。

、8582

(1)-X—+—X-

9797

437

(2)20X(---)X—

5415

…上.8582

【答案】(1)—X—+—X—

8592797

--X|/+

-9\7-7-

8

--XI

-9X

8

9

43、7

(2)20XX——

5415

17

=20X—x—

2015

7

-1x—

15

7

15

【思路引导】乘法分配律：aXb+aXc=aX(b+c)；

在有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。

【典例分析01】(2021六上•隆回期末)一批水果。第一天卖出-，第二天卖出剩下的-，这批水果

22

()。

A.卖完了B.还剩原来的-C.还剩原来的-

34

【答案】C

【完整解答】解：IX(1--)-X(1--)所以这批水果还剩原来的

222244

故答案为：C。

【思路引导】把这批水果看成单位“1”，那么第一天卖出后还剩几分之几=1X(1-第一天卖出几分之几),

所以这批水果还剩原来的几分之几=第一天卖出后还剩几分之几义(1-第二天卖出剩下的几分之几)。

【典例分析02】(2022六上•椒江期末)根据图意，列式(或方程)计算。

48万元

五月份：1一五月份增加;

(1)六月份：!_________

产值？万元

X于克

梨：----------------1

⑵苹果:t_____________.」一26。千克

'!*

梨的5

【答案】(1)解：48X(1+—)

4

5

=48X-

4

=60(万元)

(2)解：260+(1+-)

7

13

=260+——

7

=140(千克)

【思路引导】(1)六月份产值=五月份产值X(1+-)；

4

(2)梨的质量=梨和苹果的总质量+(1+-)o

7

【典例分析03](2021六上•通榆期末)人心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约75次，婴

4

儿每分钟心跳的次数比青少年多y。婴儿每分钟心跳多少次？

4

【答案】解：75+75X1

=75+60

=135（次）

答：婴儿每分钟心跳135次。

4

【思路引导】根据分数乘法的意义，用青少年每分钟心跳的次数乘不求出婴儿每分钟比青少年多的次数,

然后用加法求出婴儿每分钟心跳的次数。

变式训练

【变式训练01](2021六上•蒙城期末)小华读一本180页的故事书，第一天读了全书的-,第二天读

2

了全书的-,两天一共读了（）页。

A.90B.120C.160

【答案】B

【完整解答】解：180义（-+-）

26

2

=180X-

3

=120（页。

故答案为：Bo

【思路引导】两天一共读的页数=-本故事书的总页数X（第一天看的分率+第二天看的分率）。

【变式训练02]（2021六上•英德期末）严重的水土流失致使每年大约有16亿吨的泥沙流入黄河，其中-

4

的泥沙沉积在河道中，其余的被带到入海口。每年大约有多少亿吨泥沙被带到入海口？

【答案】解：16义（1--）

4

3

=16X-

4

=12（亿吨）

答：每年大约有12亿吨泥沙被带到入海口。

【思路引导】亿流失的总重量为单位“1”，被带到入海口的泥沙占总量的（一」），根据分数乘法的意义

4

计算即可。

【变式训练03]（2021六上•科左中旗期中）计算下列各题，能简算的要简算。

八205

①24X——个

2114

②一5

8

X3

③得\++6

10

21

④（一H——）X24

36

777

⑤一X33H-—X46+—

888

205

【答案】①24%；^

21^14

2014

=24X—X——

215

=64；

()55

@rlx——+-

168

1515168

255

-一x——+-

115168

一5

-+—

2418

-一15

24+——

1624

一

-24

2

3

3

③3+—4-6

10610

7131

=­X—+—X—

106106

731

=(--+一-)X-

10106

1

=ix-

6

1

二---.，

6

21

④(一+一)X24

36

21

=—X24+-X24

36

=16+4

二20；

777

⑤一X33+-X46+-

888

7

=-X(33+46+1)

8

7

=-X80

8

二70；

34

——X20X—

53

=16o

【思路引导】①将除法变成乘法，再进行约分，最后将约分后的数值相乘即可得出答案；

②先计算小括号里面的减法，再计算括号外面的乘法，最后计算加法；

7131731

③先将除法变成乘法得到一X—十—X—,再根据乘法分配律得到(一+一)X-,据此简便运算;

10610610106

④根据乘法分配律得到2X24+-X24,据此简便运算；

36

7

⑤根据乘法分配律得到.X(33+46+1),据此简便运算；

⑥先将除法变成乘法，再进行约分，最后计算即可得出答案。

(-)分数乘法混合运算

1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号

外面的。

2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。

乘法交换律：aXb=bXa乘法结合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

乘法分配律：aX(b+c)=aXb±aXc

(二)倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。

1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清

谁是谁的倒数)

2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1"。例如：aXb=l则a、b

互为倒数。

3、求倒数的方法：

①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。

②求整数的倒数：整数分之1。

③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。

4、1的倒数是它本身，因为1X1=1

。没有倒数，因为任何数乘0积都是0,且0不能作分母。

5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1,也大于它本身。

假分数的倒数小于或等于lo带分数的倒数小于lo

课堂基础夯实

一、选择题

11331

【完整解答】解:把煤的总吨数看作单位“1”，用去了一，那么还剩1-一二一，还剩的吨数就是：一x（1—-）。

44444

故答案为：D。

31

【思路引导】把工厂运来一吨煤看成单位“1”，要求剩下的质量，就是求总质量的（1--）是多少，列

44

31

式一义（1--）进行计算即可。

44

2.（2019六上•佛山期中）比8千克多-是多少千克？列式是（）.

4

A.8H—B.8x—C.8+8x—D.8x|1|

444I4）

【答案】C

【完整解答】解：比8千克多一是：8X（1+一）千克即8+8X—千克。

444

故答案为：C。

【思路引导】比a+单位多几分之几是多少单位用乘法，即aX（1+几分之几）+单位，也可以是a+aX几分

之几+单位。

3

3.（2021六上•晋城期中）一条路长1200米，笑笑走了这条路的—，还剩（）路没走。

4

A.900米B.300米C.1200米

【答案】B

31

【完整解答】解：1200X（1--）=1200X-=300米，所以还剩300米没走。

44

故答案为：Bo

【思路引导】还剩没走的米数=这条路的长度X（1-笑笑走了这条路的几分之几），据此代入数值作答即可。

4.（2021六上•临沂期中）六（1）班同学做好事120件，（）六（2）班做好事多少件？（)

列式为120X(1--)

3

1J

A.六（2）班比六（1）班多B.六（2）班比六（1）班少

33

j_1

C.六（2）班是六（1）班的D.六（1）班比六（2）班少

33

【答案】B

【完整解答】解:六（2）班比六（1）班少工，列式为：120X（1--）o

33

故答案为：B。

（1）班做好事的件数X（1-』）。

【思路引导】六（2）班做好事的件数=六

3

二、判断题

少-吨的数是,吨。（）

5.（2020六上•渠县月考）比2吨的-

444

【答案】（1）正

【完整解答】解：2X'-L

44

11

二---------

24

=-（吨）

4

故答案为：正确。

【思路引导】求比一个数的几分之几少几的数是多少，用这个数X它的几分之几-几。

44

6.（2020六上•江门月考）9-9Xj=0X1=°。（）

【答案】（1）错误

4364

【完整解答】9-9X-=9-y=l-,原题计算错误。

故答案为：错误。

【思路引导】观察算式可知，算式中有乘法和减法，先算乘法，后算减法，据此顺序解答。

7.（2019六上•云浮期中）-+-X-=（-+-）X-（）

339339

【答案】（1）错误

…121

【完整解答】-+-X-

339

12

=—H------

327

--1-1-.

27,

本题计算错误。

故答案为：错误。

【思路引导】本题运算顺序错误，正确的是先算乘再算加。

8.（2021六上•荷泽期中）-+-X-=lX-=-o（）

77777

【答案】（1）错误

【完整解答】解：-+-x-

777

130

=—+——

749

37

-O

49

故答案为：错误。

【思路引导】在没有小括号，既有加减法，又有乘除法的计算中，要先算乘除法，再算加减法。

9.（2020六上•沽源期末）修一条400米长的路，第一天修了全长的-,第二天修了余下的-,还剩

43

200米没有修。（）

【答案】（1）错误

【完整解答】解：第一天修的：400X-=100（米），

4

22

第二天修的：（400-100）X-=300X-=200（米），

33

没修的长度：400-100-200=100（米），原题说法错误。

故答案为：错误。

2

【思路引导】根据分数乘法的意义先求出第一天修的长度；用第一天修后余下的长度乘一求出第二天修的

3

长度；用总长度减去两天修的长度即可求出没有修的长度。

三、填空题

10.（2021六上•峰城期中）2021年中秋佳节，国强的爸爸购买了8斤月饼，其中-是五仁馅的，-是

42

黑芝麻馅的，其余都是果脯馅的。五仁馅的月饼买了斤；黑芝麻馅的月饼买了斤；果

脯馅的月饼买了斤。

【答案】2；4；2

【完整解答】解：8x4=2（斤）

8X—=4（斤）

2

8-2-4

=6-4

=2（斤）

故答案为：2；4；2o

【思路引导】五仁馅月饼购买的质量=国强爸爸购买月饼的总质量X五仁馅月饼占的分率；黑芝麻馅月饼

购买的质量=国强爸爸购买月饼的总质量X黑芝麻馅月饼占的分率；果脯馅月饼购买的质量=国强爸爸购买

月饼的总质量-五仁馅月饼购买的质量-黑芝麻馅月饼购买的质量。

3

11.（2020六上•新疆期末）工程队修一条100米长的水渠，已经修了全长的一，还剩米没修。

4

【答案】25

31

【完整解答】100X（1--）=100X-=25（米）

44

故答案为:25。

【思路引导】把这条水渠看作单位“1”，减去修了的占全长的分数，再乘实际的长度即可。

12

12.（2020六上•渭滨期末）千克比120千克多-。比35千克少一千克是千克。

--------35

3

【答案】160；34-

【完整解答】120X（1+-）

3

4

=120X-

3

=160（千克）

23

35-y=34j（千克）

,..3

故答案为：160；34—o

【思路引导】根据题意可知把120千克看作单位”1“，比它多’的数是：120X（1+-）；第二问都是千

33

克数，直接相减即可。

21

13.（2021六上•惠阳期中）比60米多一是_________米；240吨比_________吨少一。

36

【答案】100;288

2

【完整解答】解：60X（1+y）

5

=60X-

3

=100（米）

2404-（1--）

6

5

=2404--

6

=288（吨）

故答案为：100;288。

【思路引导】求比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用乘加或乘减计算。己知比单位“1”多或少几

分之几的数是多少，用除加或除减计算。

4

14.（2021六上•揭阳期中）儿童公园周六上午的门票收入是840元，下午的收入比上午的增加一，这一

7

天儿童公园的门票收入是元。

【答案】2160

4

【完整解答】解：840X（1+-）+840

7

11

=840X—+840

7

=1320+840

=2160（元）

故答案为：2160。

4

【思路引导】下午的收入是上午收入的（1+—），根据分数乘法的意义求出下午的收入，然后把上午和下午

7

的收入相加求出总收入。

四、计算题

15.（2020六上•唐县期末）直接写得数。

56

1.5X-=X30=3.14X30=300X200%=

35

2255151

———=1+2%=—4-----==-+-X-=

39816665

373321

—X—十—X—=—X99+99X-=

1010101033

6

【答案】1.5X-=2.5-X30=363.14X30=94.2

35

300X200%=600

224

-----551515]_]_

3991+2%=1.02(102%)—+一----+—x

816166653

373

X-+3321

-一

WWX一=----X99+99X—=99

10101033

【思路引导】分数乘整数,整数与分子相乘的乘积作分子,分母不变，能约分的要先约分，再计算.

含百分数的运算，先把百分数化成分数或小数，然后再计算;

一个算式中，有乘法和加法，先算乘法，后算加法，据此顺序计算;

观察数据可知，两个乘法算式的积相加，如果有相同的因数，可以利用乘法分配律简算;

异分母分数加减法计算方法：先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算，计算结果能约分的要

约成最简分数。

16.（2021六上•周口期中）脱式计算。

1+』）

(1)XI.2

48

1514

(2)—X+X

169169

194

(3)1+-—X

2147

23

(4)26X——

25

35

【答案】（1）（+—)XI.2

48

116

X

T5

33

20

514

⑵—X+X

169169

154

—X(-+-

1699

1

16

]_94

(3)1+x

2147

1144

=1+-Xx

2~97

4

=1-

9

23

(4)26X

25

23

=(25+1)X—

25

【思路引导】（1）先算小括号里面的加法，再算小括号外面的乘法；

（2）运用乘法分配律简便计算；

（3）先算除法，再算乘法，最后算加法；

（4）把26写成（25+1）,然后运用乘法分配律简便计算。

五、解答题

17.（2021六上•天河期末）某商场一件外套原价490元，现在的售价比原价降低了-。现在的售价是多

7

2

【答案】解：490X（1--）

7

5

=490X-

7

=350（元）

答：现在的售价是350元。

【思路引导】现在的售价=外套的原价X（1-现在的售价比原价降低了几分之几），据此代入数值作答即可。

18.（2021六上•兴化期中）一根绳子长-米，第一次用去它的-,第二次用去-米，这根绳子比原

855

来短了多少米？

【答案】解：—x—+—

855

11

—+—

85

答：这根绳子比原来短了一米。

40

【思路引导】这根绳子比原来短的长度=第一次用去的长度+第二次用去的长度，其中第一次用去的长度=这

根绳子的长度x第一次用去几分之几，据此代入数值作答即可。

六、综合题

280人

19.（2020六上•潍城期末）另运动个

?人

（1）填出图中的分数;

(2)你发现男女运动员人数之间有怎样的等量关系？写在下面:

280人

上运动I21

…“''丁优"；~：

【答案】⑴,述动贵--“一.一一__二：:(7)

(2)女运动员人数X(1+-)=男运动员人数。

7

【完整解答】解：(1)把女运动员人数看作单位“1”，平均分成了7份，多2份，所以男运动员人数比女

运动员人数多2；

7

(2)等量关系式是：女运动员人数X(1+2)=男运动员人数。

7

故答案为：(2)女运动员人数X(1+-)=男运动员人数。

7

【思路引导】(1)把女运动员人数看作单位“1”，男运动员人数比女运动员人数多工；

7

2

(2)男运动员人数=女运动员人数义(l+-)o

7

20.有一本160页的故事书，军军第1天看了全书的-,第2天看了全书的-,余下的第3天看完。

52

(1)军军前2天一共看了页，第3天看了页。

(2)军军第2天比第1天多看了页。

【答案】⑴144；16

(2)16

21

【完整解答】解：(1)160X(一+―)=144页，所以前2天一共看了144页，160-144=16页，所以第3天

52

看了16页；

(2)160X(---)=16页，所以军军第2天比第1天多看了16页。

25

故答案为：(1)144；16；(2)16o

【思路引导】(1)前两天一共看的页数=这本书的总页数X两天一共看了全书的几分之几；第三天看的页数

=这本书的总页数-前两天一共看的页数;

(2)军军第2天比第1天多的页数=这本书的总页数义第2天比第1天多看全书的几分之几。

课后提优训练

一、选择题

1.（2021六上•临沂期中）两根1米的绳子，第一根截去它的-,第二根截去-米，两根绳子余下部

33

分相比较（）o

A.第一根长B.第二根长C.同样长D.不能确定

【答案】C

【完整解答】解：第一根：「IX；

1

=1一

3

=-（米）

3

第二根：1—=—（米）

33

22

—米=一米

33

故答案为：Co

【思路引导】第一根剩余的长度=总长度-总长度X截去的分率；第二根剩余的长度=总长度-截去的长度，

然后比较大小。

2.（2021六上•金昌期中）一台空调，先涨价—,后又降价了—，这台空调现价同原价比（）。

1010

A.原价低B.现价低C.相等

【答案】B

【完整解答】解：IX（1+—）X（1--）

1010

119

=1x—x—

1010

99

100

99

1>——，所以现价比原价低。

100

故答案为：B。

【思路引导】把原价看作单位“1”，涨价后的价格是原价的（1+工）；降价后的价格又是涨价后价格的

10

（1-,），根据分数乘法的意义求出现价，再与原价比较即可。

10

3.（2021六上•昌黎期中）学校举行“美食节”活动。六（2）班的“营业收入”是480元，（），六（3）

班的“营业收入”是多少元?列式为480X（1+-）。

11

A.六（3）班比六（2）班多B.六（2）班比六（3）班多

44

j_j_

C.六（3）班比六（2）班少D.六（2）班比六（3）班少

44

【答案】A

【完整解答】解：六（3）班比六（2）班多,,列式为：480X+

44

故答案为：Ao

【思路引导】六（3）班的“营业收入”=六（2）班的“营业收入”X

4

4.（2021六上•营山期中）一种商品先提价—，再降价—,最后的价格（）。

1010

A.原价不变B.比原价低C.比原价高

【答案】B

【完整解答】解：IX（1+乙）x（1-^-）

99

-100

99

1>——，最后的价格比原价低。

100

故答案为：B。

【思路引导】一种商品先提价,，提价后的价格是原价的（1+—）,后来又降价!，是在（1+—）的

10101010

基础上降价的，降价后的价格是（1+—）的（1-L）,所以这种商品比原价低。

1010

5.（2021六上•揭阳期中）有400千克煤，用去I后，又用去余下的|,还剩（）。

A.144千克B.200千克C.240千克D.256千克

【答案】D

【完整解答】解：400X（1-1）X（1-1）

44

=400X—X—

55

4

=320X-

5

=256（千克）

故答案为：D„

【思路引导】第一次用去后还剩总重量的（I-/）,根据分数乘法的意义先求出第一次用后剩下的重量；第

二次用后还剩的重量是第一次用后剩下重量的（I-/）,根据分数乘法的意义求出还剩的重量即可。

二、判断题

991

6.（2021六上•营山期中）一根绳子长一米，用去一，还剩一米。（）

101010

【答案】（1）错误

［完整解答］解：-9--9X-9

981

"10100

9

=---（米）

100

故答案为：错误。

【思路引导】还剩下的长度=一根绳子的总长度-用去的长度；其中，用的长度=一根绳子的总长度义用去的

分率。

7.（2020六上•沽源期末）由男生比女生人数多-可知：男生人数=女生人数+-«（）

44

【答案】（1）错误

【完整解答】解：由男生比女生人数多-可知：男生人数=女生人数X（l+-）o原题说法错误。

44

故答案为：错误。

【思路引导】以女生人数为单位“1”，男生人数是女生人数的（1+L）,根据分数乘法的意义求出男生人

4

数即可。

211

8.（2020六上•昌黎期中）修一条长一千米的水渠，已经修了一，还剩下一千米。（）

777

【答案】（1）错误

221

【完整解答】解：-----X—

777

_2_2_

-7-49

=—（千米）

49

故答案为：错误。

【思路引导】剩下的长度=总长度-已经修的长度，其中已经修的长度=总长度X」，据此列式计算即可。

7

三、填空题

32

9.（2021六上«澄江期末）比2克少一克是克，比6克多一是克，

43

【答案】10

4

3125

【完整解答】解：第一问：2--二1—（克）；第二问：6X（1+-）=6X—=10（克）。

4433

故答案为：；10o

4

3

【思路引导】第一问：用2克减去比2克少的一克即可解决问题；

4

22

第二问：比6克多一的重量是6克的（1+一）,根据分数乘法的意义列式计算即可。

33

10.（2021六上•周口期中）某一款童装先降价—,再提价—,此时的售价原价。（填”>、

1010------------

（或="）

【答案】〈

【完整解答】解：假设原价是“1”，则现价:

11

IX(1--)X(1+—)

1010

911

=1x—x—

1010

99

100

99

1>——，所以此时售价〈原价。

100

故答案为：V。

【思路引导】假设原价是“1”，降价后的价格是原价的（一，）；提价后的价格又是降价后价格的（1+工）；

1010

根据分数乘法的意义求出售价，再与原价比较即可。

11.（2020六上•鼓楼期中）在横线上填上〃<”或

512A3、713

—X—x(-+-)——X——|——

74712441244

11114343

—X———X—

45457878

1111

—X—

2222

【答案】V;V；二；V；>

【完整解答】因为所以一X—<一；

4747

713717377337

因为历一X—H-------X—,—VI,所以—X—V一,一X

12412412124412441244

111匕一，1111

-x---■，----=—，所以一x-=-----；

452045204545

~431143121112,4343

因为一=17

7856785656567878

£1£1-1111

因为一"1=1,X一二1>-,所以一+一>一X-O

222242222

故答案为：<;<;<;>。

【思路引导】在乘法里，一个非0数乘小于I的非0数，积小于这个数；一个非0数乘大于I的数，积大

于这个数，据此比较大小；

比较两个算式的大小，先计算出得数，再比较大小。

四、计算题

12.（2021六上•科左中旗期中）直接写出得数。

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