2024中考备考数学重难点复习：圆的综合压轴题（6大题型）

重难点05圆的综合压轴题

命题趋势

中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类:

、圆中弧长和面积的综合题

、圆与全等三角形的综合题

、圆的综合证明问题

四、圆与等腰三角形的综合题

五、圆的阅读理解与新定义问题

六、圆与特殊四边形的综合题

圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

热考题型解读

考向一：圆中弧长与面积的综合题

1.（2023口河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以48为直径的半圆。，AB=50cm,如图1

和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN//GH.

计算：在图1中，已知MN=48c〃z,作OC_LMN于点C.

（1）求0c的长.

操作：将图1中的水槽沿G8向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当/AMW=30°时停止滚动.如

图2.其中，半圆的中点为。，GH与半圆的切点为E,连接0E交于点。.

探究：在图2中.

（2）操作后水面高度下降了多少？

（3）连接。。并延长交GH于点个求线段E尸与前的长度，并比较大小.

2.（2023口乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动.

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图1,将一个三角形纸板△A8C绕点A逆时针旋转。到达的位置△AB'C的位置，那么可以得到：

AB^AB',AC=AC,BC=B'C；

ZBAC=ZB'AC,ZABC=ZAB'C,ZACB=ZACB'.（）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我

们解决图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.

【问题解决】

（1）上述问题情境中“（）”处应填理由：;

（2）如图2,小王将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板ABC绕点。逆时针旋转90。到达扇形

纸板A'B'C的位置.

①请在图中作出点。；

②如果B夕=6cm,则在旋转过程中，点B经过的路径长为；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置.另

一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止.此时，两个纸板重叠部分的面积

是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题.

B

1.(2023□济宁)如图，已知48是OO的直径，CD=CB,BE切。。于点8,过点C作C/LOE交BE于

点、F,EF=2BF.

(1)如图1,连接8D,求证：AADB/AOBE；

(2)如图2,N是A。上一点，在A8上取一点M,使/MCN=60。，连接MN.请问：三条线段MN,

BM,DN有怎样的数量关系？并证明你的结论.

2.(2023口哈尔滨)已知为BC内接于。。，AB为。。的直径,N为金的中点，连接ON交AC于点

(1)如图①，求证：BC=2OH；

(2)如图②，点。在。。上，连接。8,DO,DC,DC交OH于点、E,若DB=DC,求证。Z)〃AC；

(3)如图③，在(2)的条件下，点尸在8D上，过点歹作歹G，。。，交。。于点G,DG=CH,过点产

作fRLOE,垂足为R,连接EA,EF-DF=3：2,点7在BC的延长线上，连接AT,过点T作：™

LDC,交。C的延长线于点若FR=CM,AT=他,求AB的长.

3.(2023口长春)【感知】如醺，点A、B、P均在。。上，/AO8=90。，则锐角NAPB的大小为_45

度.

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O。是等边三角形A8C的外接圆，点尸在弧AC上(点P不

与点A、C重合)，连接PA、PB、PC.求证：PB=PA+PC.小明发现，延长PA至点E,使AE=PC,

连接BE,通过证明△PBC也△EB4.可推得△P8E是等边三角形，进而得证.下面是小明的部分证明过

程：

证明：延长上4至点E,使AE=PC,连接BE.

...四边形ABC尸是的内接四边形，

/.ZBAP+ZBCP=180°,

VZBAP+ZBAE=1SQ°,

：.ZBCP=ZBAE,

•:△ABC是等边三角形，

：.BA=BC,

:.APBC2LEBA(SAS).

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，是△ABC的外接圆，ZABC=90°,AB=8C,点尸在。。上，且点P与点B在

AC的两侧，连接PA、PB、PC,若PB=2aPA，则的值为.

P

10

图①图②图③

考向三：圆的综合证明问题

1.(2023口黄石)如图,AB为的直径,D4和O。相交于点凡AC平分ND4B,点C在。。上，且C。

±DA,AC交B尸于点P.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)求证：ACO>C=BC2；

AF

(3)已知3C2=3尸尸⑦。，求呈7的值.

D

C

2.如图，在O。中，直径AB垂直弦CO于点E,连接AC,AD,BC,作CbLA。于点八交线段。8于点

G(不与点。，8重合)，连接。足

(1)若BE=1,求GE的长.

(2)求证：BC2=BG30.

(3)若FO=FG,猜想NCAD的度数，并证明你的结论.

3.(2023口永州)如图，以4B为直径的。。是△ABC的外接圆，延长BC到点。.使得/A4c=/BD4,

点E在ZM的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N,CE交AB于G.

(1)求证：ED是。0的切线；

(2)若设=泥，BD=5,AOCD,求BC的长;

(3)若。E[3A/=AC口。，求证：BMLCE.

4.(2023口广东)综合探究

如图1,在矩形ABC。中(AB>A。),对角线AC,BO相交于点。，点A关于的对称点为A'.连

接A4'交BD于点E,连接C4'.

(1)求证：AA'_LCA；

（2）以点。为圆心，0E为半径作圆.

①如图2,。。与co相切，求证：皿'=V3CAy；

②如图3,O。与C4'相切，AD=1,求O。的面积.

考向四：圆与等腰三角形的综合

1.（2023□宁波）如图，慨tZ\ABC中，ZC=90°,E为AB边上一点、,以AE为直径的半圆。与BC相

切于点。，连结4,8£=3,8。=3^/是48边上的动点，当△的＞尸为等腰三角形时,A尸的长为

2.（2023□上海）如图O所示，已知在AABC中，AB=AC,。在边AB上，点/是边中点，以。

为圆心，8。为半径的圆分别交CB,AC于点。，E,连接£歹交。。于点G.

图＜2）

四边形CEGD为平行四边形;

(2)如图（2）所示，连接。E,如果N54C=90°,ZOFE=ZDOE,AO=4,求边08的长;

(3)连接BG,如果△OBG是以08为腰的等腰三角形，且4。=。F,的值.

3.（2023口泰州）已知:A、3为圆上两定点，点C在该圆上，NC为g所对的圆周角.

ccc

图①图②图③

知识回顾

（1）如图①，。。中，B、C位于直线AO异侧，ZAOB+ZC=135°.

①求NC的度数；

②若。。的半径为5,AC=8,求8C的长；

逆向思考

（2）如图②，若尸为圆内一点，且/APB<120。，PA=PB,/APB=2/C.求证：尸为该圆的圆心；

拓展应用

（3）如图③，在（2）的条件下，若NAP8=90°,点C在OP位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点

。在OP上，满足cz）=y巧CB-CA的所有点。中，必有一个点的位置始终不变.请证明.

考向五：圆的阅读理解与新定义问题

1.（2023口青海）综合与实践

车轮设计成圆形的数学道理

小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理

吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：

将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.

（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一

次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是丽，BA=CA=DA=2,圆心角/BAZ）=120。.此时

中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是8。（水平线），请在图2中计算C

到BD的距离dv

（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次（以

一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是BD，BA=CA=DA=2,圆心角N8A£）=90°.此时中心轨迹

最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是8。（水平线），请在图4中计算C到的

距离&（结果保留根号）.

（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次

（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是丽，圆心角.

此时中心轨迹最高点是C（即丽的中点），转动一次前后中心的连线是8。（水平线），在图6中计算C

到8。的距离a=（结果保留根号）.

（4）归纳推理：比较4,d2,4大小：,按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越

多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）.

（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7,其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时

中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d=.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所

以，将车轮设计成圆形.

2.（2023口陕西）O如图①，/4。2=120。，点尸在/AOB的平分线上，OP=4.点E,尸分别在边

OA,OB_L,且/EPF=60°,连接EF.求线段EF的最小值；

（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图.点尸是拱桥定的中点，桥下水面的宽度AB=24m,点

尸到水面的距离尸H=8加.点尸］,占均在上，=，且片尸2=1°机，在点尸1，尸2处各装

有一个照明灯，图中△/co和歹分别是这两个灯的光照范围.两灯可以分别绕点片,尸2左右转动，

且光束始终照在水面A8上.即NC4。，/E/歹可分别绕点尸1，尸2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯

的大小忽略不计），线段CO,EF在A8上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面

宽度.已知/”1。=/£尸2尸=90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个

灯照在水面上的重叠部分的水面宽度.（可利用备用图解答）

3.(2023口北京)在平面直角坐标系rOy中，的半径为1.对于O。的弦AB和。。外一点C给出如下

定义：若直线C4,中一条经过点。，另一条是。。的切线，则称点C是弦A8的“关联点”.

(1)如图，点A(-1,0),B[(),吗(,).

①在点g(-1,1),C2(-V2,0),C3(0,)中，弦AB1的“关联点”是;

②若点C是弦A与的“关联点”，直接写出0C的长；

(2)已知点M(0,3),N(旦要，0),对于线段MN上一点S,存在。0的弦尸。，使得点S是弦

5

直接写出r的取值范围.

4.在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边

形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题:

如图1,△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(60°<a<180°).点。是BC边上的一动点(点。不与凡

C重合)，将线段AO绕点A顺时针旋转a到线段AE,连接8E.

(1)求证：A,E,B,D四点共圆；

(2)如图2,当时，。。是四边形AE8O的外接圆，求证：AC是。。的切线；

(3)已知a=120。，BC=6,点M是边BC的中点，此时。尸是四边形的外接圆，直接写出圆

心P与点M距离的最小值.

图1

考向六：圆与特殊四边形综合

1.（2023口威海）已知：射线。尸平分/MON,A为。尸上一点，OA交射线OM于点2,C,交射线ON

于点。，E,连接AB,AC,AD.

（1）如图1,若试判断四边形08AD的形状，并说明理由;

交OP于点、F;过点。作OGLON,交OP于点G.求证:AG=AF.

2.（2023口益阳及口图，线段A8与。。相切于点8,A。交。。于点其延长线交。。于点C,连接BC,

ZABC=12Q°,。为O。上一点且DB的中点为加，连接A〃，CD.

⑴求NACB的度数;

(2)四边形ABC。是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由;

(3)若AC=6,求CD的长.

,(重难再关练（建议用时：80分钟）

1.（2023口宜昌）如图1,已知A8是。。的直径，尸8是O。的切线，PA交OO于点C,AB=4,PB=3.

(1)填空：NPBA的度数是,尸A的长为；

(2)求AABC的面积；

(3)如图2,CDLAB,垂足为D.E是北上一点，AE=5EC.延长AE,与DC,8尸的延长线分别交于

点F,G,求的值.

2.(2023口台州)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置

刻画圆上点的位置.如图，AB是的直径，直线/是。。的切线，B为切点.P,。是圆上两点(不

与点A重合，且在直径的同侧)，分别作射线AP,A。交直线/于点C,点。.

(1)如图1,当AB=6,弧2尸长为TT时，求2C的长；

(2)如图2,当黑三,时，求的值；

AB4

(3)如图3,当sin/BAQ。?，BC=C。时，连接BP,PQ,直接写出的值.

3.(2023□遂宁)如图，四边形内接于。。，为。。的直径，AD=CD,过点。的直线/交8A的

延长线于点M.交8C的延长线于点N且/AOM=/D4C.

(1)求证：MN是。O的切线；

(2)求证：Ar>2=ABEW；

(3)当AB=6,sin/OCAuY^时，求AM的长.

4.(2023口丽水)如图，在5。中，AB是一条不过圆心。的弦，点C,D是定的三等分点，直径CE交

A8于点己连结AD交B于点G,连结AC,过点C的切线交氏4的延长线于点H

(1)求证：AD//HC；

(2)若空=2,求tan/E4G的值；

(3)连结交A。于点N,若。。的半径为5.

下面三个问题，依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答.

①若=拳求的长；

②若四二句,求△ANB的周长；

③若HHZB=88,求△BHC的面积.

5.（2023口长沙）如图，点4,B,C在00上运动，满足AB2=BC2+AC2,延长AC至点O,使得/OBC

=/CAB,点E是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点凡交BC

的延长线于点N,交。。于点M（点M在劣弧标上）.

（1）是。。的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)记△BOC,△ABC,△ADB的面积分别为邑，S2,S,若邑［3=(S2)2,求(tanD)2的值;

（3）若。。的半径为1,设府=无，FEO-NLd—^—+-1=y,试求y关于x的函数解析式，并写

VBOBNAE4C

6.（2023口宁波）如图1,锐角△ABC内接于。为8C的中点，连结A。并延长交。0于点E,连结

BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点P,点G在A。上，连结2G,CG,若BC平分/EBG且/BCG

=ZAFC.

E

图1图2

（1）求N5GC的度数.

（2）①求证：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

（3）如图2,当点。恰好在BG上且。G=1时，求4c的长.

培优争分练（建议用时：80分钟）

1.（2023口东营区校级一模）如图,PA、PB是。。的切线，切点分别为A、B,BC是。。的直径，尸0交

。0于E点，连接交尸。于F,连接CE交AB于。点.下列结论：①PA=PB；®OPLAB-③CE

平分；④卷⑤是△的内心；⑥咨其中一定成立的有（

NACBOFAC;EPABACDAAEDF.）个.

A.5B.4C.3D.2

2.（2023□鹿城区校级三模）如图1,在△ABC中，ZACB=90a,BC=2AC=2,过BC上一点。作。E

±BC,交AB于点E,以点。为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC,AB于点尸，G,交直线BC于点

H,/（点/在H左侧）.当点。与点C重合时（如图2）,GH=；当EF=G8时，CD=.

3.（2023口湖北模拟）如图，AB是。。的直径，点C是。0上一点，A。与过点C的切线垂直，垂足为。，

直线。C与AB的延长线交于点尸，弦CE平分/ACB,交于点个连接BE,BE=7®下列四个结

论：

①AC平分ND4B；

③若BC=/oP,则阴影部分的面积为

3

④若PC=24,则tan/PCB=?；

4

其中，所有正确结论的序号是

4.(2024口邦州区校级一模)如图1,AB,CD是。。的两条互相垂直的弦，垂足为E,连结BC,BD,OC.

(1)求证：ZBCO=ZABD.

(2)如图2,过点A作交CO于G,求证：CE=EG.

(3)如图3,在(2)的条件上，连结BG,若BG恰好经过圆心O,若。。的半径为5,si_nD=去4求

b

AB的长.

国I图2图3

5.(2024口常州模拟)对烟C和OC上的一点A,若平面内的点P满足：射线A尸与OC交于点。(点。

pt

可以与点尸重合，且则点P称为点A关于OC的“阳光点”.已知点。为坐标原点，QO

的半径为1,点A(-1,0).

(1)若点尸是点A关于。。的“阳光点”，且点尸在x轴上，请写出一个符合条件的点尸的坐标

(2)若点8是点A关于的“阳光点”，且AB=2“，求点B的横坐标f的取值范围；

(3)直线了於x+b与x轴交于点M,且与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于的“阳光点”，

请直接写出6的取值范围是_奠

6.(2024口广东一模)如图1,在。。中，为。O的直径，点C为。。上一点，点。在劣弧BC上，CE

_LC。交于E,连接BD

(1)求证：4ACE〜LBCD；

(2)若COS/A8C=7",求瞿；(用含机的代数式表示)

BD

4

(3)如图2,。石的中点为G,连接GO,若BD=a,cosZABC=^-,求OG的长.

5

AA

图1图2

7.(2024□镇海区校级模拟)在矩形中，M、N分别在边BC、CD且以MN为直径

作O。，连结AN交。。于点连结C”交于点尸，AB=8,AD=12.

(1)求证：ZMAD=ZMHC；

(2)若AM平分/BAN,求MP的长;

(3)若△CMH为等腰三角形，直接写出的长.

8.(2024口浙江一模)如图，在3。中，AB是一条不过圆心。的弦，C,。是定的三等分点，直径CE交

A8于点孔连结8。交CF于点G,连结AC,DC,过点C的切线交AB的延长线于点H.

(1)求证：FG=CG.

(2)求证：四边形是平行四边形.

(3)若。。的半径为5,OF=3,求△ACH的周长.

9.(2024口五华区校级模拟)如图,AB,CD是。。的两条直径，且点E是右上一动点(不与

点8,。重合)，连接£)£并延长交的延长线于点己点P在A歹上，且/PEF=NDCE,连接AE,

CE分别交。。，。8于点m，N,连接AC,设。。的半径为r.

(1)求证：PE是。0的切线；

(2)当/。CE=15。时，求证：AM=2ME；

(3)在点E的移动过程中，判断ANHM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

D

10.(2024□福建模拟)已知：如图,。0内两条弦A3、CD,且A8LC。于E,0A为。。半径，连接AC、

BD.

(1)求证：ZOAC=ZBCD；

(2)作ENLBD于N,延长NE1交AC于点求证：AH=CH-

(3)在(2)的条件下，作/£族=60°交AB于点尸，点尸在尸E上，连接PC交于点"当EL=

HF=2y/7>CL=8,BE=2P/时，求。。的半径.

11.（2024口鹿城区校级一模）如图1,锐角△ABC内接于。。，点E是A8的中点，连结E。并延长交BC

于。，点尸在AC上，连结AD,DF,ZBAD=ZCDF.

（1）求证：DF//AB.

（2）当AB=9,4尸=即=4时，

①求tan/CDF的值；

②求BC的长.

（3）如图2,延长A。交。。于点G,若正；CA：AB=1：4；3,求的值.

【材料】自从《义务教育数学课程标准2022年版）》实施以来，九年级的晏老

师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，

在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，及。。外一点尸.求作：直

线尸。，使尸。与。。相切于点Q.李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：

（1）连接OP,分别以0、P为圆心，以大于看OP的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B

分别位于直线OP的上下两侧）；

（2）作直线AB,AB交。尸于点C；

（3）以点C为圆心，C。为半径作OC,OC交。。于点。（点。位于直线OP的上侧）；

（4）连接尸。，尸。交于点。，则直线尸。即为所求.

【问题】

（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；

（2）结合图形，说明尸。是。0切线的理由；

（3）若。。半径为2,OP=6.依据作图痕迹求。。的长.

0

13.（2024口泌阳县一模外贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABC。，

一条线段。P（。尸＜AB）,再以点A为圆心，OP的长为半径，画OA分别交于点E.交于点G.过

（1）【探究发现】如图1,8E与DG的大小和位置关系：.

（2）【尝试证明】如图2,将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？

请说明理由.

（3）【思维拓展】如图3,若48=20尸=4,则:

①在旋转过程中，点8,A,G三点共线时，CF的值为；

②在旋转过程中，Cb的最大值是.

14.（2024□秦都区校级一模）问题提出：Q）如图①，。。的半径为4,弦AB=4正，则点。到的

距离是.

问题探究：（2）如图②，的半径为5,点A、B、C都在。。上，AB=6,求△ABC面积的最大值.

问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为60机，等边△ABP的边AB是。。的弦，

顶点P在O。内，延长AP交O。于点C,延长交O。于点连接CD现准备在△尸A8和△PC。

区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪.按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积.（提示：

15.（2024口碑林区校级一模）问题探究

（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件。4、08按如图1

所示的方式放置，点A到直线m的距离AC=4,点B到直线m的距离BD=6,CO=5,M是。4上一点，

N是。8上一点，在直线冽上找一点P,使得PM+PN最小.请你在直线机上画出点尸的位置，并直接

写出PM+PN的最小值.

问题解决

（2）如图2,乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABC。，其中AB=30的米，8C=30米，

点E、厂为花园的两个入口，米，。尸=10米.若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小

忽略不计），满足/BZ）G=/GBC,